Η ακριβής επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger, που είναι η θεμελιώδης εξίσωση της κβαντικής μηχανικής, δεν είναι εφικτή για κανένα φυσικό σύστημα πολλών ηλεκτρονίων και για αυτό η ανάπτυξη προσεγγίσεών της, συνδυασμένη με τις δυνατότητες που δίνουν τα σημερινά υπολογιστικά συστήματα, έχει συνεισφέρει σε μεγάλο βαθμό στη μελέτη της δομής της ύλης. Έτσι, σήμερα μπορεί κανείς να μελετήσει με κβαντομηχανικές προσεγγίσεις στερεά, μόρια, συσσωματώματα, νανοσωλήνες ή και βιολογικά συστήματα, προβλέποντας τις ιδιότητες τους χωρίς να καταφύγει στο πείραμα ενώ πολλές φορές η ακρίβεια των υπολογισμών είναι μεγαλύτερη των πειραματικών δεδομένων. Παράλληλα, αποτελεί σημαντικό βοήθημα στη σχεδίαση νέων υλικών με επιθυμητές ιδιότητες. Οι μέθοδοι που βρίσκουν σήμερα ευρεία εφαρμογή στην εύρεση της βασικής κατάστασης των πολυηλεκτρονικών συστημάτων (αλλά και διεγερμένων σε κάποιες εκδοχές τους), όπως η Hartree-Fock (HF) και η θεωρία των συναρτησιακών της πυκνότητας (Density Functional Theory) στην Kohn και Sham (KS) εκδοχή της, προσεγγίζουν την κυματοσυνάρτηση με μια ορίζουσα Slater (SD). Όμως, τόσο η ορίζουσα HF όσο και η ορίζουσα KS δεν αποτελούν πάντα ιδιοκαταστάσεις όλων των τελεστών που αντιμετατίθενται με την ακριβή Χαμιλτονιανή του υπό μελέτη φυσικού συστήματος, παρότι οι ακριβείς λύσεις της εξίσωσης Schrödinger έχουν την ιδιότητα αυτή. Μια τέτοια περίπτωση είναι η συμμετρία του ολικού σπιν S2 στην περίπτωση της μη περιορισμένης (Unrestricted) Hartree-Fock (UHF) ή της μη περιορισμένης Kohn και Sham (UKS). Μπορεί κανείς να επιβάλλει η SD να αποτελεί ιδιοκατάσταση του τελεστή S2 με το να περιορίσει τις μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις με σπιν πάνω και κάτω να σχηματίζουν “ζεύγη” με ίδιο χωρικό μέρος (Restricted Hartree-Fock). Αυτή η πρόσθετη “τεχνητή” απαίτηση για τις μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις οδηγεί σε χειρότερη προσέγγιση της βασικής κατάστασης αδυνατώντας συχνά να περιγράψει ακόμη και ποιοτικά διαδικασίες όπως ο διαχωρισμός ενός πολύ απλού μορίου όπως αυτό του Υδρογόνου στα άτομα που το αποτελούν. Παρόλα αυτά, η εφαρμογή της σε συστήματα κλειστού φλοιού για ενδοατομικές αποστάσεις ισορροπίας δίνει συνήθως αρκετά καλά αποτελέσματα. Επιπλέον, η απαίτηση των διπλά κατειλημμένων μονοηλεκτρονικών κυματοσυναρτήσεων διαφορετικού σπιν περιορίζει το χώρο μέσα στον οποίο γίνεται η εύρεση του ελαχίστου της ενέργειας, οδηγώντας έτσι συχνά στην εύρεση πιο υψηλής ενέργειας σε σχέση με την αντίστοιχη που θα έπαιρνε κανείς από μια “μη περιορισμένη” (SD). Να σημειώσουμε εδώ ότι οι προσεγγίσεις αυτές βασίζονται στην “αρχή των μεταβολών” η ενέργεια που βρίσκει κανείς είναι ένα άνω όριο στην ενέργεια της ακριβούς βασικής κατάστασης του συστήματος. Έτσι, η προσεγγιστική κυματοσυνάρτηση ενός πολυηλεκτρονικού συστήματος, εκφρασμένη με μια μόνο ορίζουσα Slater, μπορεί να γίνει ποιοτικά καλύτερη όταν η ορίζουσα της ελαχιστοποίησης της ενέργειας είναι μη περιορισμένη. Όμως, όπως προαναφέρθηκε, η ορίζουσα αυτή δε μετασχηματίζεται σύμφωνα με τις μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις της συμμετρίας του σπιν. Να σημειώσουμε εδώ ότι παρότι στα πλαίσια της κβαντικής χημείας έχουν αναπτυχθεί προσεγγίσεις που η δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση είναι πολλών οριζουσών (multideterminental) όπως οι (Configuration State Functions) στην Configuration Interaction όπου μάλιστα η αρχική κυματοσυνάρτηση μπορεί να φτιαχτεί ως ιδιοκατάσταση του S2, οι μέθοδοι αυτές είναι υπολογιστικά πολυδάπανες σε σχέση με τις προσεγγίσεις μιας ορίζουσας Slater. Επιπλέον, στα πλαίσια της Θεωρίας των Συναρτησιακών της Πυκνότητας στην Kohn και Sham εκδοχή της η οποία εφαρμόζεται για υπολογισμό ιδιοτήτων σε πολύ μεγάλα συστήματα, όπως βιολογικά μόρια, δεν έχουμε κυματοσυναρτήσεις πολλών οριζουσών. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, έγινε ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας με την οποία γίνεται ακριβής ανάλυση μιας μη περιορισμένης ορίζουσας Slater σε ιδιοκαταστάσεις του ολικού σπιν S2. Η εφαρμογή της μεθοδολογίας αυτής έγινε σε ορίζουσες που αποτελούν προσέγγιση βασικής καταστάσεις όπως προκύπτουν από τις Unrestricted Hartree-Fock και Kohn και Sham (UKS). Η ορίζουσα αυτή αναπτύσσεται σε ιδιοκαταστάσεις του S2, κάνοντας αλλαγή των τροχιακών της αρχικής ορίζουσας. Έτσι αναπτύσσεται σε γραμμικό συνδυασμό οριζουσών που κάθε μια έχει είτε ζεύγη μονοηλεκτρονικών κυματοσυναρτήσεων αντίθετου σπιν με επικάλυψη μονάδα ή μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις κάθετες μεταξύ τους. Με μια διαδικασία που στηρίζεται στη δράση των τελεστών S+ και S- και χρήση των συντελεστών Clebsh-Gordon κάθε μια από τις παραπάνω ορίζουσες αναλύεται σε ιδιοκαταστάσεις του S2. Έτσι, βρίσκουμε την ακριβή έκφραση των αναλυόμενων ιδιοκαταστάσεων του S2 που προκύπτουν από μια μη περιορισμένη ορίζουσα Slater.Η μεθοδολογία εφαρμόστηκε στην εύρεση ιδιοκαταστάσεων του S2 από ορίζουσες μη περιορισμένης UHF και UKS. Κάποια από τις συνιστώσες καταστάσεις δίνει πιο χαμηλή ή ίση ενέργεια από αυτή της ορίζουσας από την οποία προκύπτει πράγμα που την καθιστά καλύτερη ποιοτικά σαν λύση. Η εφαρμογή έγινε σε μικρά μόρια κλειστού και ανοιχτού φλοιού ώστε να είναι εύκολα ελέγξιμα τα αποτελέσματα. Η ανάπτυξη αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σύστημα μπορεί να βρεθεί λύση UHF και UKS εφόσον δεν υπεισέρχεται κάποια επιπλέον διαδικασία “αυτοσυνεπούς” διαγωνιοποίησης ή κάποιος άλλος λόγος που θα έκανε το πρόβλημα μη επιλύσιμο και υπολογιστικά χρονοβόρο. Επιπλέον, είναι δυνατή η εφαρμογή της μεθοδολογίας όχι μόνο στη βασική αλλά και σε διεγερμένες καταστάσεις.
Η ακριβής επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger, που είναι η θεμελιώδης εξίσωση της κβαντικής μηχανικής, δεν είναι εφικτή για κανένα φυσικό σύστημα πολλών ηλεκτρονίων και για αυτό η ανάπτυξη προσεγγίσεών της, συνδυασμένη με τις δυνατότητες που δίνουν τα σημερινά υπολογιστικά συστήματα, έχει συνεισφέρει σε μεγάλο βαθμό στη μελέτη της δομής της ύλης. Έτσι, σήμερα μπορεί κανείς να μελετήσει με κβαντομηχανικές προσεγγίσεις στερεά, μόρια, συσσωματώματα, νανοσωλήνες ή και βιολογικά συστήματα, προβλέποντας τις ιδιότητες τους χωρίς να καταφύγει στο πείραμα ενώ πολλές φορές η ακρίβεια των υπολογισμών είναι μεγαλύτερη των πειραματικών δεδομένων. Παράλληλα, αποτελεί σημαντικό βοήθημα στη σχεδίαση νέων υλικών με επιθυμητές ιδιότητες. Οι μέθοδοι που βρίσκουν σήμερα ευρεία εφαρμογή στην εύρεση της βασικής κατάστασης των πολυηλεκτρονικών συστημάτων (αλλά και διεγερμένων σε κάποιες εκδοχές τους), όπως η Hartree-Fock (HF) και η θεωρία των συναρτησιακών της πυκνότητας (Density Functional Theory) στην Kohn και Sham (KS) εκδοχή της, προσεγγίζουν την κυματοσυνάρτηση με μια ορίζουσα Slater (SD). Όμως, τόσο η ορίζουσα HF όσο και η ορίζουσα KS δεν αποτελούν πάντα ιδιοκαταστάσεις όλων των τελεστών που αντιμετατίθενται με την ακριβή Χαμιλτονιανή του υπό μελέτη φυσικού συστήματος, παρότι οι ακριβείς λύσεις της εξίσωσης Schrödinger έχουν την ιδιότητα αυτή. Μια τέτοια περίπτωση είναι η συμμετρία του ολικού σπιν S2 στην περίπτωση της μη περιορισμένης (Unrestricted) Hartree-Fock (UHF) ή της μη περιορισμένης Kohn και Sham (UKS). Μπορεί κανείς να επιβάλλει η SD να αποτελεί ιδιοκατάσταση του τελεστή S2 με το να περιορίσει τις μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις με σπιν πάνω και κάτω να σχηματίζουν “ζεύγη” με ίδιο χωρικό μέρος (Restricted Hartree-Fock). Αυτή η πρόσθετη “τεχνητή” απαίτηση για τις μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις οδηγεί σε χειρότερη προσέγγιση της βασικής κατάστασης αδυνατώντας συχνά να περιγράψει ακόμη και ποιοτικά διαδικασίες όπως ο διαχωρισμός ενός πολύ απλού μορίου όπως αυτό του Υδρογόνου στα άτομα που το αποτελούν. Παρόλα αυτά, η εφαρμογή της σε συστήματα κλειστού φλοιού για ενδοατομικές αποστάσεις ισορροπίας δίνει συνήθως αρκετά καλά αποτελέσματα. Επιπλέον, η απαίτηση των διπλά κατειλημμένων μονοηλεκτρονικών κυματοσυναρτήσεων διαφορετικού σπιν περιορίζει το χώρο μέσα στον οποίο γίνεται η εύρεση του ελαχίστου της ενέργειας, οδηγώντας έτσι συχνά στην εύρεση πιο υψηλής ενέργειας σε σχέση με την αντίστοιχη που θα έπαιρνε κανείς από μια “μη περιορισμένη” (SD). Να σημειώσουμε εδώ ότι οι προσεγγίσεις αυτές βασίζονται στην “αρχή των μεταβολών” η ενέργεια που βρίσκει κανείς είναι ένα άνω όριο στην ενέργεια της ακριβούς βασικής κατάστασης του συστήματος. Έτσι, η προσεγγιστική κυματοσυνάρτηση ενός πολυηλεκτρονικού συστήματος, εκφρασμένη με μια μόνο ορίζουσα Slater, μπορεί να γίνει ποιοτικά καλύτερη όταν η ορίζουσα της ελαχιστοποίησης της ενέργειας είναι μη περιορισμένη. Όμως, όπως προαναφέρθηκε, η ορίζουσα αυτή δε μετασχηματίζεται σύμφωνα με τις μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις της συμμετρίας του σπιν. Να σημειώσουμε εδώ ότι παρότι στα πλαίσια της κβαντικής χημείας έχουν αναπτυχθεί προσεγγίσεις που η δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση είναι πολλών οριζουσών (multideterminental) όπως οι (Configuration State Functions) στην Configuration Interaction όπου μάλιστα η αρχική κυματοσυνάρτηση μπορεί να φτιαχτεί ως ιδιοκατάσταση του S2, οι μέθοδοι αυτές είναι υπολογιστικά πολυδάπανες σε σχέση με τις προσεγγίσεις μιας ορίζουσας Slater. Επιπλέον, στα πλαίσια της Θεωρίας των Συναρτησιακών της Πυκνότητας στην Kohn και Sham εκδοχή της η οποία εφαρμόζεται για υπολογισμό ιδιοτήτων σε πολύ μεγάλα συστήματα, όπως βιολογικά μόρια, δεν έχουμε κυματοσυναρτήσεις πολλών οριζουσών. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, έγινε ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας με την οποία γίνεται ακριβής ανάλυση μιας μη περιορισμένης ορίζουσας Slater σε ιδιοκαταστάσεις του ολικού σπιν S2. Η εφαρμογή της μεθοδολογίας αυτής έγινε σε ορίζουσες που αποτελούν προσέγγιση βασικής καταστάσεις όπως προκύπτουν από τις Unrestricted Hartree-Fock και Kohn και Sham (UKS). Η ορίζουσα αυτή αναπτύσσεται σε ιδιοκαταστάσεις του S2, κάνοντας αλλαγή των τροχιακών της αρχικής ορίζουσας. Έτσι αναπτύσσεται σε γραμμικό συνδυασμό οριζουσών που κάθε μια έχει είτε ζεύγη μονοηλεκτρονικών κυματοσυναρτήσεων αντίθετου σπιν με επικάλυψη μονάδα ή μονοηλεκτρονικές κυματοσυναρτήσεις κάθετες μεταξύ τους. Με μια διαδικασία που στηρίζεται στη δράση των τελεστών S+ και S- και χρήση των συντελεστών Clebsh-Gordon κάθε μια από τις παραπάνω ορίζουσες αναλύεται σε ιδιοκαταστάσεις του S2. Έτσι, βρίσκουμε την ακριβή έκφραση των αναλυόμενων ιδιοκαταστάσεων του S2 που προκύπτουν από μια μη περιορισμένη ορίζουσα Slater.Η μεθοδολογία εφαρμόστηκε στην εύρεση ιδιοκαταστάσεων του S2 από ορίζουσες μη περιορισμένης UHF και UKS. Κάποια από τις συνιστώσες καταστάσεις δίνει πιο χαμηλή ή ίση ενέργεια από αυτή της ορίζουσας από την οποία προκύπτει πράγμα που την καθιστά καλύτερη ποιοτικά σαν λύση. Η εφαρμογή έγινε σε μικρά μόρια κλειστού και ανοιχτού φλοιού ώστε να είναι εύκολα ελέγξιμα τα αποτελέσματα. Η ανάπτυξη αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σύστημα μπορεί να βρεθεί λύση UHF και UKS εφόσον δεν υπεισέρχεται κάποια επιπλέον διαδικασία “αυτοσυνεπούς” διαγωνιοποίησης ή κάποιος άλλος λόγος που θα έκανε το πρόβλημα μη επιλύσιμο και υπολογιστικά χρονοβόρο. Επιπλέον, είναι δυνατή η εφαρμογή της μεθοδολογίας όχι μόνο στη βασική αλλά και σε διεγερμένες καταστάσεις.
Ο σκοπός αυτής της διατριβής, είναι η κβαντική–οπτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης ισχυρού πεδίου λέϊζερ–ατόμου. Χρησιμοποιώντας μία πλήρη κβαντομηχανική προσέγγιση (πιο συγκεκριμένα, θεωρώντας σύμφωνη κατάσταση για το πεδίο του λεϊζερ) για την περιγραφή των αρμονικών υψηλής τάξης, παραγώμενες από την αλληλεπίδραση ενός ισχυρού υπέρυθρου πεδίου λεϊζερ με άτομα, καταγράψαμε το φάσμα των αρμονικών χωρίς τη χρήση συμβατικού φασματόμετρου ακραίας υπεριώδους φασματικής περιοχής. Αυτό επιτεύχθηκε, με τη χρήση στατιστικής φωτονίων στην κατάσταση του υπέρυθρου φωτός που εξέρχεται από το αέριο μέσο. Βρέθηκε ότι η ακτινοβολία έχει μια ξεχωριστή μη–κλασσική συμπεριφορά, καθώς η κατανομή φωτονίων αποτελείται από μία σειρά καλά καθορισμένων κορυφών, οι οποίες αντιστοιχούν στο φάσμα των αρμονικών υψηλής τάξης. Αυτή η εργασία συνθέτει τα πεδία της φυσικής ισχυρού πεδίου και κβαντικής οπτικής και ανοίγει το δρόμο για μελέτες στην επιστήμη των αττοδευτερολέπτων, χρησιμοποιώντας συμβατικά διαγνωστικά υπέρυθρης ακτινοβολίας.
Έχει παρατηρηθεί ήδη από το 1936 από τους Von Neumann και Birkhoff ότι η κβαντική μηχανική χρειάζεται μια νέα λογική δομή, η οποία να διαφοροποιείται από την λογική του Boole της κλασικής μηχανικής. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή, θεωρούμε ότι αυτή η νέα λογική είναι η λογική των σχέσεων του C. S. Peirce, η οποία σε μεγάλο βαθμό είναι ταυτόσημη με τη θεωρία κατηγοριών. Αρχικά δείχνουμε ότι μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια σχέση με ένα σπίνορ και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον φορμαλισμό των Cartan και Penrose, όπου τα σπίνορς χρησιμοποιούνται στην αναπαράσταση των συμμετριών και του χωρόχρονου. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε τα σπίνορς για να κατασκεύασουμε αναπαραστάσεις του κοσμικού φύλλου μιας χορδής και του χωρόχρονου Anti-de Sitter. Κατ' αυτόν τον τρόπο, στην περίπτωση της χορδής, λύνοντας άμεσα τους περιορισμούς χρησιμοποιούμε μόνο τους πραγματικούς βαθμούς ελευθερίας. Στη συνέχεια προχωρούμε ένα βήμα παραπάνω και θεωρούμε ότι τα σπίνορς δεν μας βοηθάνε απλά στην αναπαράσταση του χωρόχρονου αλλά, συγκροτούν και κατασκεύαζουν τον χωρόχρονο. Γνωρίζοντας ότι ένα σπίνορ μόνο του σχετίζεται με τον κώνο φωτός του χωρόχρονου Minkowski, αναζητήσαμε την γεωμετρία που προκύπτει από την σύζευξη δύο σπίνορς. Η σύζευξη δύο σπίνορς μπορεί να επιτευχθεί είτε ακολουθώντας την συνταγή του Majorana (σύζευξη δύο σπίνορς της ίδιας χειραλικότητας) είτε ακολουθώντας την συνταγή του Dirac (σύζευξη ανάμεσα ενός δεξιόστροφου και ενός αριστερόστροφου σπίνορ). Η σύζευξη τύπου Majorana αναπαράγει την γνωστή μας θεωρία κβαντικής σύμπλεξης. Από την άλλη πλευρά, η σύζευξη τύπου Dirac μας οδηγεί σε ένα χωρόχρονο με μια επιπλέον διάσταση, στην οποία συνυπάρχουν δύο μεμβράνες, με την απόσταση ανάμεσα τους να προσδιορίζεται από το μέγεθος της κβαντικής σύμπλεξης. Η μία μεμβράνη (η δική μας) φιλοξενεί αριστερόστροφα σωματίδια, ενώ η άλλη φιλοξενεί δεξιόστροφα σωματίδια. Σύμφωνα με την προσέγγισή μας, η συμμετρία αριστερά-δεξιά επιτυγχάνεται έχοντας την επιπλέον διάσταση να φιλοξενεί δύο “καθρεπτικές” μεμβράνες, ενώ με τον παραδοσιακό τρόπο επιτυγχάνεται εισάγοντας μια επιπλέον ομάδα βαθμίδας στην ενεργειακή έρημο πάνω από τις καθιερωμένες αλληλεπιδράσεις. Επίσης, το σωματίδιο του νετρίνο εμφανίζεται ως ο ιδανικός διαμεσολαβητής ανάμεσα στις δύο μεμβράνες. Τέλος, στα πλαίσια του μοντέλου μας, ότι υπάρχει στην άλλη μεμβράνη και στην επιπλέον διάσταση εμφανίζεται σε εμάς ως σκοτεινή ύλη ή σκοτεινή ενέργεια. Η προσέγγισή μας συνδέει λογική - κβαντική μηχανική - γεωμετρία και μας επιτρέπει να ασχοληθούμε με θεμελιώδη ερωτήματα για την εξέλιξη του σύμπαντος.
Ένας σχετικά νέος τομέας ενεργής έρευνας που συνδυάζει την κβαντική οπτική, τη νανοφωτονική και την κβαντική τεχνολογία ασχολείται με τη μελέτη των οπτικών ιδιοτήτων πολύπλοκων φωτονικών δομών που περιέχουν κβαντικά συστήματα, όπως είναι οι κβαντικές τελείες ημιαγωγών και οι πλασμονικές νανοδομές. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εμπίπτει σε αυτό το ερευνητικό πεδίο και παρουσιάζει μια θεωρητική και υπολογιστική μελέτη της οπτικά ελεγχόμενης δυναμικής ημιαγώγιμων κβαντικών τελειών ισχυρά συνδεδεμένων με πλασμονικές νανοδομές. Συγκεκριμένα, μελετάται η ελεγχόμενη μεταφορά πληθυσμών σε καταστάσεις εξιτονίων και δι-εξιτονίων σε ημιαγωγικές κβαντικές τελείες υπό την επίδραση μιας πλασμονικής νανοδομής, χρησιμοποιώντας τόσο συμβατικές όσο και νέες μεθόδους κβαντικού ελέγχου, όπως είναι η χρήση αναλυτικά παραγόμενων παλμών συγκεκριμένου σχήματος, εφαρμογή της μεθόδου ταχείας αδιαβατικής μεταφοράς (εφαρμογή παλμών chirped), εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται σε συντομεύσεις της αδιαβατικότητας και εφαρμογή ειδικά σχεδιασμένων παλμών on-off. Προκειμένου να μελετήσουμε τη συνεκτική αλληλεπίδραση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων με τις συζευγμένες κβαντικές-πλασμονικές νανοδομές συνδυάζουμε υπολογισμούς κβαντικής δυναμικής με ηλεκτρομαγνητικούς υπολογισμούς και επιλύουμε τις σχετικές εξισώσεις πινάκων πυκνότητας. Τα αποτελέσματα της διδακτορικής διατριβής μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την υλοποίηση γρήγορων οπτικών διακοπτών και ευαίσθητων αισθητήρων στη νανοκλίμακα, όσο και για θεμελιώδη προβλήματα της κβαντικής τεχνολογίας, όπως είναι η ελεγχόμενη δυναμική των κβαντικών bits και η παραγωγή περιπλεγμένων ή μεμονωμένων φωτονίων.
Η Κβαντική Θεωρία Πεδίου ενοποιεί τη κβαντική θεωρία με την (ειδική) θεωρία της σχετικότητας και είναι η περισσότερο πειραματικά επιβεβαιωμένη θεωρία εως σήμερα. Αυτή η ενοποίηση κβαντικής θεωρίας και σχετικότητας αφορά τους νόμους της δυναμικής εξέλιξης, ενώ μέχρι σήμερα δεν υπάρχει πλήρης και κοινώς αποδεκτή θεωρία μέτρησης (π.χ. αναγωγή της κβαντικής κατάστασης) για τη Κβαντική Θεωρία Πεδίου που να μην παραβιάζει τις αρχές της θεωρίας της σχετικότητας. Τα μοντέλα μέτρησης είναι χρήσιμα εργαλεία για την περιγραφή των τοπικών μετρήσεων στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέσω της τοπικής σύζευξης ενός κβαντομηχανικού συστήματος μέτρησης (ανιχνευτή) στο κβαντικό πεδίο. Σε αυτήν την διατριβή μελετάμε θεμελιώδεις πτυχές των μοντέλων μέτρησης στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, σε σχέση με τον σωματιδιακό εντοπισμό και την αιτιακή μετάδοση πληροφορίας. Αναλύουμε τις ασυμβατότητες που προκύπτουν μεταξύ των προβλέψεων των μοντέλων και συγκεκριμένων εννοιών σχετικιστικής αιτιότητας π.χ. την απαίτηση για μη υπερφωτεινή μετάδοση σήματος. Χαρακτηρίζουμε την τοπική πληροφορία που μπορεί να εξαχθεί από το κβαντικό πεδίο μέσω μιας σειράς μοντέλων μέτρησης, για ασθενείς και ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ του ανιχνευτή και του κβαντικού πεδίου, χρησιμοποιώντας διαταρακτικές και μη διαταρακτικές μεθόδους αντίστοιχα. Με βάση τη κβαντική μετρολογία, ορίζουμε έναν νέο εκτιμητή που ποσοτικοποιεί την πληροφορία που λαμβάνει ο ανιχνευτής, τον οποίο χρησιμοποιούμε για να αναλύσουμε ποιοτικά και ποσοτικά την πληροφορία που μπορεί να μεταδοθεί αξιόπιστα μέσω του κβαντικού πεδίου. Επίσης, μελετάμε περιπτώσεις 'αδύνατων μετρήσεων' (Sorkin 1993) στις οποίες το αξίωμα της μικροαιτιότητας στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου δεν επαρκεί για τον αποκλεισμό της υπερφωτεινής μετάδοσης πληροφορίας μεταξύ απομακρυσμένων ανιχνευτών που είναι συζευγμένοι με το κβαντικό πεδίο. Από τη σκοπιά της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου όπως χρησιμοποιείται στη φυσική υψηλών ενεργειών, τα κβαντικά πεδία περιγράφουν τη δυναμική και τις συμμετρίες μίας σειράς σωματιδίων. 'Όμως υπάρχουν θεωρήματα τα οποία αναδεικνύουν ότι η Κβαντική Θεωρία Πεδίου δεν επιδέχεται ερμηνεία μόνο με βάση την έννοια του σωματιδίου, ή μόνο με βάση την έννοια του πεδίου. Επανεξετάζουμε τον κυματοσωματιδιακό δυισμό στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου με βάση την απόκριση των ανιχνευτών σε διάφορα μοντέλα μέτρησης, και συγκρίνουμε τις προβλέψεις διαφορετικών μοντέλων για κυματοπακέτα ή συνεκτικές καταστάσεις του πεδίου. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης πεδίου-ανιχνευτή, ανακτούμε σωματιδιακή φαινομενολογία που σχετίζεται με το φαινόμενο του συντονισμού και του 'χρόνου άφιξης' του κυματοπακέτου. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης πεδίου-ανιχνευτή, δείχνουμε πώς μια συνεχής μεταβλητή του ανιχνευτή συσχετίζεται με τις πεδιακές μέσες τιμές. Τέλος, με βάση επιλύσημα μοντέλα, προτείνουμε ένα βελτιωμένο μοντέλο μέτρησης το οποίο μπορεί να περιγράψει τις περιπτώσεις ασθενούς, ισχυρής, αλλά και ενδιάμεσης σύζευξης. Εκτός από τη βελτιωμένη περιγραφή της τοπικής μέτρησης πεδίων και σωματιδίων, αυτό το μοντέλο αναδεικνύει ότι ο σωματιδιακός δυισμός ρυθμίζεται από μία μόνο παράμετρο, την ισχύ της σύζευξης μεταξύ πεδίου και ανιχνευτή. Αυτή είναι μία νέα πτυχή των τοπικών μετρήσεων μέσω μοντέλων μέτρησης στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, η οποία μπορεί να διερευνηθεί και πειραματικά σε πειραματικές διατάξεις στις οποίες η ισχύ σύζευξης δεν είναι δεδομένη, αλλά μεταβαλόμενη (π.χ. οπτομηχανική σε κοιλότητα). Συνολικά, η έρευνα αυτή συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση και εφαρμογή των μοντέλων μέτρησης, με σκοπό τη συνεπή εφαρμογή τους στον τομέα της κβαντικής οπτικής και της σχετικιστικής κβαντικής πληροφορίας.
Στην εργασία αυτή, μελετάμε, τόσο με αναλυτικό όσο και με υπολογιστικό τρόπο, γραμμικά και μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα σε συστήματα ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών GaAs/AlGaAs δύο ενεργειακών υποζωνών, όπου επάγονται διαϋποζωνικές μεταβάσεις, υπό την επίδραση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια θεωρητική περιγραφή των ημιαγώγιμων ετεροεπαφών. Ακολουθούν βασικά στοιχεία της στατιστικής και κβαντικής μηχανικής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, εξάγονται οι γενικευμένες εξισώσεις Bloch για τις διαϋποζωνικές μεταβάσεις σε ημιαγώγιμα κβαντικά πηγάδια, στις οποίες ενυπάρχουν όροι που υπεισάγουν τις μη αμελητέες, λόγω εμπλουτισμού, αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν τη βάση της μελέτης που ακολουθεί. Στα δύο επόμενα κεφάλαια, μελετούμε την αλληλεπίδραση μιας δομής διπλών συζευγμένων ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών με ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεταβλητής γωνιακής συχνότητας, καταλήγουμε σε αναλυτικές εκφράσεις για τη οπτική επιδεκτικότητα πρώτης, τρίτης και πέμπτης τάξεως και αναλύουμε τα φάσματα διαφόρων οπτικών φαινομένων, ως προς τη γωνιακή συχνότητα του εξωτερικού πεδίου, για διάφορες τιμές της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής. Επιπλέον, προσδιορίζουμε τις περιοχές όπου λαμβάνουν τιμή οι διάφορες παράμετροι, ούτος ώστε στο σύστημά μας να αναδυθεί η οπτική διστάθεια. Στα τρία τελευταία κεφάλαια, θεωρούμε ότι η ημιαγώγιμη κβαντική δομή αλληλεπιδρά ταυτόχρονα με ένα ισχυρό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (πεδίο άντλησης) καθορισμένης γωνιακής συχνότητας και ένα ασθενές (πεδίο ανίχνευσης) μεταβλητής συχνότητας και μελετούμε τα φάσματα γραμμικών και μη γραμμικών φαινομένων του πεδίου ανίχνευσης (μίξη τεσσάρων κυμάτων, απορρόφηση, διασπορά, μη γραμμικό οπτικό φαινόμενο Kerr), σε στάσιμη κατάσταση, καθώς και τη χρονική εξέλιξη αυτών. Περιγράφουμε τα φαινόμενα τόσο με αναλυτικές εκφράσεις που εξάγουμε, όσο και με την αριθμητική επίλυση των μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων του πίνακα πυκνότητας που διέπουν τη δυναμική. Στη μελέτη των φαινομένων αυτών, εξετάζεται η επίδραση της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής στις οπτικές ιδιότητες των κβαντικών πηγαδιών.
Στην παρούσα διατριβή μελετάται αριθμητικά η κρίσιμη συμπεριφορά πολύπλοκων κλασικών συστημάτων spin τύπου Ising με αταξία. Αναπτύσσεται μια αριθμητική μεθοδολογία η οποία συνδυάζει σύγχρονες μεθόδους εντροπικής δειγματοληψίας (αλγόριθμος Wang-Landau) με την τεχνική του ελάχιστου κρίσιμου ενεργειακού υπόχωρου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε μια σειρά συστημάτων. Αρχικά διερευνάται η κρίσιμη συμπεριφορά του τρισδιάστατου μοντέλου Ising τυχαίου πεδίου δίτιμης κατανομής. Μέσω μιας συστηματικής μελέτης σε χαμηλές θερμοκρασίες προσδιορίζεται με ακρίβεια το διάγραμμα φάσης του μοντέλου, η κρίσιμη τιμή του μέτρου τυχαιότητας και ο κρίσιμος εκθέτης του μήκους συσχέτισης, ενώ ταυτόχρονα δίδεται μια οριστική απάντηση στο ανοικτό ζήτημα της τάξεως της αλλαγής φάσης για υψηλές τιμές του μέτρου τυχαιότητας. Μελετώντας την κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος του φράγματος της ελεύθερης ενέργειας και της λανθάνουσας θερμότητας, δείχνεται ότι τα χαρακτηριστικά της αλλαγής φάσης πρώτης τάξεως που εμφανίζει το μοντέλο, είναι φαινόμενα που εξαφανίζονται στο θερμοδυναμικό όριο, σε αντίθεση με την πρόβλεψη της θεωρίας μέσου πεδίου για την ύπαρξη τρικρίσιμου σημείου και αλλαγή φάσης πρώτης τάξεως. Επίσης, για το ίδιο μοντέλο, μελετάται η κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος της ειδικής θερμότητας και αναδεικνύεται η ιδιότητα της έλλειψης αυτοαθροιστικότητας καθώς και η πιθανή απουσία ύπαρξης κλάσης οικουμενικότητας του μοντέλου. Επιβεβαιώνονται οι θεωρητικές προβλέψεις για ισχυρές δειγματικές διακυμάνσεις της μαγνητικής επιδεκτικότητας και παρουσιάζονται ισχυρά στοιχεία υπερ του σεναρίου κλιμάκωσης δύο εκθετών. Τέλος, στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η επίδραση τυχαιότητας στο μέτρο της ενέργειας ανταλλαγής στο απλό μοντέλο Ising και στο υπεραντισιδηρομαγνητικό μοντέλο Ising με ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις πρώτων και δευτέρων γειτόνων σε τετραγωνικό και τριγωνικό πλέγμα. Τα αριθμητικά δεδομένα και η λεπτομερής ανάλυση που παρουσιάζεται υποδεικνύουν ότι το μεν μοντέλο Ising τυχαίου δεσμού περιγράφεται αρκετά ικανοποιητικά από το σενάριο των λογαριθμικών διορθώσεων, τα δε υπεραντισιδηρομαγνητικά μοντέλα τυχαίου δεσμού, τόσο στο τετραγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει συνεχή αλλαγή φάσης, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει ασθενή αλλαγή φάση πρώτης τάξεως - ικανοποιούν τη γενικευμένη διατύπωση της ασθενούς οικουμενικότητας για τα τυχαία συστήματα. Η ειδική θερμότητα των τελευταίων παρουσιάζει μια ισχυρά συγκλίνουσα συμπεριφορά η οποία και αποδίδεται στην παρουσία των ανταγωνιστικών αλληλεπιδράσεων. Επιπλέον, τα αποτελέσματα για τα υπεραντισιδηρομαγνητικά πρότυπα τόσο στο τετραγωνικό, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα είναι σε καλή συμφωνία με τα γενικά θεωρητικά επιχειρήματα που έχουν διατυπωθεί για την επίδραση της τυχαιότητας σε αλλαγές φάσης δευτέρας (κριτήριο Harris) και πρώτης τάξεως (θεώρημα Aizenman - Wehr), αντίστοιχα.