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Zeitschrift für Naturforschung A

Modell einer unelastischen Streuung

Rudolf Avenhaus, Heinz Koppe

Published Jul 1, 1969• 0 citations
Publisher

Abstract

Abstract Eine eindimensionale Zwei-Kanal-Streuung wird mit der stationären und der instationären Schrö-dinger-Gleichung behandelt. Es werden die gebundenen Zustände des Systems bestimmt sowie die Übergangswahrscheinlichkeiten bezüglich des Streukörpers. Es wird der Fall behandelt, daß der Streukörper sich vor der Streuung nicht in einem Energieeigenzustand befindet.

DOI
10.1515/zna-1969-0717

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Weniger ist mehr. Über die Theorie und Anwendung von schwachen und unscharfen Messungen in der Quantenmechanik

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In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.

•Jan 1, 2003•0 citations

Streutheorie

Wolfgang Nolting

ZusammenfassungEin wichtiges Anwendungsgebiet der Quantenmechanik stellt die theoretische Untersuchung und Beschreibung von Streu-(Stoß)prozessen atomarer Teilchen dar. Es lassen sich damit wertvolle Aufschlüsse über Teilchenwechselwirkungen (z.B. Kernkräfte), elementare Wechselwirkungspotentiale, den Aufbau der Materie (z.B. Kristallstrukturen) usw. gewinnen. Die energetische Struktur der Atome und Moleküle wird dagegen spektroskopisch untersucht, wobei durch eine irgendwie geartete Energiezufuhr das Teilchen aus seinem Grundzustand in einen angeregten Zustand versetzt wird. Die bei der Rückkehr in den Grundzustand zum Beispiel in Form eines Photons emittierte Energie wird analysiert. Anfangs- und Endzustand des Prozesses stammen aus dem diskreten Spektrum des Hamilton-Operators (gebundene Zustände). Typisch für Streuprozesse ist dagegen, daß Anfangs- und Endzustand des betrachteten Systems beide im kontinuierlichen Teil des Eigenwertspektrums liegen. Das gestreute Teilchen kommt aus dem Unendlichen in den Wirkungsbereich des Streuers, um nach dem Stoß asymptotisch im Unendlichen detektiert zu werden. Es befindet sich also nicht in einem gebundenen Zustand.

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Quantum Simulations of the Heisenberg Model with Trapped Ions

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In der vorliegenden Dissertation werden Quantensimulationen des Heisenberg-Modells präsentiert. Die Experimente wurden auf einem ionenbasierten Quantensimulator durchgeführt, der bis zu etwa 50 einzeln adressierbare Ionen kontrollieren kann. Quantensimulatoren dieser Größe eignen sich zur Untersuchung komplexer Quantensysteme, für welche klassische Rechnungen bereits sehr schwer werden. Zunächst werden lange Ionenkristalle charakterisiert und deren Kollisionsraten und axiale Heizraten werden gemessen. Mittels Korrelationsspektroskopie bestimmen wir die Positionen der Ionen mit einer Präzision von wenigen Nanometern und ermitteln daraus Anharmonizitäten im Fallenpotential. Spin-Locking-Bewegungsspektroskopie (Motional Spin-Locking Spectroscopy) wird als Technik eingeführt, die es erlaubt direkt das Rauschspektrum der Bewegungsmoden eines gefangenen Ions zu messen. Das Rauschspektrum wird in einem Bereich von 200 Hz bis 5 kHz aufgenommen, wobei sich sowohl inkohärente als auch kohärente Fluktuationen in der Fallenfrequenz nachweisen ließen. Das Heisenberg-Modell wird mittels einer Trotter-Approximation implementiert. Dabei ist die Trotter-Sequenz in einer Form gestaltet, die die Reduktion von Rotations- und Dephasierungsfehlern ermöglicht. Es wird von zwei Quantensimulationsexperimenten des Heisenberg-Modells berichtet: Ein Experiment beobachtet eine Thermalisierung innerhalb eines geschlossenen Quantensystems unter dem Heisenberg-Modell. Das Heisenberg-Modell besitzt Erhaltungsgrößen, welche zu untereinander nicht kommutierenden Observablen gehören. Dies führt dazu, dass sich bisher existierende theoretische Vorhersagen zum resultierenden thermischen Gleichgewichtszustand nicht auf das Heisenberg-Modell anwenden lassen. Wir beobachten die Thermalisierung hin zu einem nicht-Abelschen thermischen Zustand. In einem zweiten Experiment wird die Bildung von gebundenen Zuständen zwischen Quasiteilchen im langreichweitigen, anisotropen Heisenberg-Modell beobachtet. Die zeitliche Dynamik von Pseudospins, welche durch die Ionenkette gebildet werden, zeigt, dass sich die gebundenen Zustände Lichtkegel-artig ausbreiten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit und das Verschränkungswachstum der gebundenen Zustände werden für verschiedene Wechselwirkungsstärken gemessen. Die Arbeit schließt mit einem kurzen Ausblick auf ein anstehendes Upgrade des Experiments, in Zuge dessen eine neue Ionenfalle und eine neue Vakuumkammer installiert werden.

•Jan 1, 2025•0 citations

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Diese Dissertation behandelt die Kodierung und Verschickung von Information durch einen Quantenkanal. Ein Quantenkanal besteht aus einem quantenmechanischen System, welches vom Sender manipuliert und vom Empfänger ausgelesen werden kann. Dabei repräsentiert der individuelle Zustand des Kanals die Nachricht. Die zwei Themen der Dissertation umfassen 1) die Möglichkeit, eine Nachricht in einem Quantenkanal verlustfrei zu komprimieren und 2) die Möglichkeit eine Nachricht von einer Partei zu einer einer anderen direkt und auf sichere Weise zu übermitteln, d.h. ohne dass es einer dritte Partei möglich ist, die Nachricht abzuhören und dabei unerkannt zu bleiben. Die wesentlichen Ergebnisse der Dissertation sind die folgenden. Ein allgemeiner Formalismus für Quantencodes mit variabler Länge wird ausgearbeitet. Diese Codes sind notwendig um verlustfreie Kompression zu ermöglichen. Wegen der Quantennatur des Kanals sind die codierten Nachrichten allgemein in einer Superposition von verschiedenen Längen. Es zeigt sich, daß es unmöglich ist eine Quantennachricht verlustfrei zu komprimieren, wenn diese dem Sender nicht apriori bekannt ist. Im anderen Falle wird die Möglichkeit verlustfreier Quantenkompression gezeigt und eine untere Schranke für die Kompressionsrate abgeleitet. Des weiteren wird ein expliziter Kompressionsalgorithmus konstruiert, der für beliebig vorgegebene Ensembles aus Quantennachrichten funktioniert. Ein quantenkryptografisches Prokoll - das “Ping-Pong Protokoll” - wird vorgestellt, welches die sichere direkte übertragung von klassischen Nachrichten durch einen Quantenkanal ermöglicht. Die Sicherheit des Protokolls gegen beliebige Abhörangriffe wird bewiesen für den Fall eines idealen Quantenkanals. Im Gegensatz zu anderen quantenkryptografischen Verfahren ist das Ping-Pong Protokoll deterministisch und kann somit sowohl für die Übermittlung eines zufälligen Schlüssels als auch einer komponierten Nachricht verwendet werden. Das Protokoll is perfekt sicher für die Übertragung eines Schlüssels und quasi-sicher für die direkte Übermittlung einer Nachricht. Letzteres bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Abhörangriffs exponenziell mit der Länge der Nachricht abnimmt.

•Jul 1, 2004•1 citation

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Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei•Jun 1, 1969•1 citation
Abstract Eine eindimensionale Zwei-Kanal-Streuung wird mit der stationären und der instationären Schrö-dinger-Gleichung behandelt. Es werden die gebundenen Zustände des Systems bestimmt sowie die Übergangswahrscheinlichkeiten bezüglich des Streukörpers. Es wird der Fall behandelt, daß der Streukörper sich vor der Streuung nicht in einem Energieeigenzustand befindet.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
ZusammenfassungEin wichtiges Anwendungsgebiet der Quantenmechanik stellt die theoretische Untersuchung und Beschreibung von Streu-(Stoß)prozessen atomarer Teilchen dar. Es lassen sich damit wertvolle Aufschlüsse über Teilchenwechselwirkungen (z.B. Kernkräfte), elementare Wechselwirkungspotentiale, den Aufbau der Materie (z.B. Kristallstrukturen) usw. gewinnen. Die energetische Struktur der Atome und Moleküle wird dagegen spektroskopisch untersucht, wobei durch eine irgendwie geartete Energiezufuhr das Teilchen aus seinem Grundzustand in einen angeregten Zustand versetzt wird. Die bei der Rückkehr in den Grundzustand zum Beispiel in Form eines Photons emittierte Energie wird analysiert. Anfangs- und Endzustand des Prozesses stammen aus dem diskreten Spektrum des Hamilton-Operators (gebundene Zustände). Typisch für Streuprozesse ist dagegen, daß Anfangs- und Endzustand des betrachteten Systems beide im kontinuierlichen Teil des Eigenwertspektrums liegen. Das gestreute Teilchen kommt aus dem Unendlichen in den Wirkungsbereich des Streuers, um nach dem Stoß asymptotisch im Unendlichen detektiert zu werden. Es befindet sich also nicht in einem gebundenen Zustand.
In der vorliegenden Dissertation werden Quantensimulationen des Heisenberg-Modells präsentiert. Die Experimente wurden auf einem ionenbasierten Quantensimulator durchgeführt, der bis zu etwa 50 einzeln adressierbare Ionen kontrollieren kann. Quantensimulatoren dieser Größe eignen sich zur Untersuchung komplexer Quantensysteme, für welche klassische Rechnungen bereits sehr schwer werden. Zunächst werden lange Ionenkristalle charakterisiert und deren Kollisionsraten und axiale Heizraten werden gemessen. Mittels Korrelationsspektroskopie bestimmen wir die Positionen der Ionen mit einer Präzision von wenigen Nanometern und ermitteln daraus Anharmonizitäten im Fallenpotential. Spin-Locking-Bewegungsspektroskopie (Motional Spin-Locking Spectroscopy) wird als Technik eingeführt, die es erlaubt direkt das Rauschspektrum der Bewegungsmoden eines gefangenen Ions zu messen. Das Rauschspektrum wird in einem Bereich von 200 Hz bis 5 kHz aufgenommen, wobei sich sowohl inkohärente als auch kohärente Fluktuationen in der Fallenfrequenz nachweisen ließen. Das Heisenberg-Modell wird mittels einer Trotter-Approximation implementiert. Dabei ist die Trotter-Sequenz in einer Form gestaltet, die die Reduktion von Rotations- und Dephasierungsfehlern ermöglicht. Es wird von zwei Quantensimulationsexperimenten des Heisenberg-Modells berichtet: Ein Experiment beobachtet eine Thermalisierung innerhalb eines geschlossenen Quantensystems unter dem Heisenberg-Modell. Das Heisenberg-Modell besitzt Erhaltungsgrößen, welche zu untereinander nicht kommutierenden Observablen gehören. Dies führt dazu, dass sich bisher existierende theoretische Vorhersagen zum resultierenden thermischen Gleichgewichtszustand nicht auf das Heisenberg-Modell anwenden lassen. Wir beobachten die Thermalisierung hin zu einem nicht-Abelschen thermischen Zustand. In einem zweiten Experiment wird die Bildung von gebundenen Zuständen zwischen Quasiteilchen im langreichweitigen, anisotropen Heisenberg-Modell beobachtet. Die zeitliche Dynamik von Pseudospins, welche durch die Ionenkette gebildet werden, zeigt, dass sich die gebundenen Zustände Lichtkegel-artig ausbreiten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit und das Verschränkungswachstum der gebundenen Zustände werden für verschiedene Wechselwirkungsstärken gemessen. Die Arbeit schließt mit einem kurzen Ausblick auf ein anstehendes Upgrade des Experiments, in Zuge dessen eine neue Ionenfalle und eine neue Vakuumkammer installiert werden.
Diese Dissertation behandelt die Kodierung und Verschickung von Information durch einen Quantenkanal. Ein Quantenkanal besteht aus einem quantenmechanischen System, welches vom Sender manipuliert und vom Empfänger ausgelesen werden kann. Dabei repräsentiert der individuelle Zustand des Kanals die Nachricht. Die zwei Themen der Dissertation umfassen 1) die Möglichkeit, eine Nachricht in einem Quantenkanal verlustfrei zu komprimieren und 2) die Möglichkeit eine Nachricht von einer Partei zu einer einer anderen direkt und auf sichere Weise zu übermitteln, d.h. ohne dass es einer dritte Partei möglich ist, die Nachricht abzuhören und dabei unerkannt zu bleiben. Die wesentlichen Ergebnisse der Dissertation sind die folgenden. Ein allgemeiner Formalismus für Quantencodes mit variabler Länge wird ausgearbeitet. Diese Codes sind notwendig um verlustfreie Kompression zu ermöglichen. Wegen der Quantennatur des Kanals sind die codierten Nachrichten allgemein in einer Superposition von verschiedenen Längen. Es zeigt sich, daß es unmöglich ist eine Quantennachricht verlustfrei zu komprimieren, wenn diese dem Sender nicht apriori bekannt ist. Im anderen Falle wird die Möglichkeit verlustfreier Quantenkompression gezeigt und eine untere Schranke für die Kompressionsrate abgeleitet. Des weiteren wird ein expliziter Kompressionsalgorithmus konstruiert, der für beliebig vorgegebene Ensembles aus Quantennachrichten funktioniert. Ein quantenkryptografisches Prokoll - das “Ping-Pong Protokoll” - wird vorgestellt, welches die sichere direkte übertragung von klassischen Nachrichten durch einen Quantenkanal ermöglicht. Die Sicherheit des Protokolls gegen beliebige Abhörangriffe wird bewiesen für den Fall eines idealen Quantenkanals. Im Gegensatz zu anderen quantenkryptografischen Verfahren ist das Ping-Pong Protokoll deterministisch und kann somit sowohl für die Übermittlung eines zufälligen Schlüssels als auch einer komponierten Nachricht verwendet werden. Das Protokoll is perfekt sicher für die Übertragung eines Schlüssels und quasi-sicher für die direkte Übermittlung einer Nachricht. Letzteres bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Abhörangriffs exponenziell mit der Länge der Nachricht abnimmt.