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Journal de physique

La nouvelle mécanique atomique

Léon Brillouin

Published Jan 1, 1926• 8 citations
Publisher

Abstract

Cet article est un exposé des méthodes de la nouvelle mécanique atomique, d'après Heisenberg, Zts. f. Phys., t. 33 (1925), p. 879; Born et Jordan, Zts. f. Phys., t. 34 (1925), p. 858; Dirac, Proc. Roy. Soc., A, t. 109 (1925), p. 642; Kramers, Physica, t. 5 (1925), p. 369; Born, Jordan et Heisenberg, Zts. f. Phys., t. 35 (1926), p. 557; L. Brillouin, C. R., t, 182 (1926) p. 374; Dirac, Proc. Roy. Soc., A, t. 110 (1926), p. 561; Born et Wiener, Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 174; K. Lanczos, Zts. f. Phys., t. 35 (1926), p. 812 et t. 36 (1926), p. 401; N. Bohr, Naturwiss., (Janvier 1926); F. London, Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 775; A. Wintner. Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 778. L'auteur a essayé de présenter l'essentiel de ces tentatives, et de raccorder les points de vue souvent très différents adoptés par les auteurs, Born et Dirac en particulier. Quelques critiques de détail sont aussi formulées, notamment sur les points suivants : la limitation des matrices à des termes d'indices positifs est arbitraire et peu justifiée; si on admet des indices négatifs, on obtient de nouvelles solutions pour le problème de l'oscillateur linéaire (§ 6). Les matrices sont en général bornées, contrairement à l'affirmation de Born, qui repose sur l'emploi d'un criterium mal choisi (§ 13).

DOI
10.1051/jphysrad:0192600705013500

Related papers

Les principes de la nouvelle mécanique ondulatoire

Louis de Broglie

Sommaire.2014 Le but du mémoire est d'exposer les principes généraux de la nouvelle conception ondulatoire de la mécanique suggérée par l'auteur et confirmée par les récents travaux de Schrodinger.L'auteur a cherché d'abord à montrer, dans le cas particulier des champs constants, comment les résultats de Schrodinger prolongent et complètent les siens; puis il examine si les mêmes idées peuvent être étendues aux champs variables et à la dynamique des systèmes.Résumant enfin la manière dont Schrodinger a pu ramener la mécanique quantique d'Heisenberg, Born et Jordan à la nouvelle mécanique ondula- toire, il indique rapidement, en terminant, les problèmes que pose le raccord de la théorie électromagnétique avec l'ensemble de ces conceptions.SÉRIE VI. -TOME VII.NOVEMBRE 1926 N-IJ 1. I. -DYNAMIQUE ONDULATOIRE DU POINT MATÉRIEL DANS LN CH.1J1P ' Pour interpréter les faits expérimentaux, les physiciens ont été amenés à considérer surtout le type suivant de solution de l'équation ( t ) : OÙ '1 est une constante appelée la fréquence de l'onde, et -1, une fonction représentant son (1) Voir notamment Thèse de doctorat, )Iasson, i924, et J. Phys., t. 7 (1926).1-6.(2) Ann.der Phys., t. 79 (i926), 351, 489 et 734.Je désignerai ces trois mémoires par les lettres A, B, C.

Journal de physique•Jan 1, 1926•25 citations

II LES OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

Claude N. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

EDP Sciences eBooks•Nov 4, 2020•0 citations

Remarques sur la mécanique ondulatoire

Léon Brillouin

L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.

Journal de physique•Jan 1, 1926•249 citations

Avant-propos

Claude N. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

Avant-propos Avant-proposLa mécanique quantique est une branche de la physique dont l'importance n'a cessé de s'accroître au cours des dernières décennies.Elle est bien sûr essentielle pour comprendre la structure et la dynamique des objets microscopiques comme les atomes, les molécules, ainsi que leurs interactions avec le rayonnement électromagnétique.Mais elle est aussi à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs comme les sources laser (communications, médecine, usinage, etc.), les horloges atomiques (essentielles, en particulier, pour le GPS), les transistors (et donc les communications, l'informatique), l'imagerie par résonance magnétique, la production d'énergie (capteurs solaires, nucléaire), etc., donc des applications pratiques innombrables.Elle permet également d'expliquer des phénomènes surprenants comme la superfluidité ou la supraconductivité.Un grand intérêt est actuellement porté aux états quantiques intriqués, dont les propriétés de non-localité et non-séparabilité sont peu intuitives, et permettent d'envisager des applications remarquables dans le domaine de l'information quantique.Notre civilisation devient ainsi de plus en plus imprégnée par les applications technologiques qui découlent des concepts quantiques.Il est par suite clair qu'une attention particulière doit être portée à l'enseignement de la mécanique quantique.L'objet de ces trois tomes est de concourir à cet objectif.Un premier contact avec la mécanique quantique peut cependant être très déroutant.Le présent ouvrage, issu de plusieurs enseignements auprès des étudiants, a été conçu dans le but de faciliter une approche initiale, et d'aider ensuite le lecteur à progresser continûment vers un niveau avancé de mécanique quantique.Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, ont été utilisés par des étudiants du monde entier.Ils restaient toutefois à un niveau intermédiaire ; l'ouvrage est maintenant complété par un troisième tome qui permet au lecteur d'aller plus loin.L'ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n'est passée sous silence, et où chaque aspect des diverses questions est discuté en détail (en partant souvent d'un rappel classique).Cette volonté d'aller au fond des choses «sans tricher ni prendre de raccourci» se concrétise dans la structure même de l'ouvrage, construite à l'aide de deux textes distincts mais imbriqués : les chapitres et les compléments.Comme indiqué dans le "mode d'emploi" de la page précédente, les chapitres présentent les idées générales et les notions de base, tandis que les compléments illustrent les méthodes et concepts qui viennent d'être introduits, tout en proposant un large éventail d'applications et de prolongements intéressants.Le tome I présente une introduction générale du sujet, suivie d'un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique.Ce chapitre peut paraître un peu long et dense, mais l'expérience d'enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace.Les postulats sont énoncés à partir du troisième chapitre, avec de nombreuses illustrations dans les compléments.Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple l'oscillateur harmonique, qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des molécules, phonons, etc.), dont bon nombre font l'objet d'un complément spécifique.Le tome II poursuit dans cette voie, en élargissant sa portée, et à un niveau un peu plus élevé.Il aborde la théorie des collisions, le spin, la composition des moments cinétiques et les calculs des perturbations indépendantes ou dépendantes du temps.

EDP Sciences eBooks•Nov 4, 2020•0 citations

II LES OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

Claude N. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë

EDP Sciences eBooks•Nov 4, 2020•0 citations

Recherches sur la nouvelle théorie des quanta

E. Császár

L'auteur démontre que la fonction ψ figurant dans l'équation fondamentale (équation de l'amplitude) de la mécanique ondulatoire appartenant au mouvement simplement périodique d'un point matériel, possède la propriété suivante : [FORMULE] où τ désigne la période, Δ l'opérateur de Laplace, est invariant adiabatique, si l'on assujettit l'un des paramètres du mouvement à une variation très lente ; les coordonnées figurant dans ψ sont déterminées comme fonctions du temps à l'aide des équations du mouvement de la mécanique classique Cette intégrale est dans un rapport étroit avec les anciennes intégrales des quanta L'auteur applique le théorème démontré à des cas spéciaux : à l'oscillateur harmonique et à l'ellipse de Képler. Il en fait également application à la théorie des perturbations : il résout le problème de l'oscillateur anharmonique et calcule les principales formules de thermodynamique par rapport à un système constitué d'oscillateurs anharmoniques.

Journal de physique•Jan 1, 1931•0 citations
Cet article est un exposé des méthodes de la nouvelle mécanique atomique, d'après Heisenberg, Zts. f. Phys., t. 33 (1925), p. 879; Born et Jordan, Zts. f. Phys., t. 34 (1925), p. 858; Dirac, Proc. Roy. Soc., A, t. 109 (1925), p. 642; Kramers, Physica, t. 5 (1925), p. 369; Born, Jordan et Heisenberg, Zts. f. Phys., t. 35 (1926), p. 557; L. Brillouin, C. R., t, 182 (1926) p. 374; Dirac, Proc. Roy. Soc., A, t. 110 (1926), p. 561; Born et Wiener, Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 174; K. Lanczos, Zts. f. Phys., t. 35 (1926), p. 812 et t. 36 (1926), p. 401; N. Bohr, Naturwiss., (Janvier 1926); F. London, Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 775; A. Wintner. Zts. f. Phys., t. 36 (1926), p. 778. L'auteur a essayé de présenter l'essentiel de ces tentatives, et de raccorder les points de vue souvent très différents adoptés par les auteurs, Born et Dirac en particulier. Quelques critiques de détail sont aussi formulées, notamment sur les points suivants : la limitation des matrices à des termes d'indices positifs est arbitraire et peu justifiée; si on admet des indices négatifs, on obtient de nouvelles solutions pour le problème de l'oscillateur linéaire (§ 6). Les matrices sont en général bornées, contrairement à l'affirmation de Born, qui repose sur l'emploi d'un criterium mal choisi (§ 13).
Sommaire.2014 Le but du mémoire est d'exposer les principes généraux de la nouvelle conception ondulatoire de la mécanique suggérée par l'auteur et confirmée par les récents travaux de Schrodinger.L'auteur a cherché d'abord à montrer, dans le cas particulier des champs constants, comment les résultats de Schrodinger prolongent et complètent les siens; puis il examine si les mêmes idées peuvent être étendues aux champs variables et à la dynamique des systèmes.Résumant enfin la manière dont Schrodinger a pu ramener la mécanique quantique d'Heisenberg, Born et Jordan à la nouvelle mécanique ondula- toire, il indique rapidement, en terminant, les problèmes que pose le raccord de la théorie électromagnétique avec l'ensemble de ces conceptions.SÉRIE VI. -TOME VII.NOVEMBRE 1926 N-IJ 1. I. -DYNAMIQUE ONDULATOIRE DU POINT MATÉRIEL DANS LN CH.1J1P ' Pour interpréter les faits expérimentaux, les physiciens ont été amenés à considérer surtout le type suivant de solution de l'équation ( t ) : OÙ '1 est une constante appelée la fréquence de l'onde, et -1, une fonction représentant son (1) Voir notamment Thèse de doctorat, )Iasson, i924, et J. Phys., t. 7 (1926).1-6.(2) Ann.der Phys., t. 79 (i926), 351, 489 et 734.Je désignerai ces trois mémoires par les lettres A, B, C.
L'équation fondamentale de la mécanique ondulatoire peut ètre résolue par une méthode d'approximations successives ; au lieu de chercher directement la fonction ψ de Schrodinger, on pose ψ = e^((2πi/h)S) et l'on obtient pour S une équation de la forme [FORMULE], où le premier membre est identique à celui de l'équation de Hamilton, tandis qu'au second membre figure une expression linéaire par rapport aux dérivées partielles du premier et second ordre de S. Cette équation peut être résolue par approximations en posant [FORMULE] et l'on a pour S0 l'équation ordinaire de Hamilton ; la série des équations qui permettent de déterminer S1, S2..., Sn... est ensuite linéaire. La fonction S, en un point donné, est multiforme, tout comme la fonction classique S0 ; sa valeur est déterminée à Σ mh Ik près, les lk étant les périodes de S ; pour que la fonction ψ n'ait qu'une seule détermination, il faut que la périodicité de l'exponentielle compense l'indétermination de S, ce qui donne les conditions Ih = nh h (nk entier). Si l'on s'en tient à la première approximation (S0), on retrouve ainsi la mécanique quantifiée de Sommerfeld, Schwarzschild, etc. Les approximations ultérieures apportent diverses corrections à ce premier calcul (quanta fractionnaires, sélection, etc.). L'auteur développe et précise cette méthode, qu'il avait déjà exposée dans une note aux compte rendus [C. R., t. 183 (5 juillet 1926), p. 24] et qui fut indiquée indépendamment par Wentzel [Zts. f. Phys., t. 38 (1926), p. 318] sous une forme d'ailleurs moins générale. Il était aussi intéressant de rechercher le type le plus général de problèmes résolubles ; c'est ce que tente l'auteur, en généralisant autant que possible les résultats obtenus précédemment. Incidemment, on constate que les équations générales ne permettent plus l'inversion du signe du temps, à moins que l'on ne change simultanément le signe de h ; ceci aura pour conséquence physique de remplacer les absorptions d'énergie par des émissions, et réciproquement D'autre part, les renseignements donnés, d'une manière très générale, sur la méthode de résolution des équations, permettent de préciser la forme des matrices et de montrer par quel mécanisme s'introduisent les règles de sélection. L'auteur indique enfin une suggestion sur le rôle du temps dans la mécanique nouvelle ; il propose une définition qui permet de retrouver sans ambiguïté les fréquences optiques, mais enlève toute existence physique aux fréquences des états stables.
Avant-propos Avant-proposLa mécanique quantique est une branche de la physique dont l'importance n'a cessé de s'accroître au cours des dernières décennies.Elle est bien sûr essentielle pour comprendre la structure et la dynamique des objets microscopiques comme les atomes, les molécules, ainsi que leurs interactions avec le rayonnement électromagnétique.Mais elle est aussi à la base du fonctionnement de nombreux dispositifs comme les sources laser (communications, médecine, usinage, etc.), les horloges atomiques (essentielles, en particulier, pour le GPS), les transistors (et donc les communications, l'informatique), l'imagerie par résonance magnétique, la production d'énergie (capteurs solaires, nucléaire), etc., donc des applications pratiques innombrables.Elle permet également d'expliquer des phénomènes surprenants comme la superfluidité ou la supraconductivité.Un grand intérêt est actuellement porté aux états quantiques intriqués, dont les propriétés de non-localité et non-séparabilité sont peu intuitives, et permettent d'envisager des applications remarquables dans le domaine de l'information quantique.Notre civilisation devient ainsi de plus en plus imprégnée par les applications technologiques qui découlent des concepts quantiques.Il est par suite clair qu'une attention particulière doit être portée à l'enseignement de la mécanique quantique.L'objet de ces trois tomes est de concourir à cet objectif.Un premier contact avec la mécanique quantique peut cependant être très déroutant.Le présent ouvrage, issu de plusieurs enseignements auprès des étudiants, a été conçu dans le but de faciliter une approche initiale, et d'aider ensuite le lecteur à progresser continûment vers un niveau avancé de mécanique quantique.Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, ont été utilisés par des étudiants du monde entier.Ils restaient toutefois à un niveau intermédiaire ; l'ouvrage est maintenant complété par un troisième tome qui permet au lecteur d'aller plus loin.L'ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n'est passée sous silence, et où chaque aspect des diverses questions est discuté en détail (en partant souvent d'un rappel classique).Cette volonté d'aller au fond des choses «sans tricher ni prendre de raccourci» se concrétise dans la structure même de l'ouvrage, construite à l'aide de deux textes distincts mais imbriqués : les chapitres et les compléments.Comme indiqué dans le "mode d'emploi" de la page précédente, les chapitres présentent les idées générales et les notions de base, tandis que les compléments illustrent les méthodes et concepts qui viennent d'être introduits, tout en proposant un large éventail d'applications et de prolongements intéressants.Le tome I présente une introduction générale du sujet, suivie d'un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique.Ce chapitre peut paraître un peu long et dense, mais l'expérience d'enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace.Les postulats sont énoncés à partir du troisième chapitre, avec de nombreuses illustrations dans les compléments.Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple l'oscillateur harmonique, qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des molécules, phonons, etc.), dont bon nombre font l'objet d'un complément spécifique.Le tome II poursuit dans cette voie, en élargissant sa portée, et à un niveau un peu plus élevé.Il aborde la théorie des collisions, le spin, la composition des moments cinétiques et les calculs des perturbations indépendantes ou dépendantes du temps.
L'auteur démontre que la fonction ψ figurant dans l'équation fondamentale (équation de l'amplitude) de la mécanique ondulatoire appartenant au mouvement simplement périodique d'un point matériel, possède la propriété suivante : [FORMULE] où τ désigne la période, Δ l'opérateur de Laplace, est invariant adiabatique, si l'on assujettit l'un des paramètres du mouvement à une variation très lente ; les coordonnées figurant dans ψ sont déterminées comme fonctions du temps à l'aide des équations du mouvement de la mécanique classique Cette intégrale est dans un rapport étroit avec les anciennes intégrales des quanta L'auteur applique le théorème démontré à des cas spéciaux : à l'oscillateur harmonique et à l'ellipse de Képler. Il en fait également application à la théorie des perturbations : il résout le problème de l'oscillateur anharmonique et calcule les principales formules de thermodynamique par rapport à un système constitué d'oscillateurs anharmoniques.