Este artículo reúne los resultados de nuestra sistematización de las magnitudes físicas y de las expresiones matemáticas de los aparatos formales de la mecánica clásica, relativista y cuántica, revelando su estructura subyacente común.La sistematización se ha realizado ordenando en tablas algunas de las magnitudes físicas y expresiones matemáticas más conocidas según sus diferentes grados de derivación, abriendo paso, de este modo, a un criterio de fundamentalidad de las leyes, principios, postulados y ecuaciones de cada aparato formal.
Este artículo reúne los resultados de nuestra sistematización de las magnitudes físicas y de las expresiones matemáticas de los aparatos formales de la mecánica clásica, relativista y cuántica, revelando su estructura subyacente común.La sistematización se ha realizado ordenando en tablas algunas de las magnitudes físicas y expresiones matemáticas más conocidas según sus diferentes grados de derivación, abriendo paso, de este modo, a un criterio de fundamentalidad de las leyes, principios, postulados y ecuaciones de cada aparato formal.
Se proporciona un “esquema de reconstrucción” estructuralista de una teoría idealizada. Esta teoría, QM, tiene algunas características esenciales de la mecánica cuántica. QM es una teoría acerca de “eventos de observación de resultados” abstractos, caracterizaciones formales de las interacciones entre los sistemas físicos y sus resultados. QM es una teoría estocástica y en el aparato estocástico son reconocibles algunas características de la mecánica cuántica de la “vida real”. Los eventos de observación de resultados mismos no exhiben características esencialmente mecánico-cuánticas ni características esencialmente físicas. En el nivel del elemento básico de la teoría, QM es más como una especialización de la teoría de la probabilidad que una teoría física. Es recién en el nivel de especialización del elemento básico de la teoría que se pueden introducir características esencialmente físicas y de mecánica cuántica. En el presente artículo se ofrece un “esquema de reconstrucción” más que una reconstrucción, debido en gran medida a que no proporciona un tratamiento de las especializaciones físicas interesantes. Tampoco constituye una reconstrucción completa en tanto el aparato matemático se limita a estructuras finitas.
Este trabajo constituye una primera aproximación a los fundamentos de la mecánica cuántica, una de las principales ramas de la física. Tras una breve descripción del contexto histórico en el que surgen estas teorías, y del impacto actual que poseen, sentaremos las bases matemáticas necesarias para nuestro estudio, y describiremos las herramientas que vamos a emplear. Enunciaremos y desarrollaremos los seis postulados sobre los que se apoya la mecánica cuántica, y hablaremos de algunas de sus aplicaciones y conclusiones, tanto en términos generales, como en la resolución de algunos problemas concretos.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
Este trabajo presenta la Teoría Cartesiana de la Medida (TCM) como un marco matemático fundacional cuyo objetivo es analizar la noción de medida en un nivel previo al número, al campo y a la dinámica física. La teoría no se propone como una teoría física unificada, sino como una estructura matemática elemental desde la cual pueden comprenderse diversas formulaciones conocidas. A partir de un principio variacional general, se muestra que ciertas ecuaciones fundamentales de la física moderna —habitualmente asociadas a la Mecánica Cuántica y a la Relatividad General— emergen de manera natural como configuraciones matemáticas particulares del formalismo de la medida. En este enfoque, dichas estructuras no se introducen como postulados físicos independientes, sino que aparecen como consecuencias de condiciones de estabilidad, coherencia interna y simetría. La Mecánica Cuántica y la Relatividad General son interpretadas así como regímenes específicos dentro del espacio matemático definido por la TCM, válidos bajo determinadas condiciones estructurales, pero no como fundamentos ontológicos últimos. El valor del enfoque reside en ofrecer un nivel más elemental de análisis matemático que permite clarificar el alcance y los límites formales de estas teorías sin modificarlas ni reemplazarlas.
ES UN ESTUDIO FUNDAMENTALMENTE FORMAL. DESDE LA ESCUELA DE FILOSOFIA DE LA CIENCIA CONOCIDA COMO CONCEPCION ESTRUCTURAL (INICIADA POR J. D. SNEED EN 1971) SE ANALIZAN Y RECONSTRUYEN LAS TRES TEORIAS QUE DIERON ORIGEN A LA FISICA CUANTICA; LA MECANICA MATRICIAL, MECANICA ONDULATORIA Y MECANICA CUANTICA (EN VERSION DE DIRAC) SEGUN FUERON ESTABLECIDAS EN EL PERIODO 1925-1927. LA INVESTIGACION SE LIMITA, PRINCIPALMENTE, AL ANALISIS DE LAS ESTRUCTURAS Y RELACIONES LOGICAS QUE PRESENTAN LAS TRES TEORIAS. EL OBJETIVO ULTIMO ES LOGRAR UNA AXIOMATIZACION SINCRONICA MODELO-TEORICA DE LAS TEORIAS OBJETO DE ESTUDIO Y VER, A PARTIR DE AHI, EN QUE MEDIDA LA METODOLOGIA ESTRUCTURALISTA PARA LA RECONSTRUCCION DE LAS TEORIAS CIENTIFICAS ES SATISFACTORIA Y EN SU CASO, PROPONER NUEVAS SOLUCIONES. EL CAPITULO PRIMERO DEFINE EL MARCO, LOS OBJETOS Y LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION. EL SEGUNDO ES UNA BREVE CONTEXTUALIZACION DE LA CONCEPCION ESTRUCTURAL. EL TERCERO ES UNA DETALLADA CONTEXTUALIZACION DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL CUARTO RECOGE CON RIGUROSIDAD TODO EL APARATO FISICOMATEMATICO DE LAS TEORIAS CUANTICAS. EL QUINTO ES EL ANALISIS METODOLOGICO ESTRUCTURALISTA. EN SEGUNDO LUGAR, SE PRESENTAN OBJECIONES A DICHO MODELO. EN TERCER LUGAR, SE CONSTRUYE UN NUEVO MODELO QUE SUPERE DICHAS OBJECIONES. EN CUARTO LUGAR, SE APLICA EL NUEVO MODELO A LAS ANTERIORES TEORIAS CUANTICAS PARA CONTEMPLAR SUS VIRTUDES Y EN QUINTO LUGAR, DEL ANALISIS ANTERIOR SE DERIVAN UNAS CONCLUSIONES RESPECTO A LA ESTRUCTURA GLOBAL DE LA CIENCIA. LOS CAPITULOS SEXTO Y SEPTIMO SE OCUPAN DE LAS CONCLUSIONES Y DE LA BIBLIOGRAFIA.
En un artículo previo, se había analizado una corriente de opinión que se está extendiendo entre los científicos —incluidos los católicos— y que —en opinión del autor— no debe aceptarse sin más. Esta corriente implica la negación de la causalidad verdadera en el mundo físico y de un determinismo en las leyes que lo rigen. Aunque el principio de cuantificación ha complicado la expresión matemática de las leyes físicas, lo que exige una revisión de algunas, especialmente en la mecánica atómica, el autor considera que el valor objetivo de estas discontinuidades y la aplicación de leyes mediante el cálculo de probabilidades y la mecánica estadística son temas clave para la filosofía natural. Por ello, se abordan brevemente estos puntos.