Abstract In Spinsystemen wie dem Ising‐ oder Heisenberg‐Modell liefert die Weisssche Mean‐Field‐Theorie eine Näherungslösung, die in hohen Dimensionen d immer genauer wird, und im Limes d → ∞ sogar exakt. In wechselwirkenden Fermi‐Systemen hingegen sind die gängigen Mean‐Field‐Theorien, darunter insbesondere die Hartree‐Fock‐Näherung, auch in hohen Dimensionen im allgemeinen unzureichend. Erst kürzlich führte die gezielte Analyse wechselwirkender Fermi‐Systeme im Limes d → ∞ zur Entwicklung einer in hohen Dimensionen exakten Mean‐Field‐Theorie. Das mittlere Feld in dieser Theorie hat zwangsläufig dynamischen Charakter, im Gegensatz zum statischen Feld in der einfacheren Hartree‐Fock‐Näherung. Dieser neue Zugang führte zu einem großen Fortschritt bei vielen, zum Teil auch sehr alten, Problemen stark korrelierter Fermi‐Systeme. Das bisher spektakulärste Ergebnis hierbei ist die Formulierung der ersten konsistenten Mean‐Field‐Theorie des korrelationsinduzierten Mottschen Metall‐Isolator‐Übergangs.
Abstract In Spinsystemen wie dem Ising‐ oder Heisenberg‐Modell liefert die Weisssche Mean‐Field‐Theorie eine Näherungslösung, die in hohen Dimensionen d immer genauer wird, und im Limes d → ∞ sogar exakt. In wechselwirkenden Fermi‐Systemen hingegen sind die gängigen Mean‐Field‐Theorien, darunter insbesondere die Hartree‐Fock‐Näherung, auch in hohen Dimensionen im allgemeinen unzureichend. Erst kürzlich führte die gezielte Analyse wechselwirkender Fermi‐Systeme im Limes d → ∞ zur Entwicklung einer in hohen Dimensionen exakten Mean‐Field‐Theorie. Das mittlere Feld in dieser Theorie hat zwangsläufig dynamischen Charakter, im Gegensatz zum statischen Feld in der einfacheren Hartree‐Fock‐Näherung. Dieser neue Zugang führte zu einem großen Fortschritt bei vielen, zum Teil auch sehr alten, Problemen stark korrelierter Fermi‐Systeme. Das bisher spektakulärste Ergebnis hierbei ist die Formulierung der ersten konsistenten Mean‐Field‐Theorie des korrelationsinduzierten Mottschen Metall‐Isolator‐Übergangs.
In stark korrelierte Elektronensystemen lassen sich eindrucksvolle Phänomene der Physik der kondensierten Materie beobachten: Hier treten neben dem berühmten Mott-Hubbard Übergang von einem Metall zu einem Isolator auch klassische Phasenübergänge wie Magnetismus, Ladungsordnung und Supraleitung auf. Darüber hinaus zeigen diese Systeme Quantenphasenübergänge, die Gegenstand intensiver modernster Forschung sind. Was diese Übergänge so bemerkenswert macht, ist die Tatsache, dass sie im Gegensatz zu klassischen Übergängen am absoluten Temperaturnullpunkt stattfinden. Dies macht Quantenphasenübergänge zum Einen sehr faszinierend, zum Anderen theoretisch sehr schwer zu beschreiben: Bis dato existiert keine umfassende Theorie der Quantenkritikalität. Das Ziel dieser Dissertation ist die theoretische Beschreibung von klassischen und Quantenphasenübergängen durch die Anwendung von hochaktuellen quantenfeldtheoretischen Methoden auf das fundamentalste Modell für elektronische Korrelationen, das Hubbard-Modell. Die hierfür verwendeten Methoden sind die dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), welche in der Lage ist, lokale Korrelationen zu beschreiben, aber räumliche Korrelationen vernachlässigt, und die dynamische Vertexapproximation (D-A), welche zusätzlich räumliche Fluktuationen auf beliebigen Längenskalen berücksichtigt. Zuerst werden Vorboten von Phasenübergängen näher untersucht. Beim Mott-Hubbard Übergang werden diese durch divergierende irreduzible Vertexfunktionen und bei klassischen Phasenübergängen durch starke Ladungs-, Spin- oder Paarfluktuationen repräsentiert. Danach wird der Einfluss von Dimensionalität und Nähe zu Phasenübergängen auf das Spektrum des Systems untersucht. Spezifische Relationen für die Selbstenergie in verschiedenen Dimensionen werden herausgearbeitet. Im nächsten Schritt wird das Schicksal des Mott-Hubbard Metall-Isolator-Übergangs in zwei Dimensionen bestimmt, wo die DMFT zu dessen Beschreibung nicht ausreicht, weil hier räumliche Korrelationen sehr stark werden. Schließlich wird das magnetische Phasendiagramm für das lochdotierte Hubbard-Modell in drei Dimensionen berechnet und analysiert. Die D-A ist hierfür prädestiniert, weil sie die simultane Behandlung von zeitlichen und räumlichen Korrelationen erlaubt, was insbesondere wichtig für die Beschreibung eines quantenkritischen Punktes bei starker Wechselwirkung ist. Die (quanten)kritischen Exponenten der magnetischen Suszeptibilität und Korrelationslänge werden mittels der D-A bestimmt. Diese stehen im Widerspruch zur konventionellen Hertz-Millis-Moriya Theorie.
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der theoretischen Beschreibung des korrelierten Mott-Hubbard Isolators. Obwohl das Hubbard Modell das konzeptionell einfachste Modell korrelierter Elektronen darstellt, wurde bisher nur in einer Dimension eine exakte Lösung gefunden. Auch das Modell in unendlichen Dimensionen ist bisher nicht exakt gelöst. Zielsetzung unserer Arbeit ist die analytische Berechnung der Einteilchen-Zustandsdichte sowie der Lücke für Ladungsanregungen des Mott-Hubbard Isolators in unendlichen Dimensionen. Hierzu berechnen wir die lokale Greenfunktion des Hubbard Modells auf dem Bethegitter mit unendlich vielen nächsten Nachbarn bei der Temperatur T = 0. Unser Startpunkt ist die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), in der das auf dem Gitter definierte Hubbard Modell auf das Single Impurity Anderson Model (SIAM) abgebildet wird. Mit Hilfe der von uns auf das vorliegende Problem angepaßten Kato-Takahashi Störungstheorie, sind wir in der Lage die Lösungen der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT bis zur dritten Ordnung in 1/U anzugeben. Hiermit präsentieren wir zum ersten Mal eine analytische Lösung der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT für den Mott-Hubbard Isolator.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.
Die theoretische und experimentelle Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme im und ausserhalb des Gleichgewichts ist in den letzten Jahren zu einem zentralen Forschungsschwerpunkt in der Physik der kondensierten Materie geworden. In dieser Habilitationsschrift werden anhand eigener Beiträge aktuelle Entwicklungen diskutiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen des Feldes gegeben. Es wird dabei ein direkter Bezug von theoretischen Zugängen zu aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen und mit stark korrelierten Materialien genommen. Insbesondere werden mikroskopische Modelle diskutiert, die zur Modellierung stark korrelierter Materialien (wie z.B. Quantenmagnete) herangezogen werden. Das zweite Thema der Schrift behandelt die Realisierung und Untersuchung von Quantenvielteilcheneffekten in aktuellen Experimenten mit ultrakalten Gasen durch sogenannte Quantensimulatoren. Ziel ist es, aufgrund theoretischer Überlegungen Vorhersagen zur Emulation stark korrelierter Systeme zu treffen und, basierend auf numerisch exakten Simulationen, Vorhersagen für die Experimente zu treffen. Da solche Experimente insbesondere auch ausserhalb des Gleichgewichts durchgeführt werden können, knüpft dies direkt an das dritte Thema der Schrift an, in dem die Physik von Quantenvielteilchensystemen ausserhalb des Gleichgewichts untersucht wird. Dazu gehören die Behandlung des Relaxationsverhaltens nach sogenannten Quantum Quenches und Fragestellungen zum Transport, die hier anhand von Situationen auf optischen Gittern diskutiert werden. Die drei Themenbereiche werden überspannt von der Fragestellung, wie man neuartige Quantenzustände realisieren kann, und wie man diese charakterisieren kann. Ausserhalb des Gleichgewichts erwächst die Fragestellung, ob durch das Relaxationsverhalten ungewöhnliche Zustände erzeugt werden können. Wie in dieser Arbeit diskutiert, ergeben sich in der Tat unerwartete Ergebnisse, wie die Bildung negativer Temperaturen, oder das Anwachsen der Teilchendichte verursacht durch repulsive Wechselwirkungen. Im Gleichgewicht kann das Vorhandensein starker Magnetfelder zu interessantem Verhalten führen, wie anhand verschiedener Systeme diskutiert wird. Hervorzuheben sind hier die Bildung unkonventioneller Mott-Isolatoren, von Phasen mit 'spin-nematischer' Ordnung, und unkonventionelle Quantenphasenübergänge. Eine aktuelle Entwicklung der aktuellen Forschung behandelt die Bildung sogenannter topologischer Phasen, die nicht durch einen lokalen Ordnungsparameter beschrieben werden und sich somit der Charakterisierung im Rahmen der Landau-Theorie von Phasen und Phasenübergängen entziehen. Aktuelle Fragestellungen sind die Realisierung solcher Phasen im Vorhandensein von Wechselwirkungen, auch langreichweitiger Natur, wie sie in Quantensimulatoren mit polaren Molekülen in Erscheinung treten. In dieser Schrift wird diskutiert, wie diese Fragestellungen durch einen numerischen Zugang - die Dichtematrixrenormierungsgruppe - behandelt werden können und wie diese sehr flexible Methode zu interessanten Einsichten in die facettenreiche Physik stark korrelierter Quantensysteme führt.
Abstract Monte‐Carlo‐Simulationen sind ein etabliertes und hilfreiches Verfahren bei der Behandlung von Problemen der klassischen statistischen Physik. Obwohl seit Mitte dieses Jahrhunderts ebenso bekannt ist, wie auch quantenmechanische Probleme mit stochastischen Mitteln behandelt werden können, ging die Entwicklung der Quanten‐Monte‐Carlo‐Verfahren weitaus langsamer voran. Erst in den letzten Jahren ist es gelungen, diese Methoden erfolgreich in der Festkörperphysik einzusetzen. Insbesondere die Entdeckung der Hochtemperatur‐Supraleiter — und das damit verbundene Interesse an Modellen für stark wechselwirkende Fermionen — hat zu einem vermehrten Einsatz von Quanten‐Monte‐Carlo‐Verfahren geführt. Ihnen kam nicht zuletzt die enorme Leistungsfähigkeit der heutigen Großrechner zugute, und sie werden sicherlich mit der neuen Generation der Teraflop‐Maschinen weiter an Bedeutung gewinnen. Im Zuge dieser neueren Entwicklungen ist es gelungen, die Algorithmen zu verbessern und ein tieferes Verständnis dieser Verfahren, ihrer Anwendbarkeit und Grenzen zu erlangen.
In dieser Dissertation wird das Verhalten sehr kalter stark korrelierter Quantengase, sowohl in optischen Gittern, als auch in rotierenden Fallen, untersucht.Im ersten Teil betrachten wir Fermionen auf einen bosonenischem Motthintergrund in einem zweidimensionalen optischen Gitter mit quadratischen Einheitszellen.Aufgrund der Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen bilden sich "Composite Fermions", Fermionen gepaart mit bosnischen Löchern oder mit Bosonen.Für eine kleine Tunnelrate leiten wir einen effektiven Hamiltonian her, der das Verhalten der "Composite Fermions" beschreibt.Mit Hilfe einer einfachen Mean-Field-Rechnung finden wir einen Mottisolator-Superflüssigkeit Phasenübergang, den wir nummerisch bestätigen Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit Quantengasen in optischen "trimerized" Kagomégittern.Für Bosonen finden wir einem Mottisolator mit einer rationalen Anzahl von Atomen (1/3, 2/3, 1, • • • ) in einer Zelle.Im Falle einer Fermion-Fermion-Mischung können wir einen effektiven Hamiltonian für einen Heisenbergantiferromagneten herleiten.Außerdem betrachten ein Gas bestehend aus polarisierten Fermion.Auch dieses System kann mit einem effektiven Hamiltonian dargestellt werden.Durch eine exakte Diagonalisierung gelangen wir zu einer, in frustrierten Systemen, unerwarteten Schlußfolgerung: Es gibt keine Energielücke zwischen Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand aber trotzdem finden wir eine langreichweitige Spin-Spin-Korrelation.Im letzten Kapitel untersuchen wir die Möglichkeit, Wignerkristallisation in schnell rotierenden polarisiertem Dipolgasen zu beobachten.Wir vergleichen die Energie eines Wignerkristalls mit der Energie eines Laughlinzustandes und stellen fest, dass unter einer kritischen Füllrate der Wignerkristall energetisch günstiger ist.Weiterhin beschäftigen wir uns mit der Stabilität einer solchen Kristalls und finden unter Berücksichtigung von Phonon-Phonon Wechselwirkungen heraus, dass der Wignerkristall schmilzt, wenn die Füllrate einen kritischen Wert überschreitet.Wir können nun das Lindemannkriterium für den schnell rotierenden dipolaren Wignerkristall formulieren.Die kritische Füllrate für den energetischen Phasenübergang ist etwas größer als für den Schmelzpunkt.