Eine einfache Herleitung der Verteilungsfunktionen f�r Bose- und Fermi-Statistik

L. S. Ornstein, H. A. Kramers

Manfred Albert Hörz

Dieser Artikel bietet eine vollständige Herleitung der Schrödingergleichung im eindimensionalen Potenzialtopf und zeigt, wie die Eigenfunktionen und Energieniveaus aus dem Hamiltonoperator gewonnen werden. Die Darstellung folgt der Operatorformulierung der Quantenmechanik nach Dirac und nutzt die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Im zweiten Teil wird das Modell auf das eindimensionale Wasserstoffatom übertragen, wobei das Coulomb‑Potenzial berücksichtigt und der Grundzustand analytisch bestimmt wird. Der Text eignet sich als kompakte Einführung in die mathematische Struktur einfacher quantenmechanischer Systeme.

Erwin Lohr

Abstract In Weiterentwicklung der Gedanken, welche der thermodynamischen Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes zugrunde liegen, werden die quantenstatistischen Verteilungsgesetze von der Thermodynamik her ohne statistische Hilfsmittel gewonnen. Das quantenhafte Element ergibt sich wieder automatisch vermöge des Entstehens bzw. Vergehens von stehenden Eigenschwingungen im Hohlraum. - Die de Broglie-Relation wird für diese Eigenschwingungen nicht vorausgesetzt, sondern im Zusammenhange mit den thermodynamischen Überlegungen erschlossen. Die Annahme, daß in dem mit den Materie-wellen durch eine semipermeable Wand koexistierenden Gasgemisch beim Fermi-Dirac-Gas der Normalzustand und ein einfach angeregter, beim Bose-Einstein-Gas überdies alle zugehörigen vielfach angeregten Zustände auftreten, entspricht, wie abschließend her-ausgearbeitet wird, den Voraussetzungen der Quantenstatistiken über die Besetzungs-zahlen der Zellen des Phasenraumes.

D. N. Zubarev

St. G. Christov

Abstract Durch eine Verallgemeinerung der Eckartschen Potentialfunktion gelingt es, eine ausgedehnte Schar von Energieschwellen zu beschreiben, die sehr ver‐schiedene Krümmungen in ihren Maxima aufweisen; die Parabelschwelle ist darin als Grenzfall enthalten. Es wird eine Formel für die Durchlässigkeit der betrachteten Schwellen in der quasiklassischen Näherung abgeleitet. Diese enthält die entsprechenden Ausdrücke für die Eckart‐Schwelle und die Parabelschwelle als Sonderfälle. Dieselbe Formel gestattet die Herleitung eines allgemeinen Ausdruckes für die Durchlässigkeit von Schwellen beliebiger, einfacher Form, der für alle Energiewerte der Partikeln gültig ist. Mit Hilfe der verallgemeinerten Eckart‐Funktion lassen sich auch einfache Beziehungen ableiten, die als Kriterium für die Beteiligung des Tunneleffekts im Falle einer Boltzmann‐Verteilung der Energie der Partikeln dienen können.