This thesis is devoted to new numerical approaches for the treatment of strongly correlated systems: The dual fermion perturbation theory is generalized to much broader scope, which is not limited to the treatment of correlated lattice models. By considering three different problems, it is shown that the dual fermion scheme is a formalism, which allows to perform a perturbation expansion around an exactly solvable reference system, which has been optimized for the investigation of the particular physical situation. The three examples are:
-The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems. Here a finite size system, which can be solved using exact diagonalization, is used to approximate a bath with a continuous energy spectrum. Several exact limits of the approach are discussed and a way to directly compute the density of states on the real axis is introduced. The meaning of the reference system is analyzed in terms of the Kondo problem and a possible application as a solver for the DMFT is discussed. At the end of the chapter a renormalization procedure is formulated, which alleviates the non-causality problem, that can occur at low temperatures.
-The variational lattice approach (VLA). The VLA is a variant of the classical dual fermion approach, which also utilizes exact diagonalization as an impurity solver for the reference system. Using this approach the Mott metal insulator transition is analyzed and the results are compared to a previous CDMFT study. By employing Pade analytic continuation the pseudogap formation in the bad-metal regime is investigated.
-The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems out of equilibrium. At the end of the thesis the dual approach is generalized to systems out of equilibrium within the Keldysh framework. A discretization scheme for the numerical treatment is discussed and first results are presented.
Diese Arbeit ist neuen numerischen Ansatzen fur die Behandlung von stark korrelierten Systemen gewidmet. Die Methode der dualen Fermionen wird in ihrem Bedeutungsrahmen erweitert, der nicht auf die Behandlung von korrelierten Gittermodellen begrenzt sein muss. Anhand von drei Problemstellungen wird gezeigt, dass die duale Storungstheorie
ein Formalismus ist, der es erlaubt eine Storungsentwicklung um ein exakt losbares Bezugssystem zu formulieren, welches fur die Untersuchung des vorliegenden physikalischen Problems optimiert wurde. Die drei Beispiele sind:
-Das Superperturbations Verfahren zur Losung von quantenmechanischen Storstellenproblemen. Hierbei wird eine Naherung fur eine Storstelle in einem Bad mit kontinuierlichem Energiespektrum mit Hilfe eines Bades endlicher Grose konstruiert, welches dann durch exakte Diagonalisierung gelost werden kann. Danach werden mehrere exakte Grenzfalle der Theorie erortert und eine Methode zur direkten Berechnung der Zustandsdichte auf der reellen Achse vorgestellt. Die Bedeutung des Referenzsystems wird im Kontext des Kondo Problems analysiert und eine Anwendung der Methode als Losungsverfahren fur die dynamische Molekularfeldtheorie diskutiert. Am Ende des Kapitels wird ein Renormierungsverfahren eingefuhrt, das Nicht-Kausalitatsprobleme, die bei tiefen Temperaturen auftreten
konnen, behebt.
-Die Variations-Gitter Naherung (VLA). VLA ist eine Variante des klassischen Ansatzes dualer Fermionen, welche auch exakte Diagonalisierung zum Losen des Storstellenproblems einsetzt. Mit Hilfe dieser Methode wurde der Mott Ubergang analysiert und mit den Ergebnissen fruherer CDMFT Untersuchungen verglichen. Um die Pseudo-Bandlucke im metallischen Regime zu untersuchen, wurde eine analytische Fortsetzung mit Hilfe von Pade auf die reelle Achse durchgefuhrt.
-Das Superperturbations Verfahren zur Losung von quantenmechanischen Storstellenproblemen im Nichtgleichgewicht. Am Ende der Arbeit wird der Ansatz der dualen Fermionen auf Nichtgleichgewichts Systeme verallgemeinert. Dies wird mit Hilfe der Keldysh Theorie bewerkstelligt. Ein Schema zur numerischen Behandlung der auftretenden Grosen wird eingefuhrt und erste Ergebnisse werden prasentiert.
This thesis is devoted to new numerical approaches for the treatment of strongly correlated systems: The dual fermion perturbation theory is generalized to much broader scope, which is not limited to the treatment of correlated lattice models. By considering three different problems, it is shown that the dual fermion scheme is a formalism, which allows to perform a perturbation expansion around an exactly solvable reference system, which has been optimized for the investigation of the particular physical situation. The three examples are:
-The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems. Here a finite size system, which can be solved using exact diagonalization, is used to approximate a bath with a continuous energy spectrum. Several exact limits of the approach are discussed and a way to directly compute the density of states on the real axis is introduced. The meaning of the reference system is analyzed in terms of the Kondo problem and a possible application as a solver for the DMFT is discussed. At the end of the chapter a renormalization procedure is formulated, which alleviates the non-causality problem, that can occur at low temperatures.
-The variational lattice approach (VLA). The VLA is a variant of the classical dual fermion approach, which also utilizes exact diagonalization as an impurity solver for the reference system. Using this approach the Mott metal insulator transition is analyzed and the results are compared to a previous CDMFT study. By employing Pade analytic continuation the pseudogap formation in the bad-metal regime is investigated.
-The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems out of equilibrium. At the end of the thesis the dual approach is generalized to systems out of equilibrium within the Keldysh framework. A discretization scheme for the numerical treatment is discussed and first results are presented.
Diese Arbeit ist neuen numerischen Ansatzen fur die Behandlung von stark korrelierten Systemen gewidmet. Die Methode der dualen Fermionen wird in ihrem Bedeutungsrahmen erweitert, der nicht auf die Behandlung von korrelierten Gittermodellen begrenzt sein muss. Anhand von drei Problemstellungen wird gezeigt, dass die duale Storungstheorie
ein Formalismus ist, der es erlaubt eine Storungsentwicklung um ein exakt losbares Bezugssystem zu formulieren, welches fur die Untersuchung des vorliegenden physikalischen Problems optimiert wurde. Die drei Beispiele sind:
-Das Superperturbations Verfahren zur Losung von quantenmechanischen Storstellenproblemen. Hierbei wird eine Naherung fur eine Storstelle in einem Bad mit kontinuierlichem Energiespektrum mit Hilfe eines Bades endlicher Grose konstruiert, welches dann durch exakte Diagonalisierung gelost werden kann. Danach werden mehrere exakte Grenzfalle der Theorie erortert und eine Methode zur direkten Berechnung der Zustandsdichte auf der reellen Achse vorgestellt. Die Bedeutung des Referenzsystems wird im Kontext des Kondo Problems analysiert und eine Anwendung der Methode als Losungsverfahren fur die dynamische Molekularfeldtheorie diskutiert. Am Ende des Kapitels wird ein Renormierungsverfahren eingefuhrt, das Nicht-Kausalitatsprobleme, die bei tiefen Temperaturen auftreten
konnen, behebt.
-Die Variations-Gitter Naherung (VLA). VLA ist eine Variante des klassischen Ansatzes dualer Fermionen, welche auch exakte Diagonalisierung zum Losen des Storstellenproblems einsetzt. Mit Hilfe dieser Methode wurde der Mott Ubergang analysiert und mit den Ergebnissen fruherer CDMFT Untersuchungen verglichen. Um die Pseudo-Bandlucke im metallischen Regime zu untersuchen, wurde eine analytische Fortsetzung mit Hilfe von Pade auf die reelle Achse durchgefuhrt.
-Das Superperturbations Verfahren zur Losung von quantenmechanischen Storstellenproblemen im Nichtgleichgewicht. Am Ende der Arbeit wird der Ansatz der dualen Fermionen auf Nichtgleichgewichts Systeme verallgemeinert. Dies wird mit Hilfe der Keldysh Theorie bewerkstelligt. Ein Schema zur numerischen Behandlung der auftretenden Grosen wird eingefuhrt und erste Ergebnisse werden prasentiert.
Das universelle Verhalten von Störstellen mit stark korrelierten Elektronen in einem Metall wird bewiesen. In solchen Systemen wechselwirken die lokalen, stark korrelierten Elektronen der Störstelle mit den niederenergetischen Teilchen-Loch-Anregungen des Metalls und bilden einen komplizierten Vielteilchen-Grundzustand. Alle Versuche, diesen Grundzustand, die elementaren Anregungen und die Energieskalen des universellen Verhaltens mit den sonst üblichen störungstheoretischen Methoden zu berechnen, sind gescheitert. In einigen Spezialfällen gelingt mit Hilfe des Bethe-Ansatzes oder der numerischen Renormierungsgruppe eine Bestimmung der Thermodynamik eines Modellsystems, das aber nicht direkt mit dem ursprünglichen System in Verbindung gebracht werden kann. Daher stellt sich die Frage, wie man das universelle Verhalten von solchen Systemen systematisch beschreiben kann. Die zentralen Aussagen dieser Dissertation lauten: 1. Die Energieskalen eines Systems mit Störstellen lassen sich mit Hilfe einer Diagrammtechnik exakt berechnen. 2. Der Störstellen-Anteil jeder Observablen skaliert im universellen Limes mit der gleichen Energie. 3. Allein die Diagrammstruktur liefert ein Kriterium dafür, wann eine Näherung das universelle Verhalten bewahrt. Die hier benutzte Diagrammtechnik für Störstellen in Metallen wird neu und vereinfacht hergeleitet. Die Zusammenfassung der Diagramme in Klassen von Skelettdiagrammen führt auf ein Variationsprinzip für ein erzeugendes Funktional. Der Störstellen-Anteil der jeweiligen Observablen ergibt sich am Sattelpunkt des Funktionals bezüglich der Variation nach den ionischen Propagatoren. Diese Methode stammt von Luttinger und Ward. In dieser Dissertation wird die Information benutzt, wie die Skelettdiagramme strukturiert sind. Der entscheidende Punkt ist, dass man die Parameter-Abhängigkeit der Propagatoren im erzeugenden Funktional am Sattelpunkt ignorieren kann: Sie wird nur durch die Struktur der Skelettdiagramme bestimmt. Die Skelettdiagramme können so allein aufgrund ihrer Struktur nach der inversen Bandbreite klassifiziert werden. Nur eine als relevant bezeichnete Mindestmenge der Skelettdiagramme bestimmt die exakten Energieskalen des Systems, ohne das Modell vorher gelöst zu haben. Dies ergibt die erste Aussage. Eine Observable ergibt sich stets als Antwort des Systems auf ein entsprechendes äusseres Feld. Es wurde gezeigt, dass es nicht von der Observablen abhängt, welche Skelettdiagramme relevant sind. So kann man zeigen, dass der Störstellen-Anteil jeder Observablen mit der gleichen Energieskala skaliert. Dies ergibt die zweite Aussage. Die relevanten Skelettdiagramme beschreiben damit das universelle Verhalten der Störstelle und garantieren eine systematische Näherung für die Thermodynamik und die Dynamik der Störstelle. Berücksichtigt man noch weitere Skelettdiagramme, so verhalten sich die damit berechneten Störstellen-Anteile von Observablen genau dann universell, wenn ganze Familien von Skelettdiagrammen mitgenommen werden. Diese Skelettdiagramme ändern nichts an der Energieskala. Dies ergibt die dritte Aussage. Für das Anderson-Modell Störstelle in einem Metall ergeben die relevanten Skelettdiagramme gerade die sogenannte non-crossing-approximation (NCA). Daher beschreibt die NCA das universelle Verhalten des Anderson-Modells qualitativ richtig. Skelettdiagramme höherer Ordnung ändern das Bild nicht qualitativ. Bisher war es unerklärlich, warum die NCA mit den Resultaten der numerischen Renormierungsgruppe so gut übereinstimmt. Die Erklärung findet sich im exakten Skalierungsverhalten der NCA, das hier gezeigt wurde. Um das Verfahren zu testen, haben wir für das Anderson-Modell im magnetischen Limes das crossover untersucht. Für hohe Temperaturen oder Magnetfelder verhält sich das magnetische Moment der Störstelle asymptotisch frei, während es für tiefe Temperaturen durch niederenergetische Teilchen-Loch-Anregungen des Fermi-Sees abgeschirmt wird. Dieses crossover vom perturbativen Hochtemperatur- zum nichtperturbativen Niedertemperaturbereich wird durch die Wilson-Zahl charakterisiert. Hier wird die Wilson-Zahl zum ersten Mal mit einer Diagrammtechnik (NCA) berechnet. Das Ergebnis stimmt im Rahmen der Näherung mit dem als exakt postulierten Resultat überein. Um das universelle Verhalten anderer Observablen zu demonstrieren, wurde sodann für das Anderson-Modell zum ersten Mal explizit gezeigt, dass das Einteilchen-Anregungsspektrum - und damit die Abrikosov-Suhl-Resonanz - richtig skaliert, wenn man es mit Hilfe der NCA berechnet. Die vorgestellte Methode ermöglicht es auch, für ein System mit Störstellen die Qualität von Näherungen zu beurteilen, ohne sie zuvor explizit lösen zu müssen.
Disorder is ubiquitous in real materials and influences the physical properties like the conductivity to varying degrees. If electron-electron interactions are strong, theoretical and numerical treatment of these systems becomes challenging. In this thesis a numerical approach is developed to address these systems, treating both interactions and disorder on equal footing. The approach is based on the dual fermion approach for interacting systems developed by Rubtsov et al. Terletska et al. applied the ideas of the dual fermion approach to disordered non-interacting systems. In this approach, the replica trick is used to integrate out the disorder in favor of an effective electron-electron interaction. We extended the approach from Terletska et al. to treat disordered interacting systems. Dual Fermions allow to take into account non-local fluctuations by means of a perturbative expansion around an impurity problem. The impurity reference system is determined self-consistently, analogously to the dynamical mean-field theory. The perturbative expansion is expected to yield good results for small and large values of interaction strength and disorder. A priori, it is not clear what to expect for intermediate values, but experience shows that oftentimes good results are obtained for this region. An advantage of the dual fermion approach is that there is no sign-problem for a single orbital model if quantum Monte Carlo is used to solve the interacting reference system. Additionally, perturbation theory is usually numerically much cheaper than fully solving an interacting lattice or cluster problem. Thus, the dual fermion approach allows to address regions of parameter space that are not accessible to lattice quantum Monte Carlo calculations or cluster extension of dynamical mean-field theory. Cluster extensions of the dynamical mean-field theory are for example the dynamical cluster approximation or the cellular dynamical mean-field theory. The new approach is benchmarked with respect to the Anderson-Falicov-Kimball model. The Anderson-Hubbard model is the main application. For both models, the algorithm is tested in one dimension for the single particle Green function and compared to the dynamical cluster approximation to estimate the quality of the results. The Anderson-Falicov-Kimball model is studied further in two dimensions and the phase diagram on the disorder-interaction plane is calculated from both the single particle Green function and the dc conductivity. For the Anderson-Hubbard model, the antiferromagnetic phase transition, the Mott transition and the Anderson transition are investigated in three dimensions. The dynamical mean-field theory results are qualitatively confirmed for the most part. Quantitative corrections are in agreement with dynamical cluster approximation results, thus confirming the validity of the results. We found a qualitative difference between the dual fermion approach and dynamical mean-field theory for the temperature dependence of the hysteresis of the double occupancy. The dual fermion result shows a decreasing lower critical interaction strength for decreasing temperature, which is in contrast with the dynamical mean-field result that shows an increase of the lower critical interaction strength. This behavior happens for small temperatures that are not accessible using for example the dynamical cluster approximation, thus highlighting the usefulness of the dual fermion approach. We found this behavior for all values of the disorder that we considered.
In dieser Arbeit werden drei Möglichkeiten äußerer Einflüsse auf wellenmechanische Systeme analysiert. In allen drei Fällen nutze ich Mikrowellensysteme, um quantenmechanische Systeme zu simulieren. Zuerst werden Zerfallsraten von Wellenfunktionen, die in sogenannten regulären Inseln von Billard-Systemen konzentriert sind, untersucht. Danach wird der Einfluss von offenen Zerfallskanälen auf den Transport durch chaotische Wellensysteme charakterisiert. Das letzte Thema ist ein zeitlich veränderliches Mikrowellen-System. Im ersten Kapitel wird der Übergang einer Wellenfunktion eines klassisch isolierten Bereichs des korrespondierenden Phasenraums zu einem anderen analysiert. Das Hauptaugenmerk liegt auf dem Einfluss von zusätzlichen Zuständen des ursprünglichen Phasenraumbereichs. Es wird gezeigt, dass diese Zustände zu einer Steigerung der Zerfallsrate führen können. Die Zerfallsraten werden indirekt über Absorption gemessen, was zu einem Anstieg der entsprechenden Resonanzbreiten führt. Zusätzlich zu dem sonst üblichen modenabhängigem Tunnelverhalten, welches typischerweise in numerischen Berechnungen genutzt wird, ist eine parametrische Änderung des Systems durchgeführt worden. Dadurch wurde der Nachweis des Effekts zusätzlich untermauert. Die experimentelle und numerische Bestimmung von Kanal-Korrelationen sind Gegenstand des zweiten Kapitels. Nach der Definition der Korrelationsfunktion wird das experimentelle Modellsystem vorgestellt. Die Ergebnisse des Experiments und der sie beschreibenden Numerik zeigen, dass die Korrelationsfunktionen bei der Beschreibung der allgemeinen Leitwertfluktuationen nicht vernachlässigbar sind. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Realisierung eines periodisch angetriebenen Mikrowellen-Systems. Der prinzipielle Aufbau ist ein Schwingkreis mit einer zeitlich veränderbaren Kapazität. Analysiert werden die Eigenschaften des Systems, wie die Seitenbandstrukturen für verschiedene Treibungssignale, sowohl experimentell, als auch theoretisch und numerisch. Dies ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Systems, in welchem ein großer Teil der Resonanzen durch einen äußeren Parameter verändert werden kann. Die vollständige Beschreibung einer einzelnen getriebenen Resonanz wird vorgestellt und die nächsten Schritte zur Realisierung von zeitabhängig getriebenen wellemechanischen Systemen werden gezeigt.
Disorder is ubiquitous in real materials and influences the physical properties like the conductivity to varying degrees. \nIf electron-electron interactions are strong, theoretical and numerical treatment of these systems becomes challenging. In this thesis a numerical approach is developed to address these systems, \ntreating both interactions and disorder on equal footing. \nThe approach is based on the dual fermion approach for interacting systems developed by Rubtsov et al. \nTerletska et al. applied the ideas of the dual fermion approach to disordered non-interacting systems. In this approach, the replica trick is used to integrate out the disorder in favor of an effective electron-electron interaction. \nWe extended the approach from Terletska et al. to treat disordered interacting systems. \n \nDual Fermions allow to take into account non-local fluctuations by means of a perturbative expansion around an impurity problem. The impurity reference system is determined self-consistently, analogously to the dynamical mean-field \ntheory. \nThe perturbative expansion is expected to yield good results for small and large values of interaction strength and disorder. A priori, it is not clear what to expect for intermediate values, \nbut experience shows that oftentimes good results are obtained for this region. \n \nAn advantage of the dual fermion approach is that there is no sign-problem for a single orbital model if quantum Monte Carlo is used to solve the interacting reference system. \nAdditionally, perturbation theory is usually numerically much cheaper than fully solving an interacting lattice or cluster problem. \nThus, the dual fermion approach allows to address regions of parameter space that are not accessible to lattice quantum Monte Carlo calculations or cluster extension of dynamical mean-field theory. \nCluster extensions of the dynamical mean-field theory are for example the dynamical cluster approximation or the cellular dynamical mean-field theory. \n \nThe new approach is benchmarked with respect to the Anderson-Falicov-Kimball model. The Anderson-Hubbard model is the main application. \nFor both models, the algorithm is tested in one dimension for the single particle Green function and compared to the dynamical cluster approximation to estimate the quality of the results. \nThe Anderson-Falicov-Kimball model is studied further in two dimensions and the phase diagram on the disorder-interaction plane is calculated from both the single particle Green function and the dc conductivity. \n \nFor the Anderson-Hubbard model, the antiferromagnetic phase transition, the Mott transition and the Anderson transition are investigated in three dimensions. The dynamical mean-field theory results are \nqualitatively confirmed for the most part. Quantitative corrections are in agreement with dynamical cluster approximation results, thus confirming the validity of the results. \nWe found a qualitative difference between the dual fermion approach and dynamical mean-field theory for the temperature dependence of the hysteresis of the double occupancy. The dual fermion result \nshows a decreasing lower critical interaction strength for decreasing temperature, which is in contrast with the dynamical mean-field result that shows an increase of the lower critical interaction strength. \nThis behavior happens for small temperatures that are not accessible using for example the dynamical cluster approximation, thus highlighting the usefulness of the dual fermion approach. \nWe found this behavior for all values of the disorder that we considered.
Abstract We present a generalization of the recently developed dual‐fermion approach introduced for correlated lattices to non‐equilibrium problems. In its local limit, the approach has been used to devise an efficient impurity solver, the superperturbation solver for the Anderson impurity model (AIM). Here we show that the general dual perturbation theory can be formulated on the Keldysh contour. Starting from a reference Hamiltonian system, in which the time‐dependent solution is found by exact diagonalization, we make a dual perturbation expansion in order to account for the relaxation effects from the fermionic bath. Simple test results for closed as well as open quantum systems in a fermionic bath are presented.
Diese Thesis befasst sich mit dem Problem korrelierter Elektronensysteme in realen Materialien. Ausgangspunkt hierbei ist die quantenmechanische Beschreibung dieser Systeme im Rahmen der sogenannten Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie, welche die Elektronen der Kristallsysteme als effektiv nicht-wechselwirkende Teilchen beschreibt. Während diese Modellierung im Falle vieler Materialklassen erfolgreich ist, unterscheiden sich die korrelierten Elektronensysteme dadurch, dass der kollektive Charakter der Elektronendynamik nicht zu vernachlässigen ist. Um diese Korrelationseffekte genauer zu untersuchen, verwenden wir in dieser Arbeit das Hubbard-Modell, welches mit der projektiven Wannierfunktionsmethode aus der Kohn-Scham Dichtefunktionaltheorie konstruiert werden kann. Das Hubbard-Modell umfasst hierbei nur die lokale Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf einem Gitter. Auch wenn das Modell augenscheinlich sehr simpel ist, existieren exakte Lösungen nur in bestimmten Grenzfällen. Dies macht die Entwicklung approximativer Ansätze erforderlich, wobei die Weiterentwicklung der sogenannten Two-Particle Self-Consistent Methode (TPSC) eine zentrale Rolle dieser Arbeit einnimmt. Bei TPSC handelt es sich um eine Vielteilchenmethode, die in der Sprache funktionaler Ableitungen und sogenannter conserving approximations hergeleitet werden kann. Der zentrale Gedanke dabei ist, den effektiven Wechselwirkungsvertex als statisch und lokal zu approximieren. Dies wiederum erlaubt die Bewegungsgleichung des Systems erheblich zu vereinfachen, sodass eine numerische approximative Lösung des Hubbard-Modells möglich wird. Vorsetzung hierbei ist nur, dass sich das System in der normalleitenden Phase befindet und die bei Phasenübergängen entstehenden Fluktuationen nicht zu groß sind. Während diese Methode ursprünglich von Y. M. Vilk und A.-M. Tremblay für das Ein-Orbital Hubbard-Modell entwickelt wurde, stellen wir in dieser Arbeit eine Erweiterung auf Viel-Orbital-Systeme vor. Im Falle mehrerer Orbitale treten in der TPSC-Herleitung einzelne Komplikationen auf, die mit weiteren Approximationen behandelt werden müssen. Diese werden anhand eines einfachen Zwei-Orbital Modell-Systems diskutiert und die TPSC-Ergebnisse werden darüber hinaus mit den Ergebnissen der etablierten dynamischen Molekularfeldnährung verglichen. In diesem Zusammenhang werden auch mögliche zukünftige Erweiterungen bzw. Verbesserungen von TPSC diskutiert. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Anwendung von TPSC auf reale Materialien. In diesem Zusammenhang werden in dieser Arbeit die supraleitenden Eigenschaften der organischen K-(ET)2X Systeme untersucht. Hierbei lassen die TPSC-Resultate darauf schließen, dass das populäre Dimer-Modell, welches zur Beschreibung dieser Materialien herangezogen wird, nicht genügt um die experimentell bestimmten kritischen Temperaturen zu erklären und dass das komplexere Molekülmodell weitere exotische supraleitende Lösungen zulässt. Schließlich untersuchen wir außerdem die elektronischen Eigenschaften des eisenbasierten Supraleiters LiFeAs und diskutieren inwieweit nicht-lokale Korrelationseffekte, welche durch TPSC aufgelöst werden können, die experimentellen Daten reproduzieren.