Abstract In Weiterentwicklung der Gedanken, welche der thermodynamischen Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes zugrunde liegen, werden die quantenstatistischen Verteilungsgesetze von der Thermodynamik her ohne statistische Hilfsmittel gewonnen. Das quantenhafte Element ergibt sich wieder automatisch vermöge des Entstehens bzw. Vergehens von stehenden Eigenschwingungen im Hohlraum. - Die de Broglie-Relation wird für diese Eigenschwingungen nicht vorausgesetzt, sondern im Zusammenhange mit den thermodynamischen Überlegungen erschlossen. Die Annahme, daß in dem mit den Materie-wellen durch eine semipermeable Wand koexistierenden Gasgemisch beim Fermi-Dirac-Gas der Normalzustand und ein einfach angeregter, beim Bose-Einstein-Gas überdies alle zugehörigen vielfach angeregten Zustände auftreten, entspricht, wie abschließend her-ausgearbeitet wird, den Voraussetzungen der Quantenstatistiken über die Besetzungs-zahlen der Zellen des Phasenraumes.
Abstract In Weiterentwicklung der Gedanken, welche der thermodynamischen Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes zugrunde liegen, werden die quantenstatistischen Verteilungsgesetze von der Thermodynamik her ohne statistische Hilfsmittel gewonnen. Das quantenhafte Element ergibt sich wieder automatisch vermöge des Entstehens bzw. Vergehens von stehenden Eigenschwingungen im Hohlraum. - Die de Broglie-Relation wird für diese Eigenschwingungen nicht vorausgesetzt, sondern im Zusammenhange mit den thermodynamischen Überlegungen erschlossen. Die Annahme, daß in dem mit den Materie-wellen durch eine semipermeable Wand koexistierenden Gasgemisch beim Fermi-Dirac-Gas der Normalzustand und ein einfach angeregter, beim Bose-Einstein-Gas überdies alle zugehörigen vielfach angeregten Zustände auftreten, entspricht, wie abschließend her-ausgearbeitet wird, den Voraussetzungen der Quantenstatistiken über die Besetzungs-zahlen der Zellen des Phasenraumes.
In der Mitte der 1920er Jahre stand an der Wende von der frühen zur modernen Quantentheorie die Erkenntnis, dass die Physik quantisierter Zustände eine besondere Form der Statistik erfordert. Diese “Quantenstatistik” musste die Unterscheidbarkeit für atomare Teilchen aufgeben, - und damit die Vorstellung von “individuellen” Teilchen, die der klassischen Maxwell-Boltzmann Statistik zugrunde gelegen hatte. Die Auswirkung dieses Bruches zeigte sich zunächst in der Änderung der klassischen Abzählmethoden für die möglichen Besetzungen der Zustände mit Teilchen. Aus methodischen Gründen stellt man die möglichen Zustände als Besetzung einer Gesamtheit von Zellen im “Phasenraum” dar. Der Phasenraum wird aus den Orts- und Impulskoordinaten aller Teilchen des betrachteten Systems gebildet, und er gestattet die vollständige Beschreibung seines Zustandes. Bei der Abzählung ununterscheidbarer Teilchen zeigte es sich, dass es nur zwei Klassen von Elementarteilchen geben kann: Eine Klasse, die solche Teilchen enthält, die eine Zelle in beliebiger Anzahl besetzen können, - und eine solche Klasse von Teilchen, die nur einzeln eine Zelle besetzen können. Zur erstgenannten Klasse gehören die Photonen, die a- Teilchen (Heliumkerne) und die Cooper-Paare, - letztere sind die in den 1950er Jahren entdeckten Träger der Supraleitung. (Die Teilchen dieser Klasse haben verschwindenden oder ganzzahligen Spin; sie werden zusammengefasst heute als “Bosonen” bezeichnet.) Hauptvertreter der zweitgenannten Klasse sind die Elektronen und Nukleonen. (Die Teilchen dieser Klasse haben einen halbzahligen Spin und werden heute zusammengefasst als “Fermionen” bezeichnet.) Die Statistiken dieser beiden Klassen von Teilchen wurden im Jahr 1924 in Form der Bose-Einstein Statistik (für Bosonen) und zwei Jahre später als Fermi-Dirac Statistik (für Fermionen) theoretisch manifest. - Damit war die (in der klassischen Physik uneingeschränkt geltende) Vorstellung von im Einzelnen unterscheidbaren Teilchen an dem Charakter derjenigen Abzählmethoden gescheitert, die dem Teilchenbegriff der Quantenphysik angemessen sind.
ZusammenfassungObwohl das Maxwell-Boltzmannsche Verteilungsgesetz im vorigen Kapitel auf eine Weise abgeleitet wurde, die mit der Quantenmechanik verträglich ist, erhält man dieselben Ergebnisse auch bei einer rein klassischen Vorgangsweise. Wir haben außerdem gesehen, daß es zwischen einer Situation, in der eine kontinuierliche Energieverteilung möglich ist, wie bei den Translationsbewegungen der Moleküle eines Gases, und einer Situation, in der die Energien nur bestimmte diskrete Werte annehmen können, wie bei den Rotationszuständen eines Moleküls, keinen wesentlichen Unterschied gibt. In beiden Fällen haben wir die betrachteten Teilchen als unterscheidbare Objekte angenommen, was für Moleküle in einem Gas erlaubt ist, jedoch für Photonen in einem Hohlraum oder Elektronen in einem Metall nicht mehr zutrifft. Quanteneffekte werden für ununterscheidbare Teilchen wichtig, und die Verteilungsgesetze unterscheiden sich wesentlich von dem Maxwell-Boltzmannschen Gesetz. In diesem Kapitel wollen wir die statistischen Verteilungsgesetze von Bose und Einstein, beziehungsweise von Fermi und Dirac ableiten. Die Bose-Einstein-Statistik gilt für identische, ununterscheidbare Teilchen, die nicht dem Ausschließungsprinzip unterliegen (Photonen), während die Fermi-Dirac-Statistik für solche Teilchen gilt, auf die das Ausschließungsprinzip angewendet werden muß (Elektronen).
Einer der bemerkenswertesten Aspekte der Bose-Einstein-Kondensation ist die natürliche Ausprägung von Korrelationen und langreichweitiger Ordnung in einem System, welches sich im thermischen Gleichgewicht befindet. Insbesondere gilt dies auch für das ideale Bose-Gas, in welchem sich im kondensierten Bereich bei Messung der Phase - beispielsweise in einem Interferenzexperiment - Kohärenz ohne jegliche Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen ausbreitet. Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen Phasenübergängen, die ihrerseits eine Wechselwirkung zwischen den Teilchen verlangen, wie z.B. beim Übergang zum Ferromagnetismus. Das Auftreten der makroskopischen Phase des Bose-Einstein-Kondensats lässt sich mit dem Begriff der spontanen Symmetriebrechung erklären, einem Phänomen, das seinerseits keine Wechselwirkung erfordert. Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Untersuchungen der Dynamik und zeitlichen Intensitäts- und Phasenkorrelationen eines Bose-Einstein-kondensierten zweidimensionalen idealen Photonengases in einem optischen Farbstoff-Mikroresonator. Die Thermalisierung der Photonen erfolgt in gewissem Sinne ähnlich zur Schwarzkörperstrahlung: Absorptions- und Reemissionsprozesse stellen eine thermische Kopplung des Lichts an ein Wärmebad und Teilchenreservoir bestehend aus Farbstoffmolekülen bei Raumtemperatur her. Anders als beim Schwarzkörperstrahler ist die Dynamik der Photonen im Mikroresonator jedoch auf ihre transversalen Freiheitsgrade beschränkt, sodass die Photonenenergien im optischen Spektralbereich thermisch über die transversale Modenstruktur des Resonators verteilt werden. Die Energie-Impuls-Relation der Photonen zeigt zudem eine formale Analogie mit der Dispersionsrelation eines zweidimensionalen massiven Bose-Gases, das in einem harmonischen Fallenpotential eingesperrt ist. Im Farbstoff-Mikroresonator lassen sich Temperatur und chemisches Potential des zweidimensionalen Photonengases unabhängig voneinander einstellen. Oberhalb einer kritischen Photonenzahl kommt es zur Bose-Einstein-Kondensation mit einer makroskopischen Besetzung des Grundzustands. In einem ersten Schritt wurde die Thermalisierungsdynamik der Photonen an dem molekularen Wärmebad durch zeitaufgelöste Messungen der optischen Frequenzverteilung im Mikroresonator, sowie einer räumlichen Relaxierung der Photonen ins Fallenzentrum nachgewiesen. Ist der thermische Kontakt zu den Farbstoffmolekülen hinreichend stark, formiert sich das Photonengas innerhalb seiner Lebensdauer im Resonator zu einer thermischen Verteilung (Bose-Einstein-Verteilung). Oberhalb einer kritischen optischen Leistung kann auf diese Weise die Thermalisierung eines laserartigen, nicht-stationären Wellenpakets hin zu einem Bose-Einstein-Kondensat festgestellt werden. Zentrales Thema der vorliegenden Arbeit sind Messungen zur Physik der Teilchenzahlfluktuationen und der Phasenkohärenz eines Bose-Einstein-Kondensats aus Licht im großkanonischen statistischen Ensemble. Die Kopplung des Photonengases an das Reservoir aus Farbstoffmolekülen lässt neben dem Austausch von Energie auch effektiven Teilchenaustausch zu, was durch das großkanonische Ensemble beschrieben werden kann. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit konnte die Kopplung an das Teilchenreservoir experimentell bestätigt werden und erstmals eine Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen statistischen Ensemble beobachtet werden. Weiterhin konnte die zeitliche Kohärenz der Kondensatphase verifiziert werden. Im großkanonischen Bereich offenbaren sich diskrete Phasensprünge in der Wellenfunktion, anhand derer die spontane Symmetriebrechung bei der Kondensation in situ verfolgt werden konnte. Die Evidenzen für Thermalisierung und Phasenkohärenz lassen den Schluss zu, dass es sich bei der Bose-Einstein-Kondensation von Licht um einen Gleichgewichtsphasenübergang eines idealen Bose-Gases handelt, bei welchem die Symmetrie des Systems spontan gebrochen wird.
Jede neue Naturerscheinung, die mit dem bisher anerkannten Theoriensystem noch unvereinbar ist, stellt ihren Entdecker vor die Frage, welche der bekannten, zur Naturbeschreibung verwendeten Prinzipien hinreichende Allgemeinheit besitzen, um die neue Situation zu erklären, und welche derselben abzuändern oder aufzugeben sind. Die Haltung verschiedener Physiker zu Problemen dieser Art, welche hohe Anforderungen an die Intuition und den Takt eines Wissenschaftlers stellen, hängt wesentlich vom persönlichen Temperament des betreffenden Forschers ab. Im Falle der Planckschen Entdeckung des Wirkungsquantums im Jahre 1900, die er im Zuge seiner berühmten Untersuchungen über das Strahlungsgesetz des schwarzen Körpers machte, lag es auf der Hand, daß die Erhaltungssätze von Energie und Impuls, sowie das Boltzmannsche, Entropie und Wahrscheinlichkeit verbindende Prinzip sich als zwei Säulen erweisen mußten, deren Tragkraft durch die der neuen Entdeckung folgende Entwicklung nicht erschüttert werden konnten. Tatsächlich war es gerade das Festhalten an diesen Prinzipien, welches Planck die Einführung der neuen Konstanten h, des Wirkungsquantums, in seine statistische Theorie des thermodynamischen Strahlungsgleichgewichtes ermöglichte.
Es wird untersucht, in wie weit Spekulationen über die Statistik willkürlicher, hypothetischer Teilchen in einer relativistisch invarianten Theorie möglich sind, wenn alle oder ein Teil der folgenden drei Postulate vorausgesetzt werden: (I) die Energie ist positiv; (II) Observable an verschiedenen Raum-Zeitpunkten mit raumartiger Verbindungslinie sind kommutativ; (III) es gibt zwei äquivalente Beschreibungen der Natur, in welchen die Elementarladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben und in welchen einander entsprechende Feldgrössen sich bei Lorentz-Transformationen in gleicher Weise transformieren. Der eine von uns (P.) hatte bereits gezeigt, dass allgemein bei ganzzahligem Spin aus (II) allein Einstein-Bose-Statistik, bei halbzahligem Spin aus (I) allein Fermi-Dirac-Statistik folgt. Ferner hatte der andere von uns (B.) gezeigt, dass für eine gewisse Klasse von Teilchen, (die alle bisher in der Natur beobachteten umfasst, und die dadurch charakterisiert ist, dass sie höchstens durch einen Undor von gegebener Stufe beschricben wird), aus dem durch cin spezielles Transformationsgesetz spezialisierten Postulat (III) für ganzen Spin E.-B.-Statistik, für halbzahligen Spin F.-D.-Statistik gefolgert werden kann. In der vorliegenden Note wird in den typischen Fällen von Spin 0 und Spin ½ durch Beispiele gezeigt, dass im allgemeinen Fall mehrerer Undoren von gleicher Stufe aus (III) nicht mehr eindeutig auf die Statistik der Teilchen geschlossen werden kann, während (II) bzw. (I) für ganzen bzw. halben Spin hiezu stets hinreichend bleiben. In den speziellen Fällen des Skalarfeldes, des Vektorfeldes und des Dira c-Elektrons, wo nur ein einziger Undor gegebener Stufe in die Theorie eingeht, folgt dagegen das Transformationsgesetz der Ladungskonjugierung eindeutig, so dass hier (III) zur Festlegung der Statistik ausreicht.
Jede neue Naturerscheinung, die mit dem bisher anerkannten Theorien-system noch unvereinbar ist, stellt ihren Entdecker vor die Frage, welche der bekannten, zur Naturbeschreibung verwendeten Prinzipien hinreichende Allgemeinheit besitzen, um die neue Situation zu erklären und welche derselben abzuändern oder aufzugeben sind. Die Haltung verschiedener Physiker zu Problemen dieser Art, welche hohe Anforderungen an die Intuition und den Takt eines Wissenschaftlers stellen, hängt wesentlich vom persönlichen Temperament des betreffenden Forschers ab. Im Falle der Planckschen Entdeckung des Wirkungsquantums im Jahre 1900, die er im Zuge seiner berühmten Untersuchungen über das Strahlungsgesetz des schwarzen Körpers machte, lag es auf der Hand, daß die Erhaltungssätze von Energie und Impuls, sowie das Boltzmannsche, Entropie und Wahrscheinlichkeit verbindende Prinzip sich als zwei Säulen erweisen mußten, deren Tragkraft durch die der neuen Entdeckung folgende Entwicklung nicht erschüttert werden konnten. Tatsächlich war es gerade das Festhalten an diesen Prinzipien, welches Planck die Einführung der neuen Konstanten h, des Wirkungsquantums, in seine statistische Theorie des thermodynamischen Strahlungsgleichgewichtes ermöglichte.