Le double aspect dezs observables en classique (fonctions a valeurs reelles de l'etat du systeme/generateurs d'automorphismes de l'espace des etats) conduit a introduire la notion de mecanique classique generalisee (mcg). L'application de cette notion aux systemes classiques a contraintes fournit une alternative a la procedure bien connue de dirac. On montre que la quantique rentre egalement dans le cadre d'une mcg, et on discute le probleme de la mesure de ce point de vue. Enfin, une partie de ce travail est consacree aux particules classiques a spin et a leurs interactions electromagnetiques
Le double aspect dezs observables en classique (fonctions a valeurs reelles de l'etat du systeme/generateurs d'automorphismes de l'espace des etats) conduit a introduire la notion de mecanique classique generalisee (mcg). L'application de cette notion aux systemes classiques a contraintes fournit une alternative a la procedure bien connue de dirac. On montre que la quantique rentre egalement dans le cadre d'une mcg, et on discute le probleme de la mesure de ce point de vue. Enfin, une partie de ce travail est consacree aux particules classiques a spin et a leurs interactions electromagnetiques
A la poursuite de l’individuation : description mathématique des systèmes physiques Résumé: Ce travail se veut une analyse conceptuelle de certains développements récents dans les fondements mathématiques de la Mécanique Classique et de la Mécanique Quantique qui ont permis de formuler ces deux théories dans un même langage. Du point de vue algébrique, l’ensemble des observables d’un système physique, soit-il classique ou quantique, est décrit par une algèbre de Jordan-Lie. Du point de vue géométrique, l’espace des états de tout système est décrit par un espace uniforme de Poisson avec transition de probabilité. Ces deux structures mathématiques sont ici interprétées comme une manifestation du double rôle constitutif des propriétés en physique : elles sont à la fois des quantités et des transformations. Il s’agit alors de comprendre l’articulation précise entre ces deux rôles. Au cours de l’analyse, il apparaîtra que la Mécanique Quantique peut être vue comme se distinguant de la Mécanique Classique par une condition de compatibilité entres les quantités et les transformations.D’autre part, cette thèse met en évidence l’existence d’une tension fondamentale entre une certaine façon abstraite de concevoir les structures mathématiques, présente dans la pratique de la physique mathématique, et la nécessité de spécifier des états ou des observables particulières. Il devient alors important de comprendre comment, dans le formalisme, se construit un schéma d’indexation. La “poursuite de l’individuation” est l’analyse de différentes techniques mathématiques vues comme tentatives de résolution ce problème. En particulier,nous discuterons comment la théorie des groupes permet d’y apporter une solution partielle.
Géométrie, topologie et dynamique des systèmes à N corps : perspectives quantiques et classiques Dans la présente thèse, nous étudions diverses instances de systèmes à N corps, tant quantiques et classiques, en adoptant une perspective géométrique et topologique. Les systèmes comportant un grand nombre de degrés de liberté peuvent présenter une grande variété de phénomènes émergents, allant de la métastabilité aux transition de phase, et leurs propriétés complexes échappent souvent à notre compréhension complète. Grâce à une inspection minutieuse des structures géométriques sous-jacentes à ces objets complexes et à l'aide de divers outils mathématiques, dont certains sont empruntés au domaine de la géométrie et de la topologie riemanniennes, nous tentons de caractériser leurs aspects les plus importants.La première partie de cette thèse se concentre sur le domaine de l'information quantique, explorant notamment les notions d'intrication quantique et de corrélations dans les systèmes quantiques discrets, d'abord dans des états purs, puis dans des états mixtes.Nous proposons une nouvelle mesure de l'intrication pour les états quantiques purs, l'entanglement distance, la discutons et la testons sur divers exemples.Nous étudions ensuite les états purs maximalement intriqués, révélant en partie leurs structures internes, en utilisant les notion intuitive de corrélation et de mesure projective. Ce faisant, nous sommes en mesure de montrer des relations simples entre les corrélations pré-mesure et les valeurs moyennes post-mesure, et de fournir une limite supérieure à la persistance d'intrication de tels états.Nous démontrons en outre comment les propriétés de connectivité d'un modèle paradigmatique de l'informatique quantique, le graph state, peuvent être sondées grâce à l'utilisation appropriée de corrélateurs quantiques.Notre étude est ensuite étendue au cadre des états quantiques mixtes. Nous déduisons de l'entanglement distance définie sur les états purs, les mesures induites de la corrélations quantique d'une part, et de l'intrication des états mixtes d'autre part. Nous soulignons les forces et les limites de cette dernière mesure, en particulier la lourde procédure d'optimisation qu'elle implique, et pour laquelle nous proposons une solution de contournement. Enfin, nous étudions la transition superradiante présente dans le modèle de Tavis-Cummings et révélons qu'elle s'accompagne d'un saut dans la corrélation quantique et l'intrication entre les atomes.Dans la deuxième partie de notre travail, nous abordons deux modèles classiques, tous deux possédant des comportements non ergodiques et fortement non-linéaires.Nous présentons d’abord une étude complète, à la fois numérique et analytique, d’un modèle jouet, exemple prototypique de modèle fortement non-additif à interaction à longue portée : l'Hamiltonien de champ moyen (HMF). À basse énergie dans l’ensemble microcanonique, un état métastable peut apparaître, appelé bicluster. En inspectant la dynamique d'une quantité macroscopique, la magnétisation, et en observant l'apparition de deux échelles de temps distinctes dans le système, nous proposons un scénario assez intuitif et cohérent expliquant la grande stabilité des biclusters, qui se maintiennent pendant de très longues durées.Nous introduisons enfin les résultats d'une étude numérique approfondie, appliquant la théorie topologique des transitions de phase à un modèle de verre. De tels systèmes sont notoirement difficiles à simuler et à équilibrer, en raison de leur dynamique très lente, caractéristique de la phase vitreuse, et de leur tendance à rester coincée dans de petites régions de l'espace des phases. Dans un cadre microcanonique, un complexe algorithme de Monte Carlo a été développé. Nos résultats, bien que préliminaires, sont encourageants : la chaleur spécifique présente des pics clairs pour deux valeurs de l'énergie, indiquant une transition du second ordre en deux étapes, en correspondance avec les changements topologiques des ensembles de niveaux équipotentiels sur lesquels le système est confiné.
Énergétique de la mesure quantique En mesurant l’état d’un objet quantique, il est possible de modifier son état. Cet effet est dû à son interaction avec l’appareil de mesure. Lorsque l’observable mesuré et l’Hamiltonien du système ne commutent pas, l’énergie moyenne du système mesuré peut être modifiée. Ce changement d’énergie parfois appelé « chaleur quantique » peut être utilisé comme ressource pour alimenter de nouveaux types de machines quantiques : les moteurs quantiques à mesure. Nous proposons un tel moteur en exploitant la non-commutativité de certaines mesures locales et globales dans un système à deux parties.Ce type de plateforme est idéal pour comprendre l’origine de la chaleur quantique. Bien que l’évolution temporelle de l’état d’un système mesuré ne soit pas aujourd’hui connue à cause du phénomène de réduction du paquet d’onde, les aspects énergétiques restent accessibles en modélisant la pré-mesure. Durant cette étape, des corrélations sont créées entre système et appareil de mesure. Idéalement, à la fin de ce processus, l’état réduit du système correspondra à la moyenne des états projetés prévus par le postulat de la mesure. Je montre alors que l’énergie reçue par le système correspond à celle nécessaire pour allumer et éteindre l’interaction entre le système et l’appareil de mesure. En utilisant une définition généralisée du travail et de la chaleur, cet échange est interprété comme une conversion de travail en chaleur.En remontant encore la source de cette énergie, nous proposons une version autonome de ce mécanisme. Pour cela, le système choisi est un qubit se déplaçant à travers une cavité dont le champ constitue l’appareil de mesure. L’interaction entre eux étant dépendante de leur position relative, l’énergie cinétique apporte l’énergie nécessaire à faire interagir ces deux systèmes. En modélisant cette évolution de manière purement quantique, nous caractérisons l’impact de l’extension spatiale finie du paquet d’onde sur la nature de ces échanges d’énergie.Du point de vue opposé, nous comparons le cout énergétique de la mesure d’un qubit en fonction de l’état initial du champ utilisé pour le mesurer. Dans le cas d’un circuit d’électrodynamique quantique, nous trouvons que les états cohérents et thermiques permettent une même qualité de mesure à énergie fixée.Les résultats présentés et décrits dans cette thèse contribuent à améliorer notre compréhension profonde des effets et mécanismes surprenants induits par la mesure quantique. En particulier, ils permettent de mieux comprendre le fonctionnement des moteurs quantiques à mesure et d’identifier précisément la ressource et le coût que constitue la mesure en physique quantique.
La mécanique quantique est à la base de la technologie moderne. Elle a donné lieu à de nombreuses applications en physique, en chimie et même en biologie.Introduction à la mécanique quantique 2 étudie l’équation de Schrödinger, les puits, les marches et les barrières de potentiel. Les propriétés des bases orthonormées dans l’espace des fonctions d’onde de carré sommable et les notations de Dirac relatives aux kets et aux bras dans l’espace des états sont également examinées.Cet ouvrage analyse les notions d’opérateur linéaire, d’opérateur hermitien, d’observable, de conjugaison hermitienne et de commutateur. La représentation des kets, des bras et des opérateurs dans l’espace des états est exposée, tout comme l’équation aux valeurs propres et l’équation caractéristique. Enfin, ce second volume présente la définition de la valeur moyenne d’une observable et son équation d’évolution, l’étude des systèmes conservatifs et l’établissement du théorème d’Ehrenfest.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.