Das Mundspitzen über den stochastischen Zugang zur Quantenmechanik hat lange genug gedauert, jetzt muß gepfiffen werden. Gleichzeitig lenken wir die Betrachtung auf Mengen zufälliger Pfade. Dabei werden Pfade wie Punkte und Mengen wie Gebiete eines abstraktes Raumes behandelt. So wie man beschränkten Gebieten des ℝ n ein Volumen (das Lebesgue-Maß) zuordnet, soll ein Maß für geeignete Mengen von Pfaden (sog. Zylindermengen) erklärt werden. Es bildet die Grundlage für die Pfadintegrale der Quantenmechanik. Das Resultat, die Feynman-Kac-Formel, vernüpft die Schrödinger-Halbgruppe e−tH für den Energie-Operator H = −1/2△ + V mit einem Integral über Brownsche Pfade. Für diese Formel gibt es sowohl einen analytischen Beweis auf der Basis der Trotter-Produktformel [108] [152] als auch einen stochastischen Beweis [32] [33]. Wir skizzieren nur das analytische Argument.
Das Mundspitzen über den stochastischen Zugang zur Quantenmechanik hat lange genug gedauert, jetzt muß gepfiffen werden. Gleichzeitig lenken wir die Betrachtung auf Mengen zufälliger Pfade. Dabei werden Pfade wie Punkte und Mengen wie Gebiete eines abstraktes Raumes behandelt. So wie man beschränkten Gebieten des ℝ n ein Volumen (das Lebesgue-Maß) zuordnet, soll ein Maß für geeignete Mengen von Pfaden (sog. Zylindermengen) erklärt werden. Es bildet die Grundlage für die Pfadintegrale der Quantenmechanik. Das Resultat, die Feynman-Kac-Formel, vernüpft die Schrödinger-Halbgruppe e−tH für den Energie-Operator H = −1/2△ + V mit einem Integral über Brownsche Pfade. Für diese Formel gibt es sowohl einen analytischen Beweis auf der Basis der Trotter-Produktformel [108] [152] als auch einen stochastischen Beweis [32] [33]. Wir skizzieren nur das analytische Argument.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern
Selbst die Lösung der vergleichsweise einfachen zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung erfordert meist komplizierte mathematische Verfahren. Jedoch ist die Quantenmechanik die Theorie, die der experimentellen Realität am nächsten kommt. Daher müssen wir hier ihre Verfahren und Anwendungen kennenlernen, wenn wir überhaupt ein Verständnis der modernen Physik gewinnen wollen. Wir werden sehen, daß wir sogar mit wenig Mathematik den Gedanken folgen können, die zu den größten Leistungen der Quantenmechanik geführt haben.
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
Vom Ising-Modell, das man als eine gewisse Spezialisierung des allgemeinen Heisenberg-Modells auffassen kann, wird zunächst eine Ubersicht über den recht weiten Anwendungsbereich dieses Modells und über seine Lösungsmöglichkeiten gegeben. Das große Interesse, das diesem Modell entgegengebracht wird, beruht letztlich darauf, daß es das einzige realistische Vielteilchenmodell ist, das einen Phasenübergang zeigt und mit mathematischer Strenge gelöst werden kann. Wir berechnen die Zustandssumme des eindimensionalen Ising-Modells ohne äußeres Feld und zeigen, daß die spontane Magnetisierung nur für T = 0 von Null verschieden ist. Die Zustandssumme für den Fall, daß sich das System in einem äußeren Magnetfeld befindet, wird nach der Transfer-Matrix-Methode berechnet. Aus ihr werden einige wichtige thermodynamische Größen wie die freie Enthalpie, die temperaturund feldabhängige Magnetisierung, die isotherme magnetische Suszeptibilität, die Entropie und die spezifische Wärme abgeleitet und diskutiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen vollzieht das zweidimensionale Ising-Modell einen Phasenübergang zwischen paramagnetischer und ferromagnetischer Spinordnung bei einer endlichen Temperatur Tc. Die Existenz einer spontanen Mag-netisierung wird zunächst mit Hilfe des sog. „Peierls-Arguments“ bewiesen. Der Beweis gelingt auf der Basis von Abschätzungen mit einem Minimalaufwand an Mathematik. Die exakte Berechnung der freien Energie (ohne Feld) führt zu einem konkreten Resultat für die Übergangstemperatur Tc. Der Phasenübergang manifestiert sich in einer logarithmischen Singularität der spezifischen Wärme.