Differenciálgeometriai módszerekkel vizsgáltuk a kvantum-összefonódottság kérdését. Új invariánst vezettünk be a három qubit összefonódottságra, amely a rendszernek a redukált sűrűségoperátorok segítségével nem tárgyalható nem lokális tulajdonságait jellemzi. Az összefonódottság invariáns mértékeire egységes leírást javasoltunk, és tisztáztuk a 4-qubit összefonódottságot jellemző invariánsok geometriai jelentését. Részletesen vizsgáltuk a húrelmélet négy dimenziós szuperszimmetrikus kompaktifikációban fellépő fekete lyuk megoldások entrópiájának és modulus stabilizációjának kvantum-információelméleti leírását. Tárgyaltuk a négy dimenziós szupergravitációs elmélet fekete lyuk megoldásait 7-qubit állapotok segítségével, rámutatva a Fano-síkkal, illetve a Hamming-kóddal való kapcsolatra. Kidolgoztuk a súlyozott permutációs hatások elméletét a konform térelméletek egyszerű-áram szimmetriáinak vizsgálatára. Megalkottuk a kétdimenziós csoportok karakterelméletét, és leírtuk annak konform térelméleti alkalmazását. Részletesen tárgyaltuk a permutációs orbifoldok elméletében fontos szerepet játszó orbifold-transzformáció fogalmát és főbb tulajdonságait. A vektorértékű moduláris formák elméletének egy új megközelítését dolgoztuk ki, és leírtuk konform térelméleti alkalmazásait. Differenciálegyenletet vezettünk le a fundamentális mátrixra, és beláttuk az egyenlet megoldásait megszorító spektrális feltételt. Explicit inverziós formulát adtunk meg vektorértékű moduláris formák meghatározására szinguláris viselkedésük alapján. | We investigated the problem of quantum entanglement using differential geometric methods. We introduced a new invariant of 3-qubit entanglement which describes nonlocal properties that cannot be described using reduced density matrices, clarified the geometric meaning of 4-qubit invariants, and proposed a unified description of entanglement measures based on Plücker embeddings. We investigated the quantum information theoretic description of black hole entropy and modulus stabilization in four dimensional supersymmetric compactifications of String Theory. We described black hole solutions of four dimensional N=8 SUGRA in terms of 7-qubit states, and pointed out the relation to the Fano plane and the Hamming code. We introduced the notion of weighted permutation actions, and applied it to the study of simple currents in CFT. We worked out the character theory of 2D groups, and described its relation to CFT. We investigated the orbifold transform, an important ingredient of the theory of permutation orbifolds, and described its main properties. We developed a new approach to the theory of vector-valued modular forms, and indicated its applications in CFT. We derived a hypergeometric ODE for the fundamental matrix, and proved the spectral condition restricting its coefficients. We gave a completely explicit inversion formula for computing a vector-valued modular form from its singular behavior.
Differenciálgeometriai módszerekkel vizsgáltuk a kvantum-összefonódottság kérdését. Új invariánst vezettünk be a három qubit összefonódottságra, amely a rendszernek a redukált sűrűségoperátorok segítségével nem tárgyalható nem lokális tulajdonságait jellemzi. Az összefonódottság invariáns mértékeire egységes leírást javasoltunk, és tisztáztuk a 4-qubit összefonódottságot jellemző invariánsok geometriai jelentését. Részletesen vizsgáltuk a húrelmélet négy dimenziós szuperszimmetrikus kompaktifikációban fellépő fekete lyuk megoldások entrópiájának és modulus stabilizációjának kvantum-információelméleti leírását. Tárgyaltuk a négy dimenziós szupergravitációs elmélet fekete lyuk megoldásait 7-qubit állapotok segítségével, rámutatva a Fano-síkkal, illetve a Hamming-kóddal való kapcsolatra. Kidolgoztuk a súlyozott permutációs hatások elméletét a konform térelméletek egyszerű-áram szimmetriáinak vizsgálatára. Megalkottuk a kétdimenziós csoportok karakterelméletét, és leírtuk annak konform térelméleti alkalmazását. Részletesen tárgyaltuk a permutációs orbifoldok elméletében fontos szerepet játszó orbifold-transzformáció fogalmát és főbb tulajdonságait. A vektorértékű moduláris formák elméletének egy új megközelítését dolgoztuk ki, és leírtuk konform térelméleti alkalmazásait. Differenciálegyenletet vezettünk le a fundamentális mátrixra, és beláttuk az egyenlet megoldásait megszorító spektrális feltételt. Explicit inverziós formulát adtunk meg vektorértékű moduláris formák meghatározására szinguláris viselkedésük alapján. | We investigated the problem of quantum entanglement using differential geometric methods. We introduced a new invariant of 3-qubit entanglement which describes nonlocal properties that cannot be described using reduced density matrices, clarified the geometric meaning of 4-qubit invariants, and proposed a unified description of entanglement measures based on Plücker embeddings. We investigated the quantum information theoretic description of black hole entropy and modulus stabilization in four dimensional supersymmetric compactifications of String Theory. We described black hole solutions of four dimensional N=8 SUGRA in terms of 7-qubit states, and pointed out the relation to the Fano plane and the Hamming code. We introduced the notion of weighted permutation actions, and applied it to the study of simple currents in CFT. We worked out the character theory of 2D groups, and described its relation to CFT. We investigated the orbifold transform, an important ingredient of the theory of permutation orbifolds, and described its main properties. We developed a new approach to the theory of vector-valued modular forms, and indicated its applications in CFT. We derived a hypergeometric ODE for the fundamental matrix, and proved the spectral condition restricting its coefficients. We gave a completely explicit inversion formula for computing a vector-valued modular form from its singular behavior.
A projekt során különféle megőrzési transzformációk szerkezetének a meghatározásával foglalkoztunk elsősorban kvantumstruktúrákon. A tekintett struktúrák a következők voltak: a kvantumállapotok halmaza, az obszervábilisek tere, és az effektek halmaza. Az elért számos eredményből a fenti területekre vonatkozóan kiemelünk egy-egy fontosnak ítéltet: (1) Az állapotok terén meghatároztuk a relatív entrópiát (ami a kvantum-információelmélet alapvető fogalma) megőrző bijektív transzformációkat. (2) Az obszervábilisekkel kapcsolatban talán a legalapvetőbb reláció a kommutativitás, melyet a kvantummechanikában kompatibilitásnak neveznek. Egy dolgozatunkban leírtuk azon (nemlineáris) bijekciók szerkezetét, melyek mindkét irányban megőrzik ezt a relációt. (3) Meghatároztuk az effektek halmazának azon bijektív leképezéseit, melyek mindkét irányban megőrzik a spektrális rendezést. A témavezető 2005-ben megvédte akadémiai doktori értekezését, mely munkát a Springer Kiadó 2006 végén könyv formájában megjelentett. Az eltelt időszakban további 18 angol nyelvű dolgozatunk született, melyek rangos nemzetközi folyóiratokban jelentek meg illetve állnak megjelenés alatt. Az elért eredményekről több mint 20 nemzetközi konferencián illetve kül- és belföldi egyetem szemináriumán tartottunk előadást. | In this project we have dealt with structural problems concerning a number of preserver transformations defined mainly on quantum structures. These structures have been the following: the set of quantum states, the space of observables and the set of effects. From the many results that we have obtained, here we emphasize only the following ones (one important result concerning each of the structures mentioned above): (1) We described the bijective transformations on the set of all states which preserve the relative entropy (which is a fundamental notion in quantum information theory). (2) The probably most fundamental relation concerning observables is the commutativity (this is called comparability in quantum mechanics). We described the structure of those bijective (nonlinear) maps which preserve this relation in both directions. (3) We determined those bijective transformations on the set of Hilbert space effects which preserve the spectral order in both directions. In 2005 the project leader defended his thesis for the DSc degree of the Hungarian Academy of Sciences which work was published in book form by Springer Verlag in 2006. We wrote additional 18 research papers which were published or are to appear in respected international journals. We gave more than 20 lectures on the obtained results at international conferences and seminars of universities in Hungary and abroad.
1. 2d integrálható modellek Termodinamikai Bethe ansatz és integrálegyenlet technikával véges méret spektrumot határoztunk meg. O(N)-modellek kontinuum limesz konstrukciójában megadtuk a rácskorrekciók eltűnésének rácsállandó-függését. O(3)-modellbeli ''hadronikus'' struktúra-függvényre kis Bjorken-x-re egzakt alakot vezettünk le. 2 Szimmetriastruktúrák és Calogero modellek Megadtuk a WZNW-modellek Poisson-Lie szimmetriáit generáló momentum-leképzést, a dinamikai Yang-Baxter egyenlet általánositását, a Calogero modell inekvivalens kvantálásait. Megmutattuk, hogy dinamikai r-mátrix konstrukciói spin Calogero modelleknek Lie csoporton való szabad mozgás hamiltoni redukciói. Negativ görbületű Riemann szimmetrikus téren szabad mozgás hamiltoni redukciója spin Calogero modellre vezet. 3.Spinláncok és rácselméletek Megmutattuk, hogy az XX-láncnál az energiáram, Heisenberg-láncnál a csatolások kváziperiodikus perturbációja az összefonódottságot növeli, s hogy kvantumspinláncok eltolásinvariáns állapotaira vonatkozó nulla entrópia-sűrűség sejtés éles. MC szimulációval azt találtuk, hogy a 4d Ising modell kontinuum limesze triviális, de a konvergencia nagyon lassú. 4.Kvantumgrupoidok 2-es mélységű algebrabővitéseket jellemeztünk bialgebroidokkal, melyek balanszirozott esetben a Galois-csoport analógjai. Bevezettük a Hopf algebroidok fogalmát, tanulmányoztuk szerepüket hasadt algebra-bővitésekben, Hopf-Galois kiterjesztésekben és nem-kommutativ geometrában. | 1. 2d integrable models Finite volume spectra are given using thermal Bethe ansatz and integral equations. The decay form of lattice artifacts is established in the continuum limit construction of O(N)-models. The exact small (Bjorken) x behaviour of the 'hadronic' structure function in the O(3)-model was derived. 2.Symmetry structures and Calogero models The momentum map, the generator of Poisson-Lie symmetries in WZNW models was given, the dynamical Yang-Baxter equation was generalized. Inequivalent quantizations of Calogero model were given. Dynamical r-matrix construction of spin Calogero model is shown to be the Hamiltonian reduction of free motion on a Lie group. Hamiltonian reduction of free motion on a symmetric Riemann space with negative curvature leads to spin Calogero models. 3.Spin chains and lattice theories The energy current in the XX model and the aperiodic perturbation of couplings in the Heisenberg chain increase the entanglement entropy. The zero-entropy-density conjecture is sharp for translation-invariant states of spin chains. The continuum limit of the 4d Ising model is found to be trivial by MC methods but the convergence is very slow. 4. Quantum groupoids Depth 2 algebra extensions were characterized by bialgebroids, the analogues of Galois groups in the balanced case. The notion of Hopf algebroids was introduced. Their role was determined in cleft algebra extensions, in Hopf-Galois extensions, in non-commutative geometry.
A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.
Eredményeim egyrészt megoldható kvantummechanikai potenciálfeladatok és azok szimmetriáinak vizsgálatával kapcsolatosak, másrészt pedig e módszertani eredmények konkrét atommagfizikai rendszerekre történő alkalmazását valósították meg. Az előbbi területen zárt alakban megadtam több egzaktul megoldható PT-szimmetrikus potenciál állapotainak pszeudo-normáját (ami a PT-szimmetrikus potenciálok hermitikus megfelelőinek előállítása szempontjából kulcsfontosságú), kiterjesztettem az egzaktul megoldható PT-szimmetrikus potenciálokat 2 és 3 térbeli dimenzióra és társszerzőimmel megnyugtatóan rendeztük a Coulomb-probléma PT-szimmetrizálásának régóta húzódó kérdését. Emellett javasoltam egy olyan eljárást, amellyel helyfüggő effektív tömeg esetén is egzaktul megoldható potenciálfeladatok generálhatók úgy, hogy a tömeg mindenhol véges és pozitív. Az alkalmazások területén atommagok alakfázisai közötti fázisátmenetek egzakt leírását adtam a hatodfokú oszcillátornak a Bohr-féle Hamilton-operátorban történö felhasználásával. Zárt alakban felírtam a fázisátmenet szempontjából lényeges állapotok hullámfüggvényét, energia-sajátértékeit és az állapotok közötti elektromágneses átmeneti valószínűségeket. A módszert alkalmaztam az E(5) kritikusponti szimmetriára jó példát mutató Ru, Pd és Cd izotópokra. Szintén tárgyaltam egy olyan szuperszimmetria-sémát, amelybe szomszédos könnyű atommagok alfa-klaszter állapotai sorolhatók. | My results concern the study of exactly solvable quantum mechanical potentials and their symmetries, as well as the application of these methodical results to nuclear physical systems. In the former field I presented in closed form the pseudo-norm for the states of several PT-symmetric potentials (a result essential in generating the Hermitian equivalents of PT-symmetric potentials), I extended exactly solvable PT-symmetric potentials to 2 and 3 spatial dimensions, and together with my co-authors settled the long lasting problem of the PT-symmetrization of the Coulomb problem. Besides these, I proposed a method by which exact solutions of position-dependent effective-mass problems can be generated such that the mass remains finite and positive everywhere. Concerning applications, I presented exact description of phase transitions between different nuclear shape phases by applying the sextic oscillator in the Bohr Hamiltonian. I gave closed expressions for the wavefunctions and energy eigenvalues of states essential from the point of view of the phase transition and also calculated electromagnetic transition probablilities between them. I applied the method to Ru, Pd and Cd isotopes that are considered to be good examples for the E(5) critical point symmetry. I also discussed a supersymmetry scheme that contains alpha cluster states of neighbouring light nuclei.
Nemintegrálható modellek: szisztematikus elméleti keretet adtunk nemintegrálható modellek effektív potenciáljának és szoliton spektrumának kvalitatív leírására. Ezen felül sikerült az ún. form faktor perturbációszámítást magasabb rendekre kiterjeszteni, a véges térfogatú FF formalizmus segítségével. Véges térfogatú form faktorok: a formalizmust kiterjesztettük általános (nemdiagonális szórású) integrálható modellekre. Leírtuk az exponenciális korrekciók vezető tagját, és ennek hatását a mátrix elemek numerikus meghatározásában. Peremes elméletekben a lokális operátorok várható értékének helyfüggésére szisztematikus kiszámítási módot adtunk meg, a véges térfogatú form faktor módszert használva. Peremes form faktorok: sikerült a peremes sine-Gordon modell lélegző form faktorait meghatározni, és numerikusan tesztelni. Véges hőmérsékletű korrelátorok: megalkottuk a tervezett szisztematikus kifejtést, ami a projekt fő célja volt és teljes mértékben ellenőriztük, részben analitikus, részben numerikus módszerek segítségével. Peremes entrópia: bár a tervezettől eltérő módon, de hatékony módszert adtunk a peremes entrópia függvény kiszámítására, sőt sikerült azt gerjesztett állapotokban is meghatározni. OSp(2|2) Gross-Neveu modellre TBA módszer segítségével sikerült igazolni a Leclair-Bassi S mátrix helyességét, valamint dualitást kimutatni az SO(4) modellel. Kimutattuk, hogy a random bond Ising modellre Cabra és munkatársai által javasolt S mátrix nem helyes. | Nonintegrable theory: we developed a systematic framework for a qualitative description of the effective potentials and soliton spectra in nonintegrable modells. Using the finite volume FF formalism, we extended the form factor perturbation theory to higher orders. Finite volume form factors: the formalism has been extended to general integrable models with nondiagonal scattering. We described the leading exponential corrections, and demonstrated its effect on numerical determination of matrix elements. We gave a systematic method to determine the position dependence of the expectation value of local operators using the finite volume form factor formalism. Boundary form factors: we determined the breather form factors in the boundary sine-Gordon modell, and numerically verified the bootstrap predictions. Thermal correlators: we constructed the systematic expansion, that was the central aim of the project, and verified it using partly numerical, partly analytic methods. Boundary entropy: following a line different from the original plan, we gave an effective method for its evaluation, in addition, this method also works for the excited states. Using the TBA method, the Leclair-Bassi S matrix conjecture for the OSp(2|2) Gross-Neveu model was verified, and a duality with the SO(4) model found. It was also shown, that the S matrix proposed for the random bond Ising modell by Cabra et al. cannot be correct.
Értekezésemben különböző kvantumelméleti modelleket tárgyaltam a funkcionális renormálásicsoport-módszer (RG-módszer) segítségével. A kvantált anharmonikus oszcillátor esetén a renormálási séma optimalizálásnak kérdését tanulmányoztam. Lokális potenciál közelítésben a legkisebb érzékenység elve a Litim-regulátortól kissé eltérő optimális regulátort szolgáltatott. A Caldeira–Leggett-modellben meghatároztam a szuszceptibilitás és a korrelációshossz kritikus exponensét a spektrálfüggvény Drude- és Debye-típusú levágása esetén. Azt tapasztaltam, hogy a két fajta levágás a kritikus exponensek meghatározása szempontjából egyenértékűnek tekinthető. A kétdimenziós sine-Gordon-modellt impulzusfüggő hullámfüggvény-renormálás alkalmazásával tárgyaltam. A modell ultraibolya viselkedése a renormálás kezdeti feltételeitől függően változhat, így a modell aszimptotikus biztonsága sérülhet. A hullámfüggvény-renormálás vezető rendű tagját tekintve a modell nagy energiás és alacsony energiás skálázási viselkedése között duális kapcsolatot tapasztalhatunk. A kétdimenziós kvantum-színdinamikának megfelelő bozonizált modellt egy fermion íz figyelembevételével tárgyaltam. Meghatároztam a klasszikus modell alapállapotát, amely triviálisnak adódott. Az RG-módszer alkalmazásával megmutatható, hogy a kvantált modell egyetlen fázissal rendelkezik. I discussed different quantum theoretical models in the framework of the functional renormalization group (RG) method in my PhD thesis. For the quantized anharmonic oscillator the question of the optimization of the renormalization scheme was investigated. I obtained that in local potential approximation the principle of minimal sensitivity leads to such regulator which is a slight modification of the Litim one. I also investigated the Caldeira-Leggett model. I considered Drude and Debye type cutoff functions and I calculated critical exponents of the susceptibility and the correlation length. I found the two types of cutoff functions to be coequal from the viewpoint of the critical exponents. The 2-dimensional sine-Gordon model with wave function renormalization inculding higher order terms in the momentum was analyzed. The model can have different ultraviolet scaling behaviour depending on the initial conditions, so the model can cease to be asymptotically safe. Considering the leading term of the wave function renormalization there is a dual correspondence between the low and the high energy scalings of the model. The bosonized model of the two dimensional quantum chromodynamics with one fermion flavour has been investigated too. The ground state of classical model is determined and found to be flat. Using the RG method it can be shown that the model has a single phase.