Se presentan las ideas fundamentales del Método de Cuantización Geométrica y su aplicación a la formulación de la dinámica cuántica de un sistema físico. En primer lugar, se presenta la formulación geométrica de la mecánica clásica no-relativista de una partícula, obteniendo así una formulación independiente de las coordenadas. Con base en lo anterior, se presenta el Método de Cuantización Geométrica, obteniéndose entonces una formulación geométrica de la dinámica cuántica no relativista de una partícula, independiente de las coordenadas.
Se presentan las ideas fundamentales del Método de Cuantización Geométrica y su aplicación a la formulación de la dinámica cuántica de un sistema físico. En primer lugar, se presenta la formulación geométrica de la mecánica clásica no-relativista de una partícula, obteniendo así una formulación independiente de las coordenadas. Con base en lo anterior, se presenta el Método de Cuantización Geométrica, obteniéndose entonces una formulación geométrica de la dinámica cuántica no relativista de una partícula, independiente de las coordenadas.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
El desarrollo de las ideas basicas de la Mecanica Cuantica comenzo a principios del siglo pasado, como consecuencia de una serie de descubrimientos y observaciones que pusieron en evidencia las graves dificultades de la Fisica Clasica para interpretar las propiedades del atomo y sus partes constituyentes asi como las propiedades de la radiacion electromagnetica y su interaccion con la materia. Esos descubrimientos revolucionaron las nociones hasta entonces sustentadas por los fisicos y plantearon una asombrosa cantidad de enigmas, cuya solucion obligo a realizar un profundo replanteo de los fundamentos y conceptos basicos de la Fisica.
El estudio de la Mecanica Cuantica es importante por varias razones. En primer lugar porque pone de manifiesto la metodologia esencial de la Fisica. En segundo lugar porque tuvo un exito formidable ya que permitio dar respuestas validas a casi todos los problemas en los cuales se la ha aplicado. En tercer lugar porque es la herramienta teorica basica para numerosas disciplinas de gran importancia, como la Quimica Fisica, la Fisica Molecular, Atomica y Nuclear, la Fisica de la Materia Condensada y la Fisica de Particulas.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
La Teoria dimensional, fundamento del Analisis Dimensional, desarrollada hasta el presente por Gonzalez de Posada se refiere a las teorias fisicas clasicas que tienen una estructura matematica comun. No existen antecedentes de generalizacion de estas disciplinas a la Mecanica cuantica o de creacion de unas nuevas disciplinas dimensionales. Se construye, por primera vez, una Teoria dimensional de la Mecanica cuantica no relativista que se denomina Teoria dimensional cuantica no relativista. Se catalogan y caracterizan, en primer lugar, los constructos magnitudinales de la Mecanica cuantica no relativista, y, en segundo lugar, los constructos legaliformes (hipotesis magnitudinales principios ecuacionales, leyes relacionales). Se describen con estructura uniforme las leyes relacionales para etableceer el orden de la teoria y se deduce la dimension de los diferentes constructos magnitudinales. La Mecanica cuantica no relativista esta integrada por dos teorias: la Mecanica matricial de Heisenberg y la Mecanica ondulatoria de Schrodinger. Se deduce que ambas teorias son de orden 5 y se recomiendan como bases usuales para ambas la B={E, h, L, q, S}. Pero se insiste en que constituyen dos teorias diferentes, dado que, por ejemplo, la funcion de onda tiene distinta dimension en cada una de ellas. Se hace una introduccion complementaria de Analisis dimensional cuantico resolviendo los problemas de determinacion de la energia y de la funcion de onda en los casos del pozo unidireccional de paredes infinitas y del oscilador armonico unidireccional.
En esta Tesis doctoral abordamos el estudio de la Dinámica Cuántica, concentrándonos en el subtema de los sistemas híbridos cuántico-clásicos, prestando especial atención al problema del límite clásico de este tipo de sistemas. El objetivo es esclarecer la transición al mundo clásico desde un escenario semicuántico. En los modelos semicuánticos examinados interactúan grados de libertad cuánticos y clásicos. Para este análisis, empleamos herramientas dinámicas y cuantificadores de la Teoría de la Información. En primer lugar, presentamos las ecuaciones dinámicas que rigen la evolución de los sistemas semicuánticos tanto en el régimen conservativo como disipativo. Identificamos un invariante de movimiento relacionado con el Principio de Incerteza. Dicho invariante surge de manera natural de las ecuaciones dinámicas de los sistemas estudiados y sirve como variable principal para analizar la convergencia al límite clásico correspondiente. Este primer apartado requirió el uso de herramientas dinámicas como las secciones de Poincaré para verificar la geometría subyacente a la emergencia del mundo clásico a través del invariante de movimiento. Esta herramienta nos permitió identificar tres zonas principales del proceso de convergencia del sistema semicuántico a su contraparte clásica, las cuales son la zona cuasicuántica, la zona de transición y la zona del límite clásico. La zona de transición la relacionamos con los sistemas mesoscópicos. Adicionalmente, con las mismas secciones de Poincaré, logramos constatar la conservación del Principio de Incerteza en el sistema semicuántico. En segundo lugar, introdujimos herramientas de la teoría de la información para caracterizar la estructura de las transiciones de fase dinámicas. Empleamos la entropía de Shannon y dos formulaciones de complejidad estadística: la complejidad de López-Ruiz–Mancini–Calbet (LMC) y la complejidad de Jensen–Shannon (JSC). Además, utilizamos la entropía de Tsallis como un cuantificador alternativo para asegurar la robustez de los resultados. Para extraer las distribuciones de probabilidad de las series temporales del sistema, aplicamos el método de permutación de Bandt-Pompe. Este enfoque permitió determinar las tres zonas del proceso de convergencia del sistema semicuántico a su contraparte clásica con una precisión que supera las limitaciones de las herramientas puramente dinámicas, que a menudo presentan límites borrosos en sistemas regulares. Además, el análisis basado en la primera y segunda derivada de las medidas entrópicas respecto a un parámetro adimensional que relaciona la energía total del sistema y el invariante de movimiento, nos permitió detectar puntos de inflexión y extremos locales que definen rigurosamente las delimitaciones de las zonas. Posteriormente, como tercer paso, estudiamos el límite clásico mediante un esquema de máxima entropía (Maxent). Identificamos que la clausura de la álgebra de Lie de los observables seleccionados es la condición estructural clave que garantiza la consistencia de la evolución y el éxito del procedimiento de límite clásico. Demostramos analíticamente que el operador de máxima entropía colapsa hacia un proyector de rango uno ("purificación") en el límite para una clase general de Hamiltonianos cuadráticos con acoplamiento. Es vital aclarar que este comportamiento no constituye decoherencia inducida por el entorno o reducción del estado por medición, sino que refleja una convergencia inducida por restricciones a nivel de los momentos estadísticos seleccionados. Este marco formaliza la noción del límite clásico como un proceso de tiempo finito y a nivel de momentos, diferenciándose claramente de los estudios numéricos previos. La contribución fundamental consiste en mostrar cómo las ecuaciones de movimiento clásicas no lineales emergen consistentemente dentro de un marco de operadores de máxima entropía bajo condiciones de clausura algebraica. Finalmente, aplicamos cuantificadores de información en un sistema complejo de gran impacto social: la propagación del COVID-19. Empleamos la entropía de permutación de Shannon, la complejidad de Jensen–Shannon y la información mutua para analizar series temporales de contagios y muertes a nivel global. A través del uso de ventanas deslizantes, pudimos capturar transiciones dinámicas y variaciones locales que permanecen ocultas en análisis basados en la serie completa. Uno de los hallazgos más relevantes fue la identificación de una heterogeneidad marcada en la mortalidad entre países, frente a una mayor homogeneidad en los patrones de contagio dentro de regiones geográficamente cercanas. Adicionalmente introdujimos un nuevo plano informacional: información mutua versus entropía para caracterizar la información compartida entre la evolución local de un país y la dinámica global de la pandemia. Esta herramienta permite identificar países fuertemente sincronizados con la tendencia mundial y aquellos que exhiben comportamientos independientes, ofreciendo una métrica dinámica para la toma de decisiones en salud pública.
En esta tesis desarrollamos metodos de teoria de campos para sistemas con una densidad
de materia cuantica no trivial. Esto requiere nuevas tecnicas que permitan comprender
lo que sucede cuando el vacio trivial de la teoria relativista se reemplaza por
un estado no-relativista.
La primera parte de la tesis se enfoca en obtener de manera sistematica la teoria
de campos no-relativista. Para esto, partimos de la teoria relativista y deducimos una
teoria efectiva valida para escalas de energia mucho menores que las masas de los campos.
Se estudia primero el caso bosonico, donde se obtiene una teoria no-relativista con
invariancia de escala tipo Lifshitz. A continuacion, se consideran sistemas fermionicos.
Desarrollamos un nuevo metodo, basado en el uso de proyectores de energia, que nos
permite obtener la teoria efectiva en D-dimensiones de espacio-tiempo. Como una aplicacion importante, se consideran los efectos de campos externos electromagneticos y
gravitatorios sobre teorias no-relativistas, y se determinan las interacciones que estos
producen.
La segunda parte de la tesis esta dedicada a sistemas fermionicos a densidad finita.
Primero nos enfocamos en el caso de fermiones libres, y luego discutimos teorias interactuantes.
En sistemas libres, generalizamos el metodo de los proyectores para incorporar
la densidad finita, y asi deducimos una teoria efectiva valida cerca de la superficie de
Fermi. Este formalismo reproduce la teoria de Landau de liquidos de Fermi.
Finalmente, nos enfocaremos en sistemas interactuantes. Con el objetivo de modelar
sistemas electronicos fuertemente correlacionados, como los superconductores de
altas temperaturas, estudiamos una superficie de Fermi acoplada a un boson critico.
Este boson aparece naturalmente en materia condensada como un parametro de orden;
en fisica de altas energias da lugar a un modelo efectivo de cromodinamica cuantica
a densidad finita. Analizamos las correcciones cuanticas a un lazo, que nos permiten
llegar a un non-Fermi liquid, similar a lo que se observa en puntos critico cuanticos.
A continuacion, discutimos los efectos de introducir una masa bosonica; esto nos permitira alejarnos del punto critico y estudiar otras regiones del diagrama de fases de la
teoria.