Mit Gl. (4.13) wurde die Darstellungsmatrix für die Drehung eines Vektors mit den Ortskoordinaten (x, y, z) vorgestellt, und in den Beispielen 4.6 bis 4.8 sahen wir, daß sie auch auf Funktionen anwendbar ist. Im folgenden wollen wir die Rotationsmatrix für spezielle Funktionen, die Eigenfunktionen des Drehimpulses, |JM› mit M = −J, −J + 1,…, J herleiten. (J steht hier stellvertretend für eine Spin-, Bahn- oder Gesamtdrehimpulsquantenzahl.) Dabei wird der wichtige Zusammenhang zwischen der Drehung dieser Funktionen und dem Bahndrehimpulsoperator hergestellt [143].
Mit Gl. (4.13) wurde die Darstellungsmatrix für die Drehung eines Vektors mit den Ortskoordinaten (x, y, z) vorgestellt, und in den Beispielen 4.6 bis 4.8 sahen wir, daß sie auch auf Funktionen anwendbar ist. Im folgenden wollen wir die Rotationsmatrix für spezielle Funktionen, die Eigenfunktionen des Drehimpulses, |JM› mit M = −J, −J + 1,…, J herleiten. (J steht hier stellvertretend für eine Spin-, Bahn- oder Gesamtdrehimpulsquantenzahl.) Dabei wird der wichtige Zusammenhang zwischen der Drehung dieser Funktionen und dem Bahndrehimpulsoperator hergestellt [143].
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Im Kapitel XVIII haben wir die Auswahlregeln für Azimutalquantenzahl, Spiegelungscharakter und Multiplettsystem abgeleitet, wie sie in einer Theorie, die den Spin unberücksichtigt läßt, gelten. Wenn man die Kräfte, die von den magnetischen Momenten der Elektronen herrühren, berücksichtigt, können diese Regeln nicht mehr als streng richtig angesehen werden, weil bei ihrer A bleitung die Voraussetzung gemacht worden ist, daß mit Ψ auch P R Ψ eine Eigenfunktion des Energieoperators zum Eigenwert von Ψ ist, da P R Ψ mit dem Zustand Ψ — bis auf eine Drehung — identisch ist.
Die Kombination eines optischen Resonators und einer Ionenfalle erlaubt QED-Versuche mit einzelnen oder wenigen Teilchen, die mit einer Mode des elektromagnetischen Feldes wechselwirken (Resonator-QED). Am Max-Planck-Institut für Quantenoptik werden seit 1997 Experimente mit einer linearen Paulfalle zur Speicherung von Kalziumionen durchgeführt. Dabei wurde eine ausgezeichnete Lokalisierung des Ions in der Mode eines UV-Resonators demonstriert, und mit einem IR-Resonator gelang die Realisierung einer deterministischen Einzelphotonenquelle. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde mit dem gleichen System die Langzeit-Stabilität der Kopplung zwischen Ion und elektromagnetischem Feld weiter untersucht. Sie ist eine wichtige Voraussetzung für den Einsatz der Einzelphotonenquelle in der Quanteninformationsverarbeitung. Dazu wurde die Resonatoremission eines einzelnen Ions über einen Zeitraum von 30 min gemessen und statistisch mit Hilfe der Allan-Varianz ausgewertet. Im verwendeten Aufbau war auf einer Zeitskala unterhalb von 30 Sekunden die Schwankung des Photonensignals allein durch die Photonenstatistik aufgrund endlicher Emissions- und Detektionseffizienz bestimmt, während sich erst oberhalb von 200 Sekunden eine geringe Drift des Systems bemerkbar machte. Ein weiterer entscheidender Parameter der Photonenquelle ist die Emissionswahrscheinlichkeit für Einzelphotonen, die für praktische Anwendungen möglichst hoch sein sollte. Es wurden in der Arbeit deshalb Untersuchungen und experimentelle Verbesserungen des Aufbaus vorgenommen, um Wege zur Erhöhung der Effizienz der Photonenquelle zu finden. Dabei spielen Resonatordämpfung und Kopplung zwischen Ion und Feld eine entscheidende Rolle. Um eine geringere Dämpfung des Resonatorfeldes zu erreichen, wurde ein Resonator mit kleinerer Transmissivität des Auskoppelspiegels aufgebaut. Der Austausch des Spiegels machte eine neue Halterung notwendig, da die größere Finesse eine höhere mechanische Stabilität erfordert. Gleichzeitig wurde ein neues Diodenlasersystem bei 920 nm entwickelt, das optisch auf einen Z-Resonator stabilisiert ist. Die Länge des Experimentalresonators wird mit diesem Laser nach dem Pound-Drever-Hall-Verfahren konstant gehalten. Um die Kopplung zwischen Ion und Resonatorfeld so weit zu erhöhen, daß sie zum bestimmenden Faktor für die Dynamik des Systems wird (starke Kopplung), muß der Abstand der Spiegel verringert werden. Allerdings haben experimentelle Untersuchungen und begleitende Berechnungen des Einflusses der dielektrischen Spiegelsubstrate auf das Speicherfeld der Falle mit einem Finite-Elemente-Programm gezeigt, daß sich eine Resonatorlänge unter 6 mm, und damit starke Kopplung, nur mit Hilfe eines miniaturisierten Aufbaus der Falle realisieren läßt. Die im Experiment verwendete lineare Falle erlaubt es, auch mehrere Ionen mit dem Resonatorfeld wechselwirken zu lassen und auf diese Weise mehr als ein Photon pro Pumppuls zu emittieren. Dies wurde in der Arbeit mit zwei Ionen im Resonator untersucht. Dabei wurde die Kreuzkorrelation der emittierten Photonen nach dem Verfahren von Hanbury Brown-Twiss gemessen. Anders als bei einer Einzelphotonenquelle treten bei zwei Ionen im Resonator Photonenkoinzidenzen auf, aus denen sich Rückschlüsse auf die Dynamik der Ionen ziehen lassen. Eine mögliche Anwendung der Speicherung mehrerer Teilchen ist die Verschränkung von Ionenpaaren im Resonator.
In der Quantenmechanik sind Drehimpulsoperatoren Erzeugende infinitesimaler Drehungen. Dementsprechend beginnen wir mit den Drehungen im dreidimensionalen Raum und führen danach den Drehimpuls ein. Damit können wir den Eigendrehimpuls (Spin) ungezwungen einfügen und auf die Vertauschgesetze schließen. (In vielen Lehrbüchern wird anders angefangen, nämlich aus den Vertauschgesetzen für Orts- und Impulsoperatoren auf die für den Bahndrehimpuls geschlossen — und der dann um den Eigendrehimpuls erweitert.)
Die Nichtlokalität von Quantensystemen steht im Mittelpunkt der heutigen Physik. Sie ergibt sich direkt aus dem Superpositionsprinzip. Sie ist eine Eigenschaft, die aus dem Wellencharakter von Quantenobjekten folgt. Die Nichtlokalität gibt uns Physikern noch immer einige Rätsel auf. So hat man durch statistische Messungen mit Hilfe der Bellschen Ungleichungen nachweisen können, dass die Nichtlokalität nicht etwa ein scheinbarer Effekt ist, der nur auf Unkenntnis der wahren Verhältnisse zurückzuführen ist, sondern zu realen Effekten, wie z.B. der Quantenteleportation, führt. Diese Arbeit untersucht die nichtlokalen Korrelationen in kaonischen Systemen in Lichte der zwei Gebiete, nämlich der Teilchen Physik und der Grundlagen der Quantenmechanik. Der erste Teil bringt eine Einführung in die neutralen Kaonen. Die Verletzung der CP- Symmetrie (charge, parity) ist für das Verständnis der Elementarteilchenphysik von entscheidender Bedeutung, insbesondere zur Erklärung des Materieüberschusses bei der Teilchen-Antiteilchen Erzeugung im frühen Universium. Durch das Experiment von Christensen, Cronin und Fitch (1964) [1] wissen wir, dass beim Zerfall der neutralen Kaonen die CP- Symmetrie verletzt wird und dies bedeutet, dass auf Grund des CPT Theorems auch die Zeitumkehr T verletzt ist. Weiters wird im ersten Teil auch der Regenerationseffekt der Kaonen abgeleitet. Im zweiten Teil werden die verschränkten Quantensysteme besprochen. Die Standard- Interpretation der Quantenmechanik geht davon aus, dass die quantenmechanische Beschreibung eines Systems im allgemeinen nur statistische Aussagen über einzelne Messungen ermöglicht. Im Jahre 1935 konstuierten Einstein, Podolsky und Rosen [2] unter gewissen Annahmen (insbesondere Lokalität) ein Beispiel, das die Existenz verborgener lokaler Parameter zeigen sollte; dieses Beispiel wird als EPR Paradoxon bezeichnet. 30 Jahre später zeigte Bell [3] in seiner berühmten Ungleichung für bestimmte Messwerte, dass die Annahmen des EPR Paradoxons im Widerspruch zur Quantenmechanik stehen. Diese Ungleichung wurde 1969 von Clauser, Horne, Shimony, und Holt (CHSH) [4] für reale Experimente angepasst. Neben der CHSH-Ungleichung gibt es zahlreiche weitere Ansätze zur Verletzung der Bellschen Ungleichung. Im folgenden werden die Ungleichungen für Zweiteilchensysteme vorgestellt; dies sind CH [5] (Clauser,Horne), Wigner [6], CHSH [4] und Eberhard [7] Ungleichungen. Der dritte Teil bringt die Verwendung der Bell Ungleichungen für neutrale Kaonensysteme. Wir haben die Bell Ungleichungen mit Regenerator durch den Vergleich zwischen dem lokalen Realismus und Quantenmechanik getestet [8]. Damit haben wir zwei spezielle Ungleichungen - CH und Eberhard - näher diskutiert [9, 10, 11]. Zum Schluss wurde ein Loophole für diese speziellen Ungleichungen überprüft [9]. Hatice Tataroglu, Wien 2009
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.