Ziel der Arbeit war die systematische theoretische Behandlung von Gemischen aus bosonischen und fermionischen Atomen in einem Parameterbereich, der sich zur Beschreibung von aktuellen Experimenten mit ultra-kalten atomaren Gasen eignet. Zuerst wurde der Formalismus der Quantenfeldtheorie auf homogene, atomare Boson-Fermion Gemische erweitert, um grundlegende Größen wie Quasiteilchenspektren, die Grundzustandsenergie und daraus abgeleitete Größen über die Molekularfeldtheorie hinaus zu berechnen. Unter Zuhilfenahme der dieser Resultate System wurde ein Boson-Fermion Gemisch in einem Fallenpotential im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie beschrieben. Daraus konnten die Dichteprofile ermittelt werden und es ließen sich drei Bereiche im Phasendiagramm identifizieren: (i) ein Bereich eines stabilen Gemisches, (ii) ein Bereich, in dem die Spezies entmischt sind und (iii) ein Bereich, in dem das System kollabiert. Im letzten dieser drei Fällen waren Austausch--Korrelationseffekte signifikant. Weiterhin wurde die Änderung der kritischen Temperatur der Bose-Einstein-Kondensation aufgrund der Boson-Fermion-Wechselwirkung berechnet. Verursacht wird dieser Effekt von Dichtumverteilungen aufgrund der Wechselwirkung. Dann wurden Boson-Fermion Gemische in optischen Gittern betrachtet. Ein Stabilitätskriterium gegen Phasenentmischung wurde gefunden und es ließen sich Bedingungen für einen supraflüssig zu Mott-isolations Phasenübergang angeben. Diese wurden sowohl mittels einer Molekularfeldrechnung als auch numerisch im Rahmen eines Gutzwilleransatzes gefunden. Es wurden weiterhin neuartige frustrierte Grundzustände im Fall von sehr großen Gitterstärken gefunden.
Ziel der Arbeit war die systematische theoretische Behandlung von Gemischen aus bosonischen und fermionischen Atomen in einem Parameterbereich, der sich zur Beschreibung von aktuellen Experimenten mit ultra-kalten atomaren Gasen eignet. Zuerst wurde der Formalismus der Quantenfeldtheorie auf homogene, atomare Boson-Fermion Gemische erweitert, um grundlegende Größen wie Quasiteilchenspektren, die Grundzustandsenergie und daraus abgeleitete Größen über die Molekularfeldtheorie hinaus zu berechnen. Unter Zuhilfenahme der dieser Resultate System wurde ein Boson-Fermion Gemisch in einem Fallenpotential im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie beschrieben. Daraus konnten die Dichteprofile ermittelt werden und es ließen sich drei Bereiche im Phasendiagramm identifizieren: (i) ein Bereich eines stabilen Gemisches, (ii) ein Bereich, in dem die Spezies entmischt sind und (iii) ein Bereich, in dem das System kollabiert. Im letzten dieser drei Fällen waren Austausch--Korrelationseffekte signifikant. Weiterhin wurde die Änderung der kritischen Temperatur der Bose-Einstein-Kondensation aufgrund der Boson-Fermion-Wechselwirkung berechnet. Verursacht wird dieser Effekt von Dichtumverteilungen aufgrund der Wechselwirkung. Dann wurden Boson-Fermion Gemische in optischen Gittern betrachtet. Ein Stabilitätskriterium gegen Phasenentmischung wurde gefunden und es ließen sich Bedingungen für einen supraflüssig zu Mott-isolations Phasenübergang angeben. Diese wurden sowohl mittels einer Molekularfeldrechnung als auch numerisch im Rahmen eines Gutzwilleransatzes gefunden. Es wurden weiterhin neuartige frustrierte Grundzustände im Fall von sehr großen Gitterstärken gefunden.
Thema der vorliegenden Arbeit ist die Bose-Einstein-Kondensation stark verdünnter atomarer Gase. Nach einer Einführung in die Theorie solcher schwach wechselwirkender Quantengase und einer Zusammenfassung wesentlicher experimenteller Ergebnisse aus dem Gebiet der Bose-Einstein-Kondensation wird zunächst die Physik ultrakalter, in Atomfallen gefangener Fermigase diskutiert. Dieses Gebiet hat sich in den letzten Jahren parallel zu dem der kondensierten Bosegase stark entwickelt und bietet vielversprechende Möglichkeiten, Modelle wie die BCS-Theorie erstmals in fast idealen Fermigasen zu untersuchen. Es werden Ergebnisse zu den thermodynamischen Eigenschaften solcher Gase vorgestellt, die vor allem für mesoskopische Teilchenzahlen (unter 1000) relevant sind. Dabei wird insbesondere auf Schaleneffekte bei der Dichteverteilung in einer Atomfalle und bei der Wärmekapazität eingegangen. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Physik von Atomlasern diskutiert. Als "Atomlaser" bezeichnet man Systeme, die in der Lage sind, kohärente Materiewellen aus Atomen zu erzeugen. Die einem Bose-Einstein-Kondensat inhärente Kohärenz wird in Experimenten genutzt, um mittels eines kohärent arbeitenden Auskoppelmechanismus solche Atomstrahlen herzustellen. Die zugehörige Physik wird durch die so genannte Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben, einer Art nichtlinearen Schrödingergleichung für die Wellenfunktionen der beteiligten Hyperfeinzustände des Bose-Einstein-Kondensats aus 87Rb-Atomen. In der vorliegenden Arbeit wurden unter anderem die Auskoppelstärke mittels analytischer und vor allem numerischer Methoden untersucht. Darüber hinaus konnten Aussagen über das zeitliche Verhalten von Atomlasern gewonnen, die mit zwei Radiofrequenzen betrieben werden. In diesem Fall wird der Atomstrahl aus zwei interferierenden Materiewellen verschiedener Energie gebildet, sodass kohärente, atomare Pulse mit makroskopischen Dimensionen auftreten. Im letzten Abschnitt wird mit der Spurafluidität ein weiterer, sehr interessanter Aspekt von kondensierten Bosegasen behandelt. Nach einer Einführung in die Bestimmung quantenstatistischer Eigenschaften von Vielteilchensystemem mithilfe von Pfadintegral-Monte-Carlo-Verfahren wird der suprafluide Anteil eines kondensierten Bosegases mit verschiedenen Approximationen berechnet. Dazu wird neben den Pfadintegralen eine auf so genannten Permutationszykeln beruhende Methode eingesetzt, mit der man die Zustandssumme von Bosonen im kanonischen Ensemble und damit auch viele andere Größen ausrechnen kann. Auf diese Weise konnte der suprafluide Anteil eines idealen Bosegases im kanonischen Ensemble erstmals vollständig quantenmechanisch exakt ermittelt werden.
In den letzten Jahren haben sich atomare Quantengase in optischen Gittern zu einem faszinierenden und interdisziplinär bedeutsamen Forschungsfeld entwickelt. Die in den periodischen Potentialen gefangenen ultrakalten Atome stellen ein ideales Modellsystem dar, anhand dessen sich grundlegende Fragestellungen der modernen Festkörper- und Vielteilchenphysik untersuchen lassen. In der vorliegenden Arbeit werden neue Methoden zur Manipulation und Analyse von Quantenzuständen in optischen Gittern demonstriert. Insbesondere wird mittels der sogenannten Rauschkorrelationsanalyse die Ordnung der Atome im Gitter bestimmt und erstmals fermionisches Antibunching an freien neutralen Atomen nachgewiesen. Grundlage für die vorgestellten Experimente ist eine im Rahmen dieser Arbeit neu entwickelte Apparatur, mit der sich simultan entartete bosonische und fermionische Quantengase aus 87-Rubidium und 40-Kalium präparieren und in einem dreidimensionalen optischen Gitter untersuchen lassen. Die Apparatur zeichnet sich durch eine Serie technischer Innovationen aus: Eine neuartige Spulen- und Fallenkonfiguration eröffnet einen hervorragenden optischen Zugang zu den präparierten Ensemblen und ermöglicht es, starke homogene Magnetfelder bei einer geringen dissipierten Leistung zu erzeugen. Dies sind wichtige Voraussetzungen, um definierte Gitterpotentiale verwirklichen und die interatomaren Wechselwirkungen mittels Feshbach-Resonanzen beeinflussen zu können. Das optische Potential geht aus der Überlagerung einer gekreuzten Dipolfalle und eines blauverstimmten dreidimensionalen Gitters hervor. Eine solche Kombination erlaubt es, sehr tiefe und relativ homogene Gitterpotentiale zu erzeugen sowie den externen Einschluss unabhängig von der Gittertiefe zu variieren. Des Weiteren lassen sich über eine frei einstellbare Wellenlänge speziesabhängige Gitter realisieren. Die Vereinigung der hier aufgeführten Technologien liefert uns eine außergewöhnlich flexible Plattform für das Studium maßgeschneiderter Quantenzustände in periodischen Potentialen. Durch den unabhängigen externen Einschluss kann erstmals ein Fermigas allein über dessen Kompression zwischen einem metallischen und einem isolierenden Zustand hin- und hergeschaltet und – in ersten Ansätzen – die entsprechende Dynamik beobachtet werden. Die Ergebnisse werden mit numerischen Simulationen verglichen. Neben der Durchführung von Transportmessungen lässt sich hieraus ein neues Diagnoseverfahren ableiten, das es ermöglicht, Quantenphasen, wie den bosonischen oder fermionischen Mott-Isolator, anhand der charakteristischen Kompressibilität zu identifizieren. Als weiteres Diagnoseverfahren wird die Korrelationsanalyse von Flugzeitaufnahmen vorgestellt. Durch die Auswertung von Hanbury Brown und Twiss (HBT)-Korrelationen im Quantenrauschen der expandierenden Atomwolken lässt sich die mikroskopische Ordnung der Atome im Gitter nachweisen. Ausgangspunkt für die Messungen sind jeweils vollständig spinpolarisierte bosonische Mott-Isolatoren und fermionische Bandisolatoren. Trotz identischer Dichteverteilungen innerhalb des Gitters, weisen die Korrelationen von Bosonen und Fermionen entgegengesetzte Vorzeichen auf. Mit diesen Messungen gelingt es erstmals, fermionisches Antibunching an freien neutralen Atomen zu beobachten und innerhalb einer selben Apparatur mit dem bosonischen Bunching zu vergleichen. Neben dem Nachweis dieses fundamentalen Quanteneffektes lässt sich die Ordnung und die Temperatur der Fermionen im Gitter bis hinauf zur Fermi-Temperatur bestimmen. Damit erweist sich die Korrelationsanalyse als ein robustes Verfahren, mit dem sich in Zukunft noch weitaus komplexere Quantenphasen in optischen Gittern untersuchen lassen.
In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
Die kohärente Kontrolle von Quantenzuständen ist Gegenstand von Untersuchungen seitdem Quantensysteme in Laboren erzeugt werden. Die Aussicht, eines Tages einen Quantencomputer realisieren zu können, der Kohärenzeigenschaften von Quantensystemen nützt um die verfügbare Rechenleistung zu vervielfachen, ist dafür selbstverständlich eine wichtige Motivation, jedoch nicht die einzige. Präzise Kontrolle ermöglicht es, Systeme in bestimmten Quantenzuständen zu präparieren und zu manipulieren, etwa um Präzessionsmessungen zu realisieren. Ultrakalte Atome sind ein ideales Modellsystem für fortgeschrittene Kontrollschemata. Von ihrer Umgebung isoliert, verfügen sie über lange Kohärenzzeiten; gleichzeitig ist ihre Reaktion auf externe Anregungen im Vergleich zu anderen Systemen relativ einfach zu untersuchen. Außerdem können unterschiedliche Parameter über einen weiten Bereich abgestimmt werden, wie etwa die Dichte oder Wechselwirkungsstärke. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, ein Spektrum von Quantentheorien experimentell zu untersuchen. Kohärente Kontrolle von Quantenzuständen in Systemen aus ultrakalten Atomen ist deshalb ein reiches Forschungsgebiet, das sowohl für fundamentale Tests der Quantentheorie als auch für praktische Anwendungen vielversprechend ist. In dieser Dissertation wurde ein Schema entwickelt um Bewegungszustände eines Bose-Einstein Kondensates gezielt zu manipulieren. Dies geschieht auf eine Art die nicht nur die Kohärenzeigenschaften des Systems bewahrt, sondern auch schnell im Vergleich zur typischen Zeitskala des Systems ist. Experimentell umgesetzt wird dies in einem elongierten Kondensat auf einem Atomchip, welches ursprünglich im transversalen Grundzustand des Fallenpotentials ist. Das Kondensat wird entlang der transversalen Richtung verschoben um höhere Bewegungszustände anzuregen. Mithilfe der Theorie der optimalen Kontrolle wird die Verschiebung des Kondensats optimiert um bestimmte Bewegungszustände oder deren ü berlagerung zu erhalten. Die Optimierungen der 'Schüttelpulse' basieren auf einer Beschreibung des Kondensates in einer mean-field Näherung. Verschiedene Überlagerungen von Bewegungszuständen konnten sowohl theoretisch als auch experimentell in 1.1 ms mit einer Effizienz von mehr als 98 % erreicht werden. Diese Art der Kontrolle wurde angewandt um erstmals ein Interferometer mit Bewegungszuständen zu realisieren. Die beiden Pfade des Interferometers sind hier der Grundzustand und erste tranversal angeregte Zustand. In der Zeit zwischen den beiden optimierten Bewegungspulsen die als Strahlteiler dienen, wird eine Phase akkumuliert. Die Herausforderung bei diesem Schema besteht darin, einen effizienten Puls für alle Phasen zu finden. Das Interferometer wurde numerisch optimiert und erfolgreich experimentell umgesetzt und lieferte einen Kontrast von 92 %. Die so erzeugten ü berlagerungen von Bewegungszuständen sind nicht stabil und es wurde eine Dämpfung auf einer Zeitskala von 10 ms beobachtet. Um ein besseres Verständnis zu erlangen wurden einige Dämpfungsmechanismen in Betracht gezogen und theoretische Modelle entwickelt. Insbesondere werden Dekohärenz und Dephasierung entlang der axialen Richtung des Kondensates untersucht. Ein transversales Vielteilchen- Modell, das drei Bewegungszustände beinhaltet, wurde entwickelt um daraus die Zeitskalen der Dämpfung sowie die Abhängigkeit von Parametern wie Atomzahl und Temperatur abzuleiten und mit den experimentellen Ergebnissen zu vergleichen. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse demonstrieren schnelle und effiziente Kontrolle über Vibrationszustände und ebnen den Weg für praktische Anwendungen, wie etwa ein Interferometer mit Bewegungszuständen. Außerdem eröffnen sie eine neue Richtung für fundamentale Fragestellungen zur Nichtgleichgewichtsphysik in geschlossenen Systemen.
In dieser Dissertation wird das Verhalten sehr kalter stark korrelierter Quantengase, sowohl in optischen Gittern, als auch in rotierenden Fallen, untersucht.Im ersten Teil betrachten wir Fermionen auf einen bosonenischem Motthintergrund in einem zweidimensionalen optischen Gitter mit quadratischen Einheitszellen.Aufgrund der Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen bilden sich "Composite Fermions", Fermionen gepaart mit bosnischen Löchern oder mit Bosonen.Für eine kleine Tunnelrate leiten wir einen effektiven Hamiltonian her, der das Verhalten der "Composite Fermions" beschreibt.Mit Hilfe einer einfachen Mean-Field-Rechnung finden wir einen Mottisolator-Superflüssigkeit Phasenübergang, den wir nummerisch bestätigen Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit Quantengasen in optischen "trimerized" Kagomégittern.Für Bosonen finden wir einem Mottisolator mit einer rationalen Anzahl von Atomen (1/3, 2/3, 1, • • • ) in einer Zelle.Im Falle einer Fermion-Fermion-Mischung können wir einen effektiven Hamiltonian für einen Heisenbergantiferromagneten herleiten.Außerdem betrachten ein Gas bestehend aus polarisierten Fermion.Auch dieses System kann mit einem effektiven Hamiltonian dargestellt werden.Durch eine exakte Diagonalisierung gelangen wir zu einer, in frustrierten Systemen, unerwarteten Schlußfolgerung: Es gibt keine Energielücke zwischen Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand aber trotzdem finden wir eine langreichweitige Spin-Spin-Korrelation.Im letzten Kapitel untersuchen wir die Möglichkeit, Wignerkristallisation in schnell rotierenden polarisiertem Dipolgasen zu beobachten.Wir vergleichen die Energie eines Wignerkristalls mit der Energie eines Laughlinzustandes und stellen fest, dass unter einer kritischen Füllrate der Wignerkristall energetisch günstiger ist.Weiterhin beschäftigen wir uns mit der Stabilität einer solchen Kristalls und finden unter Berücksichtigung von Phonon-Phonon Wechselwirkungen heraus, dass der Wignerkristall schmilzt, wenn die Füllrate einen kritischen Wert überschreitet.Wir können nun das Lindemannkriterium für den schnell rotierenden dipolaren Wignerkristall formulieren.Die kritische Füllrate für den energetischen Phasenübergang ist etwas größer als für den Schmelzpunkt.
Seit der ersten experimentellen Realisierung eines Bose-Einstein Kondensats (BEC), erfuhr das Feld der atomaren Quantengase eine rasante Entwicklung und stellt heute eines der spannendsten und interdisziplinärsten Feldern in der Atomphysik dar. Die Eigenschaften dieser Gase werden hauptsächlich durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen bzw. Molekülen bestimmt, die in den bisher realisierten Kondensaten durch die Kontaktwechselwirkung dominiert wird. Theoretisches und experimentelles Interesse richtet sich seit kurzem auf weitere Wechselwirkungen in diesen entarteten Gasen. Insbesondere wurde die anisotrope und langreichweitige Dipol-Dipol-Wechselwirkung in einem Quantengas, das aus in einem externen Feld ausgerichteten Dipolen besteht, theoretisch untersucht. Im Hinblick auf die Realisierung eines dipolaren atomaren Quantengases stellt Chrom dabei ein äußerst Erfolg versprechendes Element dar. Im Vergleich zu bisherigen BEC-Experimenten, in denen meist Alkali-Atome verwendet wurden, ist die Dipol-Dipol-Wechselwirkung um einen Faktor 36 größer und in seiner Stärke mit der Kontakt-Wechselwirkung vergleichbar. Ein wesentlich stärkeres Dipolmoment wird bei einem im elektrischen Feld ausgerichteten Cr-Rb-Molekül erwartet. In einem solchen Molekülgas wird die Wechselwirkung durch die Dipol-Dipol-Wechselwirkung dominiert. Zur Erzeugung solcher Quantengase wurde in dieser Arbeit ein neuer Aufbau konzipiert und realisiert. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung ultrakalter, klassischer, bosonischer Cr-Gase, die zur Erzeugung eines dipolaren BECs dienen sollen. Ausgehend von einem lasergekühlten, magnetisch gespeicherten Cr-Ensemble wird in dieser Arbeit die Dipol-Dipol-Wechselwirkung in diesem ultrakalten, dipolaren Gas experimentell studiert. Die theoretische Beschreibung durch die Streuung zweier Dipole führt dabei zu einem sehr allgemeinen Verständnis der Streuprozesse in dipolaren Gasen. In dieser Arbeit wird experimentell und theoretisch gezeigt, dass bereits bei einem magnetischen Moment von sechs Bohrschen Magnetonen aufgrund von dipolaren Relaxationsstößen die Kondensation durch Evaporation der Cr-Atome in einer Magnetfalle nicht möglich ist. Die aus den Streuexperimenten gewonnenen Erkenntnisse bilden nun die Grundlage zur Entwicklung einer sehr aussichtsreichen Strategie. Dabei soll die Kondensation durch Verdampfungskühlen in einer optischen Falle im energetisch tiefsten Zustand der Dipole erfolgen, in dem keine Spinrelaxationsprozesse mehr möglich sind. Durch die Implementation dieses neuen Fallentyps für Cr wird somit eine entscheidende Hürde auf dem Weg zu einem BEC genommen. Obwohl es in dieser Arbeit noch nicht gelingt, die Atome in dieser Falle im energetische tiefsten Zustand zu polarisieren, können zwei Konzepte demonstriert werden, mit denen die Kondensation in diesem Fallentyp erreicht werden kann. Mit ersten Experimente an kombinierten Cr-Rb-Fallen wird in einem weiteren Teil dieser Arbeit ein neues Forschungsprojekt begonnen mit dem Ziel, ein entartetes heteronukleares Molekülgas aus einem zweikomponentigen entarteten Quantengas zu erzeugen. Es werden erste Resultate zum simultanen Betrieb zweier magneto-optischer Fallen (MOT) und dem überlagerten Betrieb von Rb-MOT und Cr-Magnetfalle vorgestellt.