Opérateur de collision et évolution dans des modèles quantiques exactement solubles

Michel Mareschal, A.P. Grécos

Ibrahima Sakho

La mécanique quantique est à la base de la technologie moderne. Elle a donné lieu à de nombreuses applications en physique, en chimie et même en biologie.Introduction à la mécanique quantique 2 étudie l’équation de Schrödinger, les puits, les marches et les barrières de potentiel. Les propriétés des bases orthonormées dans l’espace des fonctions d’onde de carré sommable et les notations de Dirac relatives aux kets et aux bras dans l’espace des états sont également examinées.Cet ouvrage analyse les notions d’opérateur linéaire, d’opérateur hermitien, d’observable, de conjugaison hermitienne et de commutateur. La représentation des kets, des bras et des opérateurs dans l’espace des états est exposée, tout comme l’équation aux valeurs propres et l’équation caractéristique. Enfin, ce second volume présente la définition de la valeur moyenne d’une observable et son équation d’évolution, l’étude des systèmes conservatifs et l’établissement du théorème d’Ehrenfest.

Hamza Jirari

Michel Fabrice Serret

Les algorithmes quantiques variationnels (VQAs) ont été proposés pour la résolution d'équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques bruités. Cette thèse se concentre sur l'analyse des VQAs pour l'équation stationnaire de Gross-Pitaevskii (GPE), à la fois dans des conditions idéales (sans bruit) et en présence de bruit quantique, en fournissant des bornes d'erreur, des propriétés de convergence et des estimations du nombre d'échantillons nécessaires.Un concept central de cette thèse consiste en l'utilisation de la relation entre la représentation des fonctions et des opérateurs fonctionnels sur les rationnels dyadiques, via la base de Walsh, et l'encodage des fonctions et des opérateurs pour des systèmes quantiques à N qubits à travers les opérateurs de Pauli et leurs états propres.Dans le chapitre 1, nous relions les opérateurs de Pauli des systèmes quantiques à N qubits avec la base de Walsh sur les rationnels dyadiques à N bits, en présentant de nouvelles bornes d'erreur pour la convergence de la série de Walsh à N bits pour les fonctions dans H^1(0,1) et en présentant quelques résultats sur la représentation des fonctions de la base de Fourier dans la base de Walsh.Dans le chapitre 2, nous analysons les VQAs pour la GPE sans bruit, en détaillant le cadre mathématique, la discrétisation et l'analyse a priori de l'erreur. Nous introduisons de nouveaux estimateurs d'énergie, soit basés sur la décomposition de Walsh des opérateurs, soit obtenus par des méthodes inductives, et nous les comparons à l'échantillonnage direct, dans la base diagonale des opérateurs, et à la méthode du test de Hadamard. Nos résultats montrent qu'en l'absence de bruit, les méthodes les plus prometteuses pour l'estimation de l'énergie sont l'échantillonnage direct dans la base diagonale, offrant la plus faible variance et les besoins en échantillons les plus faibles.Dans le chapitre 3, nous examinons plus en détail l'impact du bruit quantique sur l'estimation de l'énergie. Le bruit dépolarisant introduit un biais et modifie la variance des estimateurs. Nous montrons que les estimateurs de Pauli sont les moins affectés par le bruit, en raison de la taille réduite des circuits nécessaires, surpassant les autres, à la fois sans mitigation, en raison d'un biais plus faible, et avec mitigation, car leur efficacité en termes d'échantillons est moins affectée.Cette recherche fournit une base pour l'utilisation des VQAs pour résoudre des équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques, offrant des estimations réalistes des coûts computationnels de la partie estimation de l'énergie des algorithmes. De plus, les connaissances acquises peuvent contribuer au développement d'algorithmes quantiques pratiques pour l'encodage en blocs des opérateurs différentiels et de leurs opérateurs d'évolution associés.

L. Tarassov, Sergei Medvedev

Nicolas Grosjean

Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.