Se analiza la difracción de partículas libres sometidas a las condiciones de contorno. Para poder apreciar mejor los resultados, se conecta con la ecuación de Hamilton Jacobi Perturbada, que es en cierta forma, la representación “clásica” de la ecuación de Schrödinger. \n \nEl espacio R3 ha sido dividido en tres zonas, la segunda de ellas es un muro impenetrable excepto por un túnel que lo atraviesa, conectando las zonas I y III. En las soluciones que se obtienen de la ecuación de Schrödinger, se pone especial énfasis en los empates de las funciones de onda y en los empates de la gradiente de la misma. Así las soluciones que se obtienen en cada una de las zonas resulta ser única. En este trabajo, para la solución de la Zona III, donde se produce la difracción, no se recurre a la fórmula de Kirchhoff que solo es válida para zonas muy alejadas de la ventana de salida del túnel, sino se trabaja con la solución de Green, la misma que permite calcular la función de onda también a la región cercana a la mencionada a la ventana de salida. Se muestran una serie de gráficos que exhiben las propiedades de las soluciones en las diferentes zonas; en particular se pone en evidencia la existencia de vórtices que se presentan especialmente en la ventana de entrada y en la de salida. Como un resultado adicional, que no suele ser presentado en los estudios de difracción, se ha verificado que (en buena aproximación) el valor de la densidad de la probabilidad cumple con la ley de la inversa del cuadrado de la distancia.
Se analiza la difracción de partículas libres sometidas a las condiciones de contorno. Para poder apreciar mejor los resultados, se conecta con la ecuación de Hamilton Jacobi Perturbada, que es en cierta forma, la representación “clásica” de la ecuación de Schrödinger. \n \nEl espacio R3 ha sido dividido en tres zonas, la segunda de ellas es un muro impenetrable excepto por un túnel que lo atraviesa, conectando las zonas I y III. En las soluciones que se obtienen de la ecuación de Schrödinger, se pone especial énfasis en los empates de las funciones de onda y en los empates de la gradiente de la misma. Así las soluciones que se obtienen en cada una de las zonas resulta ser única. En este trabajo, para la solución de la Zona III, donde se produce la difracción, no se recurre a la fórmula de Kirchhoff que solo es válida para zonas muy alejadas de la ventana de salida del túnel, sino se trabaja con la solución de Green, la misma que permite calcular la función de onda también a la región cercana a la mencionada a la ventana de salida. Se muestran una serie de gráficos que exhiben las propiedades de las soluciones en las diferentes zonas; en particular se pone en evidencia la existencia de vórtices que se presentan especialmente en la ventana de entrada y en la de salida. Como un resultado adicional, que no suele ser presentado en los estudios de difracción, se ha verificado que (en buena aproximación) el valor de la densidad de la probabilidad cumple con la ley de la inversa del cuadrado de la distancia.
Desde los comienzos de la mecanica cuantica se planteo el problema de la medida del que tarda una particula en atravesar una region dada del espacio. Este problema es especialmente importante en regiones donde la propagacion es evanescente. En regiones no-evanescentes, donde la onda asociada a una particula tiene una fase proporcional al tiempo, la fisica ondulatoria nos ensena que el de transito viene dado por la derivada de la fase con respecto a la frecuencia. Por el contrario, en regiones evanescentes no existe esta fase, con lo cual, no disponemos de una expresion para el de transito (llamado comunmente en la literatura cientifica tiempo tunel). El principal objetivo de esta memoria consiste en evaluar la dependencia del tunel y su indeterminacion con la anchura de un paquete de ondas que atraviesa una region evanescente. Para ello calculamos el tunel y su indeterminacion mediante un metodo numerico basado en la evolucion de los paquetes de ondas. Este procedimiento nos va a permitir confirmar el metodo del de presencia, el cual resulta muy apropiado para evaluar los efectos de tamano finito del paquete de ondas en el tunel. Dado que las expresiones para el tunel son relativamente complejas de manejar en la practica, efectuamos aproximaciones de las mismas para obtener ecuaciones mucho mas practicas con un buen limite de validez. Ademas, aplicamos estos resultados a estructuras fisicas que forman parte de dispositivos electronicos con interes tecnologico, como una superred o una doble barrera de potencial asimetrica.
En este articulo se analiza y resuelve laecuacion de Schrodinger independiente deltiempo o en estado estacionario para una particulaen una caja unidimensional de potencialcero. Para este proposito se definen conceptosy postulados cuanticos como la funcion deonda y los requisitos matematicos que debecumplir como el de ser funcion continua, univaluada(un solo valor f(x) para cada valor dex) y diferenciable (derivable). Se describen alos operadores cuanticos: como el operadorde posicion, operador derivada, operador delmomento lineal clasico y cuantico, operadorenergia potencial y el operador Hamiltoniano.Se obtienen valores propios o eigenvalores.Se normalizan funciones aplicando metodosdel calculo integral y se establece la ecuacionde Schrodinger para una dimension y tres dimensiones.La solucion da a una funcion de onda real que matematicamente es una funciontrigonometrica seno. Se encuentra quela energia de la particula esta cuantizada olimitada a valores discretos.
En el presente trabajo se estudia el problema de una partícula en un pozo de potencial cuadrado finito. Los autovalores correspondientes al hamiltoniano del problema anterior se encuentran por medio de un método que combina el teorema de inversión de Lagrange con una relación de recurrencia para calcular derivadas de orden superior de una función inversa. La metodología utilizada nos permitió obtener una solución en serie de potencias para el potencial de pozo cuadrado finito que dependen del número cuántico principal y de la fuerza de atracción. Por otro lado, nuestros resultados reproducen, como casos particulares, expresiones generales de los autovalores para una partícula ubicada en el fondo del pozo, en la mitad del pozo y en el tope del pozo de potencial. Las energías calculadas se comparan con las soluciones exactas de la ecuación trascendental para el pozo finito.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En esta tesis estudiaremos diversos aspectos del entrelazamiento entre diferentes particiones de sistemas de muchos cuerpos, tanto para el estado fundamental como para estados térmicos. Consideraremos en general aquellos sistemas definidos por Hamiltonianos cuadráticos en operadores locales y en particular el caso de redes de espines. Con este fin se desarrollará en primer lugar una generalización de la aproximación denominada CSPA de la función de partición de sistemas cuánticos compuestos, así como del formalismo RPA, al que se reduce el primero en situaciones donde el sistema admite soluciones de campo medio estables. A partir de la función de partición aproximada se estimará la concurrencia de pares para redes de espines 1/2 invariantes ante translaciones. Se mostrará también que en redes de espín 1/2 invariantes traslacionales la función de partición en la aproximación RPA puede evaluarse en forma analítica. En segundo lugar se presentará un mapeo bosónico consistente con RPA, que nos permitirá mapear el estado fundamental de un sistema general a un estado en el sistema de bosones que en primera aproximación pertenece a la clase de los estados Gaussianos. Esto nos permitirá estimar el entrelazamiento entre cualquier par de partes del sistema original en términos del entrelazamiento en estados Gaussianos, que puede ser evaluado exactamente. Luego se mostrarán resultados concretos en redes generales de espín s invariantes ante transformaciones de “paridad de espín z”. Veremos además como este tratamiento nos permite determinar las condiciones exactas para la existencia de un campo factorizante del sistema, esto es, configuraciones particulares del campo magnético externo para las que el sistema admite un (o en general varios) estado(s) fundamental(es) completamente separables. En los ejemplos estudiados, mostraremos cómo en el caso en que estos estados presenten ruptura espontánea de simetría el sistema desarrolla correlaciones cuánticas de largo alcance en la vecindad de ese punto, independientemente del alcance de las interacciones entre las partes. Finalmente se analizará en detalle el comportamiento exacto del sistema en esas condiciones.
En este trabajo se analiza la construcción y propiedades algebraicas de los operadores\nde ascenso y descenso asociados a la transformada de Fourier discreta N - dimensional.\nSe justifica la convergencia de estos y del operador hamiltoniano discreto a sus análogos\ncontinuos mediante esquemas asociados, se prueba la conmutatividad del operador\nde número asociado, así como la interpretación de los operadores discretos de ascenso\ny descenso como objetos formados por una componente circulante y una componente\ndiagonal del álgebra de grupo CH del grupo finito de Heisenberg sobre C, esto último\nmediante los operadores complementarios de Schwinger, de acuerdo con los procedimientos\nde Atakishiyeva y Atakishiyev.\nPalabras clave: Transformada Discreta de Fourier, esquema de discretización por\ndiferencias finitas, autovectores, Grupo de Heisenberg, operadores complementarios,\noperadores discretos de ascenso y descenso, álgebra de grupo, matrices circulantes.\n«Se hace la ciencia con hechos como una casa con piedras, pero una acumulación de\nhechos no es una ciencia, al igual que un montón de piedras no es una casa...»