On se propose dans ce travail d'examiner quelques points de la théorie du photon de M. L. de Broglie d'une façon indépendante de la représentation choisie pour les matrices intervenant dans l'équation d'ondes. Après avoir établi une expression générale de la solution de l'équation d'ondes au cours du temps au moyen des valeurs initiales des fonctions d'ondes données arbitrairement, on examine la représentation électromagnétique de l'équation d'ondes en cherchant les équations satisfaites par les coefficients du développement de la matrice du quatrième rang formée par les fonctions d'ondes, sur le système complet des matrices déduit des matrices de Dirac. La solution précédente permet alors d'écrire simplement les expressions des grandeurs électromagnétiques au cours du temps dans l'onde plane à partir des grandeurs électromagnétiques initiales. On montre ainsi que la forme la plus générale de l'onde plane de la théorie du photon dépend de huit constantes arbitraires et de quatre seulement dans le cas de l'onde à énergie positive. Les expressions des grandeurs électromagnétiques permettent d'établir des relations remarquables entre ces grandeurs précisant la structure électromagnétique de l'onde plane. On donne ensuite les expressions des fonctions propres des opérateurs de spin correspondant à leurs valeurs propres + I, — I et o et l'on montre que l'onde plane portant le spin + I ou -— I dans la direction de propagation est transversale tandis que l'onde portant le spin O dans cette direction est longitudinale. On examine la représentation des ondes planes dans ces différents cas.
On se propose dans ce travail d'examiner quelques points de la théorie du photon de M. L. de Broglie d'une façon indépendante de la représentation choisie pour les matrices intervenant dans l'équation d'ondes. Après avoir établi une expression générale de la solution de l'équation d'ondes au cours du temps au moyen des valeurs initiales des fonctions d'ondes données arbitrairement, on examine la représentation électromagnétique de l'équation d'ondes en cherchant les équations satisfaites par les coefficients du développement de la matrice du quatrième rang formée par les fonctions d'ondes, sur le système complet des matrices déduit des matrices de Dirac. La solution précédente permet alors d'écrire simplement les expressions des grandeurs électromagnétiques au cours du temps dans l'onde plane à partir des grandeurs électromagnétiques initiales. On montre ainsi que la forme la plus générale de l'onde plane de la théorie du photon dépend de huit constantes arbitraires et de quatre seulement dans le cas de l'onde à énergie positive. Les expressions des grandeurs électromagnétiques permettent d'établir des relations remarquables entre ces grandeurs précisant la structure électromagnétique de l'onde plane. On donne ensuite les expressions des fonctions propres des opérateurs de spin correspondant à leurs valeurs propres + I, — I et o et l'on montre que l'onde plane portant le spin + I ou -— I dans la direction de propagation est transversale tandis que l'onde portant le spin O dans cette direction est longitudinale. On examine la représentation des ondes planes dans ces différents cas.
D'après une hypothèse formulée autre part par l'auteur, un photon doit être représenté par un corpuscule complexe formé par l'association d'un électron et d'un positon, avec contraction de masse et annihilation de charge. Le processus du couplage nécessite la présence d'un troisième corps, à savoir, un noyau matériel. On établi l'équation du photon et l'on étudie ses propriétés. Cette équation contient des matrices hermitiques et anticommutatives. Dans le cas d'une onde plane, on est parvenu à établir son invariance pour une transformation de Lorentz. On trouve la distribution des spins et les conditions de disparition de l'onde longitudinale qui intervient dans la théorie de L. de Broglie. La probabilité de densité correspond à celle prévue par la théorie de Dirac. On a établi l'équation de continuité et les expressions du courant de probabilité. En général, dans ce travail on a trouvé non seulement les résultats contenus dans les développements donnés par M. L. de Broglie, mais encore, on a établi quelques propriétés nouvelles qui peuvent faire éviter certaines difficultés survenues dans la théorie de M. de Broglie.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
On essaie de construire la mécanique quantative relativiste en partant de l'hypothèse que toute grandeur physique possède quatre composantes dans l'espace-temps, qui sont fonctions d'un paramètre quadrivectoriel, point de l'espace-temps. Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l'algèbre et l'analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d'un paramètre quaternionien. L'auteur est ainsi amené à développer l'analyse quaternionienne. L'équation de Dirac s'obtient d'une manière simple et directe de la transformation la plus générale de Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement énergie P, lors du passage du système de l'observateur au système propre du corpuscule, en remplaçant dans cette transformation P par j/i ∂X + e/c A, conformément au postulat quantique. Pour parvenir aux équations de la mécanique quantique relativiste on admet que les éléments de matrice sont des quaternions, fonctions exponentielles du point de l'espace-temps. Les relations d'incertitude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la mécanique quantique quaternionienne conduisent, par ailleurs, à la formulation quadri-vectorielle du principe de Ritz, en accord parfait avec la théorie de la relativité.
Ce travail a pour but d'étudier les représentations des densités de valeur moyenne des seize matrices de Dirac en utilisant dans le cas de l'absence de champ deux représentations des solutions ondes planes monochromatiques, valables quelle que soit la détermination du système des quatre matrices α intervenant dans l'équation d'ondes, d'une part une représentation classique dont nous avons indiqué la forme générale dans un travail précédent, utilisant deux constantes arbitraires pour représenter l'amplitude des solutions à énergie positive et deux autres constantes arbitraires pour représenter l'amplitude des solutions à énergie négative, et d'autre part, une représentation utilisant les valeurs initiales des fonctions d'ondes. A partir de ces représentations des solutions, on peut construire des formes remarquables pour représenter les densités de valeur moyenne. Ces densités sont ensuite calculées en détail dans le cas de la représentation usuelle des matrices intervenant dans l'équation de Dirac.
La fonction d'onde du photon en principe et en pratique Pendant ces trois ans, nous nous sommes intéressés à quelques sujets choisis en optique et en électrodynamique quantiques. Le fil rouge de nos interrogations est la fonction d’onde du photon. Les expériences d’optique et d’électrodynamique quantique peuvent-elles être décrites de manière simple, dans l’espace des positions, à l’aide d’une fonction d’onde décrivant le ou les photon(s) impliqués dans l’expérience ? Ce n’est pas entièrement évident :la description usuelle des photons se fait dans l’espace réciproque des vecteurs d’onde. Mais ces expériences gagnent à être décrites par la mécanique ondulatoire en représentation position, comme cela est fait dans les manuels de mécanique quantique pour des situations impliquant des particules massives. De surcroît, une expérience récente[1] a conduit à l’observation de trajectoires de photons uniques à travers un interféromètre à deux fentes d’Young.Pour essayer de décrire formellement ces trajectoires, il est naturel de formuler une mécanique ondulatoire pour les photons. Nous avons donc examiné en détail la construction formelle de la fonction d’onde du photon, un objet qui est resté peu étudié jusqu’aux années 1990. Nous avons également étudié les propriétés de la fonction d’onde du photon en présence de sources, et considéré pour ce faire divers systèmes quantiques ouverts (en interaction). Nous avons vu qu’il existe, en principe, une infinité de possibilités pour le choix de la fonction d’onde du photon.Nous avons mis en évidence un certain nombre de critères sur la base desquels il apparaît que seuls trois choix parmi tous ceux possibles sont intéressants, l’un d’entre eux ramenant à un objet introduit par Glauber [2] pour étudier la détection de la lumière et les corrélations du champ électromagnétique. Nous avons également vu qu’en l’absence de sources l’équation quantique de propagation des photons est formellement identique aux équations de Maxwell.À bas nombre de photons, le formalisme de la fonction d’onde peut se révéler très pratique. Nous avons adapté l’approche aux systèmes en interaction, en nous intéressant dans un premier temps à l’électrodynamique quantique1en cavité [3], en particulier aux expériences réalisées par le groupe de Serge Haroche [4]. Nous avons proposé un modèle simple pour la description des photons dans les cavités d’électrodynamique. À l’aide de ce modèle, et de la fonction d’onde du photon, nous avons étudié la propagation des photons s’échappant de la cavité. Nous avons également construit l’équation maîtresse de Lindblad sans introduire de sauts quantiques non unitaires (voir également [5]). Nous nous sommes enfin intéressés à la question de l’évolution spatiotemporelle d’un photon émis lors d’une désexcitation d’un électron atomique. Après avoir étudié soigneusement la dynamique de la désexcitation de l’électron, notamment aux temps très courts [6, 7], nous nous sommes attachés à décrire, aussi rigoureusement que possible, le champ électromagnétique émis. Celui-ci, de manière surprenante, n’évolue pas causalement. Si cela n’est pas entièrement inattendu au vu du théorème de Hegerfeldt, qui stipule [8] que la causalité est exclue pour les systèmes décrits par un Hamiltonien dont le spectre est borné inférieurement, nous avons identifié [9] deux autres sources de non-causalité, l’une, prédite qualitativement par Shirokov [10], et l’autre, entièrement nouvelle à notre connaissance, et dont la compréhension reste à affiner.
On a cherché de façon générale à raccorder les expressions classiques et quantique pour l'énergie émise par un système accéléré, par exemple au cours d'un choc. On sait qu'en mécanique quantique intervient la constante de la stucture fine. Après avoir rappelé (§ 2) les différents problèmes qui amènent à son introduction, on rappelle les bases de la théorie du rayonnement des particules accélérées en mécanique classique en particulier sous forme relativiste (§ 3). Ceci amène à discuter la notion d'accélération en mécanique quantique. On indique une démonstration particulièrement simple du théorème d'Ehrenfest (§ 4). Un exemple simple (choc d'un électron et d'un neutron) montre la nécessité de faire intervenir le quantum élémentaire d'action (§ 5). Ceci amène à discuter les limites d'applicabilité de la théorie classique au cours des chocs (§ 6). La longueur déterminante se trouve être non la longueur d'onde de de Broglie h/(mv) mais bien h/2mv sin(θ/2), θ etant l'angle de choc. La discussion d'une mesure du rayonnement au cours d'un choc amène alors à l'introduction cherchée de la constante de Planck (§ 7). L'expression trouvée, relativement indépendante de la loi de choc, permet de suivre le passage entre théorie classique et théorie quantique. Une première application des résultats précédents est faite à la loi de Coulomb dans le domaine des faibles vitesses (§ 8). Des difficultés inhérentes aux propriétés du champ de Coulomb s'y présentent qu'on discute On retrouve la formule de Kramers, à un facteur numérique près. On discute ensuite le cas des chocs à grande vitesse, tels qu'ils se présentent dans les questions relatives au rayonnement cosmique (§ 9). On montre que le rayonnement devient fort important lorsque l'énergie des particules incidentes est de l'ordre de (137)² m0 c². On insiste sur le fait que des passages vers les états d'énergie négative sont alors possibles, ce qui peut avoir certaines vérifications expérimentales. Une application d'ordre très différent est faite à la mesure des champs électrique et magnétique (§ 10). On y discute de manière approfondie les possibilités de mesure au moyen d'un corps d'épreuve dont on mesure l'impulsion. On montre que, contrairement à ce qu'ont prétendu Landau et Peierls, une telle expérience donne une erreur supérieure à celle qu'exige la théorie électromagnétique quantique de Heisenberg et Pauli. On discute les raisons de ce désaccord. On discute enfin (§ 11) la possibilité de suivre d'encore plus près la théorie classique, en particulier d'introduire la notion de force de rayonnement en mécanique quantique.