We present some characteristic properties of the ground state of a two-level unit linearly coupled to a bosonic field, exactly deduced without previously solving the eigenvalue problem for the physical system. Such properties are valid in the whole range of the characteristic parameters appearing in the Hamiltonian modelling this system. Our treatment is based on operatorial methods which combine symmetry considerations with some general peculiarities of the lowest energy state. In particular we present rigorous conclusions concerning the expectation value of the two-level unit energy and the mean value of the interaction energy for arbitrary strenght of the coupling constant. The relevance of these rigorous results in connection with an approximate variational determination of the ground state of the system is evidenced.
We present some characteristic properties of the ground state of a two-level system linearly coupled to a phonon field. Such properties are valid over the whole range of the parameters appearing in the Hamiltonian of the system. The knowledge of these exact results provides a physical basis for an accurate variational determination of the ground state. A physical picture of the self-trapping transition is discussed in terms of particle-field correlations. Our treatment is based on operator methods combining symmetry considerations with some general properties of the lowest energy state.
The structure of the ground state of the Hamiltonian of a two-level system linearly coupled to a single mode of a radiation Bose-like field is studied for arbitrary values of the coupling constant including the counter-rotating terms. First of all the Hamiltonian is canonically transformed, introducing a new set of unitary operators in such a way that the eigenstates of the transformed Hamiltonian are exactly factorizable into eigenstates of the new pseudospin (1/2) and of the new field. The ground state is then found by a variational procedure. The validity of the results obtained by this approach is shown introducing a suitable class of canonical transformations by which it is possible to see that this variational ground state differs from the exact one only for perturbative contributions for which we give explicit expressions. Furthermore, we present investigations on the properties of this system in its ground state based on the calculation of the covariance of suitable pairs of operators. In this way we succeed in obtaining, among other things, a physically transparent meaning for the mathematical variational condition which determines the ground state.
È stato studiato un problema di scattering tra due particelle che interagiscono tramite un potenziale puntuale in tre dimensioni nel limite in cui una particella ha massa molto minore dell’altra. I risultati ottenuti hanno permesso di stimare gli effetti di decoerenza dinamicamente indotta su uno stato entangled della particella “pesante” che si ottengono quando la particella “leggera” viene utilizzata come misuratore per la posizione della particella “pesante”. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte è stato modellizzato un sistema in cui una particella quantistica (senza spin) interagisce con uno spin posto in un punto fissato dello spazio mediante un potenziale singolare dipendente dallo spin. È stata discussa la caratterizzazione di tutte le possibili hamiltoniane di interazione ottenibili come perturbazioni puntuali dell’hamiltoniana libera. In alcuni casi particolari è stato possibile ottenere espressioni esplicite per il propagatore. La conoscenza della dinamica esatta del sistema ha permesso di valutare esplicitamente l’attenuazione dei termini di interferenza quantistica in uno stato entangled dello spin, dovuta all’interazione con la particella. È stato studiato un problema di interazione in una dimensione di un numero finito e infinito di sorgenti con il campo acustico. Lo scopo era quello di dimostrare che, in assenza di meccanismi di riflessione delle onde acustiche, il moto delle sorgenti risulta smorzato a causa dell’interazione con il proprio campo. Utilizzando la teoria delle estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici è stata realizzata una formulazione del tutto nuova di tale problema. Tale formulazione ha permesso di ottenere risultati molto generali sullo smorzamento delle oscillazioni delle sorgenti.
\begin{abstract}La realizzazione di processori quantistici operanti a temperatura ambiente è ostacolata dalla decoerenza termica indotta dall'interazione con il bagno fononico del reticolo. In questo lavoro proponiamo un'architettura ibrida coerente che accoppia qubit di spin associati a difetti puntiformi in semiconduttori a banda larga (come i centri azoto-lacuna
NV− nel diamante o divacanze nel carburo di silicio,
SiC) a un canale fononico topologico bidimensionale, mediato da un'interfaccia magnonica in granato di ferro e ittrio (YIG). Al fine di superare il limite fondamentale imposto dall'elevato numero di occupazione termica dei fononi acustici a
300 K (
nth≈2×103), introduciamo un regime di forte disaccordo spettrale (accoppiamento dispersivo). Tramite una trasformazione di Schrieffer-Wolff, dimostriamo che l'interazione coerente a lungo raggio tra i qubit remoti può essere mediata esclusivamente dallo scambio di fononi virtuali, sopprimendo l'influenza del rumore termico reale nel canale. Completano il design un protocollo di raffreddamento optomeccanico attivo (sideband cooling) del modo topologico e un sistema di compensazione dello strain locale a circuito chiuso pilotato da FPGA.\end{abstract} \begin{keyword}Qubit di spin \sep Fononica topologica \sep Accoppiamento dispersivo \sep Sistemi quantistici ibridi \sep Temperatura ambiente\end{keyword} \end{frontmatter} \section{Introduzione}La scalabilità delle attuali piattaforme di calcolo quantistico è vincolata alla necessità di refrigerazione criogenica criostatica a temperature nell'ordine dei millikelvin. I qubit di spin associati a difetti di bulk in semiconduttori ad ampia banda proibita, in particolare i centri azoto-lacuna (
NV−) nel diamante e le divacanze nel carburo di silicio (
SiC), offrono tempi di coerenza eccezionalmente lunghi anche a temperatura ambiente grazie alla schermatura indotta dalla simmetria locale del reticolo ospitante. Tuttavia, l'entanglement coerente a lungo raggio tra spin remoti rimane una sfida tecnologica aperta. I canali acustici (fononici) sono stati recentemente proposti come bus quantistici ideali grazie alla bassa velocità di propagazione del suono e alla forte interazione strain-spin. Ciononostante, a
T=300 K l'energia termica del reticolo supera di diversi ordini di grandezza l'energia dei fononi operanti nella banda dei giga-hertz (GHz). Il canale acustico è pertanto immerso in un bagno termico classico regolato dalla statistica di Bose-Einstein, il quale induce processi di rilassamento spin-reticolo (
T1) e defasamento puro (
T2). In questo preprint presentiamo un'architettura ibrida che risolve formalmente tale limitazione. Sfruttando le proprietà di trasporto unidirezionale prive di backscattering dei cristalli fononici topologici, l'interfaccia magnonica ad alta frequenza e un regime accoppiamento dispersivo, dimostriamo l'esistenza di un canale di comunicazione quantistica protetto sia dal disordine strutturale sia dalle fluttuazioni termiche locali. \section{Modello Fisico ed Hamiltoniana del Sistema}Si considerino due qubit di spin elettronico
S=1 (centri
NV−) distanti, indicati con gli indici
i∈{1,2}, operanti nello spazio dei sottolivelli
ms={0,±1}. L'Hamiltoniana fondamentale del singolo spin in presenza di un campo magnetico esterno
B lungo l'asse di quantizzazione
z è definita da:\begin{equation}H_{s,i} = D S_{z,i}^2 + \gamma_e B_z S_{z,i}\end{equation}dove
D≈2.87 GHz rappresenta lo zero-field splitting e
γe è il rapporto giromagnetico dell'elettrone. L'accoppiamento tra lo spin e il reticolo acustico avviene tramite un'interfaccia magnonica costituita da un film sottile di granato di ferro e ittrio (YIG). I magnoni del YIG, descritti dagli operatori di creazione e annichilazione
m†,m, mediano l'interazione grazie alla forte costante di accoppiamento magnetoelastico. Il canale di trasmissione è costituito da una guida d'onda fononica topologica unidirezionale, i cui modi acustici di bordo sono descritti dagli operatori
ak†,ak con relazione di dispersione
ωk. L'Hamiltoniana totale del sistema ibrido spin-magnone-fonone è espressa come:\begin{equation}H = H_0 + H_{\text{int}}\end{equation}dove l'Hamiltoniana libera
H0 è:\begin{equation}H_0 = \sum_{i=1}^2 \hbar \omega_{s,i} \sigma_{z,i} + \hbar \omega_m m^\dagger m + \sum_k \hbar \omega_k a_k^\dagger a_k\end{equation}Qui abbiamo proiettato lo spin su un sistema a due livelli efficace (qubit) con frequenza di transizione
ωs,i e operatori di Pauli
σz,i,σ±,i. L'Hamiltoniana d'interazione nell'approssimazione d'onda rotante (Rotating Wave Approximation, RWA) assume la forma:\begin{align}H_{\text{int}} = & \sum_{i} \hbar g_{sm,i} (\sigma_{+,i} m + \sigma_{-,i} m^\dagger) \nonumber \\& + \hbar G_{mp} \sum_k (m^\dagger a_k e^{i k x_i} + m a_k^\dagger e^{-i k x_i})\end{align}dove
gsm rappresenta l'accoppiamento coerente spin-magnone e
Gmp indica la costante d'interazione magnetoelastica magnone-fonone. \section{Regime Dispersivo e Scambio di Fononi Virtuali}A temperatura ambiente (
T=300 K), il numero medio di occupazione termica fononica per un modo a frequenza
ωk≈3 GHz è dato da:\begin{equation}n_{\text{th}} = \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar \omega_k}{k_B T}\right) - 1} \approx 2080 \gg 1\end{equation}Per eliminare la decoerenza indotta da questo elevato numero di fononi reali nel bus, posizioniamo il sistema nel regime di forte disaccordo (accoppiamento dispersivo), tale per cui il disaccordo spettrale
Δi=∣ωs,i−ωk∣ soddisfi la condizione:\begin{equation}\Delta_i \gg g_{sm,i}, G_{mp}\end{equation} Al fine di estrarre l'Hamiltoniana efficace di interazione coerente, eseguiamo una trasformazione canonica di Schrieffer-Wolff
U=eS, con operatore generatore anti-hermitiano
S†=−S progettato per eliminare i termini di accoppiamento diretto al primo ordine in
g/Δ:\begin{equation}S = \sum_i \frac{g_{sm,i}}{\Delta_i} (\sigma_{+,i} m - \sigma_{-,i} m^\dagger) + \sum_k \frac{G_{mp}}{\Delta_k} (m^\dagger a_k - m a_k^\dagger)\end{equation} Espandendo l'Hamiltoniana trasformata
Heff=e−SHeS al secondo ordine rispetto al parametro infinitesimo di accoppiamento perturbativo, otteniamo:\begin{equation}H_{\text{eff}} \approx H_0 + \frac{1}{2} [H_{\text{int}}, S]\end{equation} Sviluppando il commutatore per la componente relativa all'interazione mutua tra i qubit di spin remoti (mediata dal canale fononico topologico coerente), l'Hamiltoniana efficace assume la forma di un modello di scambio di tipo XY:\begin{equation}H_{\text{eff}}^{\text{spin-spin}} = \sum_{i \neq j} \hbar J_{ij} (\sigma_{+,i} \sigma_{-,j} + \sigma_{-,i} \sigma_{+,j})\end{equation}dove la costante di accoppiamento efficace a lungo raggio
Jij è analiticamente definita da:\begin{equation}J_{ij} \approx \frac{g_{sm,i} g_{sm,j} G_{mp}^2}{\Delta_i \Delta_j \Delta_p}\end{equation} Poiché
Heffspin-spin non contiene operatori lineari del campo fononico (
ak,ak†), lo scambio di informazioni quantistiche tra lo spin
i e lo spin
j avviene tramite la polarizzazione virtuale del canale topologico. Di conseguenza, il processo di entanglement risulta formalmente disaccoppiato dall'occupazione termica reale
nth, preservando la fedeltà del gate quantistico anche in presenza di un bagno fononico classico altamente popolato. \section{Protezione Topologica ed Ingegneria di Floquet}Sebbene il regime dispersivo limiti l'impatto dei fononi termici risonanti nel bus, lo spin è soggetto a processi di rilassamento termico locale dovuti ai fononi di bulk del cristallo. Per mitigare tale canale di decoerenza residuo, introduciamo due strategie di controllo dinamico e termodinamico. \subsection{Sideband Cooling Elettro-Acustico}Il modo fononico topologico localizzato
ωp è accoppiato parametricamente a un micro-risonatore optomeccanico integrato sul chip. Applicando un pompaggio laser continuo disaccordato verso il rosso (red-sideband), descritto dall'Hamiltoniana di Floquet a frequenza di modulazione
Ωdrive=ωo−ωp (con
ωo frequenza ottica di cavità), si attiva la conversione parametrica dei fononi acustici in fotoni, i quali decadono rapidamente fuori dalla cavità ottica. Tale processo di raffreddamento attivo riduce il numero di occupazione efficace del canale topologico al limite quantistico fondamentale:\begin{equation}n_{\text{eff}} \ll 1\end{equation}mantenendo al contempo la temperatura macroscopica del cristallo a
300 K. \subsection{Dynamical Decoupling}Per schermare lo spin dai fononi termici fluttuanti del bulk non confinati, si applica una sequenza periodica di impulsi di dynamical decoupling di tipo CPMG o XY8. L'Hamiltoniana di interazione dello spin con il rumore di fase del bagno termico è descritta da:\begin{equation}H_{\text{noise}} = \hbar \beta(t) \sigma_z\end{equation}dove
β(t) rappresenta una variabile stocastica gaussiana caratterizzata da una densità spettrale di potenza
S(ω)∝ω−α. La modulazione di Floquet dello spin tramite impulsi
π istantanei a intervalli temporali
τ agisce come un filtro spettrale con funzione di filtro
F(ωτ), modificando il tempo di dephasing efficace
T2 secondo la relazione:\begin{equation}\frac{1}{T_2(N\tau)} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} S(\omega) \frac{F(\omega \tau)}{\omega^2} d\omega\end{equation}Progettando la frequenza di ripetizione degli impulsi in modo che il primo lobo di
F(ωτ) risieda oltre la frequenza di taglio superiore dello spettro fononico termico del bulk, la decoerenza locale viene soppressa di diversi ordini di grandezza. \section{Compensazione dello Strain in Tempo Reale}A causa