We study the time evolution of a system of N spinless fermions in R3 which interact through a pair potential, e.g., the Coulomb potential. We compare the dynamics given by the solution to Schrödinger's equation with the time-dependent Hartree–Fock approximation, and we give an estimate for the accuracy of this approximation in terms of the kinetic energy of the system. This leads, in turn, to bounds in terms of the initial total energy of the system. On étudie l'évolution temporelle d'un système de N fermions sans spin dans R3 qui interagissent via un potentiel à deux particules, par exemple, le potentiel de Coulomb. On compare la solution de l'équation de Schrödinger avec son approximation donnée par la méthode de Hartree–Fock dépendant du temps, et on estime la précision de cette approximation en fonction de l'énergie cinétique du système. De ceci découle une borne de l'erreur en fonction de l'énergie totale du système.
We study the time evolution of a system of N spinless fermions in R3 which interact through a pair potential, e.g., the Coulomb potential. We compare the dynamics given by the solution to Schrödinger's equation with the time-dependent Hartree–Fock approximation, and we give an estimate for the accuracy of this approximation in terms of the kinetic energy of the system. This leads, in turn, to bounds in terms of the initial total energy of the system. On étudie l'évolution temporelle d'un système de N fermions sans spin dans R3 qui interagissent via un potentiel à deux particules, par exemple, le potentiel de Coulomb. On compare la solution de l'équation de Schrödinger avec son approximation donnée par la méthode de Hartree–Fock dépendant du temps, et on estime la précision de cette approximation en fonction de l'énergie cinétique du système. De ceci découle une borne de l'erreur en fonction de l'énergie totale du système.
Théorie de la fonctionnelle de la matrice densité réduite : corrélation et spectroscopie Cette thèse traite de la description de la corrélation électronique et de la spectroscopie dans le cadre de la Théorie de la Fonctionnelle de la Matrice Densité Réduite (RDMFT). Dans la RDMFT, les propriétés de l'état fondamental d'un système physique sont des fonctionnelles de la matrice densité à un corps. Plusieurs approximations à la corrélation électronique ont été proposées dans la littérature. Beaucoup d'entre elles peuvent être reliés au travail de Müller, qui en a proposé une similaire à l'approximation Hartree-Fock mais qui peut produire des nombres d'occupation fractionnaires. Cela n'est pas toujours suffisant, notamment dans les matériaux fortement corrélés. Par ailleurs, l'expression des observables du système en terme de la matrice densité n'est pas toujours connue. Tel est le cas, par exemple, pour la fonction spectrale, qui est liée aux spectres de photoémission. Dans ce cas, il y a des annulations d'erreur entre l'approximation à la corrélation électronique et l'approximation à l'observable, ce qui affaiblit la théorie. Dans cette thèse, nous recherchons des approximations plus précises en exploitant le lien entre les matrices densité et les fonctions de Green. Dans la première partie de la thèse, nous nous concentrons sur la fonction spectrale. En utilisant le modèle de Hubbard, qui peut être résolu exactement, nous analysons les approximations existantes à cette observable et nous soulignons leurs points faibles. Ensuite, à partir de sa définition en terme de la fonction de Green à un corps nous dérivons une expression pour la fonction spectrale qui dépend des nombres d'occupation naturels et d'une énergie efficace qui prend en compte toutes les excitations du système. Cette énergie efficace dépend de la matrice densité à un corps ainsi que des ordres supérieurs. Des approximations simples à cette énergie efficace donnent des spectres précis dans des systèmes modèles dans des régimes à la fois de faible et de forte corrélation. Pour illustrer notre méthode sur les matériaux réels, nous calculons le spectre de photoemission du NiO massif: notre méthode donne une image qualitativement correcte dans la phase antiferromagnétique et dans la phase paramagnétique, contrairement aux méthodes de champ moyen utilisés actuellement, qui donnent un métal dans le dernier cas. La deuxième partie de la thèse est plus explorative et traite des phénomènes dépendant du temps dans la RDMFT. En général, l'évolution temporelle des matrices densité est donnée par la hiérarchie des équations de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY), dans lequel l'équation du mouvement de la matrice densité a n corps est donnée en termes de la matrice densité à n+1 corps. La première équation de la hiérarchie relie la matrice densité à un corps à la matrice densité à deux corps. La tâche difficile est de trouver des approximations à la matrice densité à deux corps. Les approximations existantes sont des extensions adiabatiques des approximations de l'état fondamental. Nous explorons cette question en examinant de nouvelles approximations qui nous tirons de la théorie à plusieurs corps (MBPT) basée sur les fonctions de Green ainsi que de la solution exacte du modèle de Anderson à deux niveaux dans son état fondamental. Nos premiers résultats sur le modèle de Anderson soumis à divers champs externes montrent quelques caractéristiques intéressantes, qui suggèrent d'explorer davantage ces approximations aussi sur des systèmes modèles plus grands.
This article examines the time-dependent Hartree-Fock (TDHF) approximation of single-particle dynamics in systems of interacting fermions. We find the TDHF approximation to be accurate when there are sufficiently many particles and the initial many-particle state is a Slater determinant, or any Gibbs equilibrium state for noninteracting fermions. Assuming a bounded two-particle interaction, we obtain a bound on the error of the TDHF approximation, valid for short times. We further show that the error of the the TDHF approximation vanishes at all times in the mean field limit.
On considère généralement que la fonction d'onde macroscopique décrivant un condensat de paires de fermions possède une phase parfaitement définie et immuable. En réalité, il n'existe que des systèmes de taille finie, préparés, qui plus est, à température non nulle ; le condensat possède alors un temps de cohérence fini, même lorsque le système demeure isolé tout au long de son évolution et que le nombre de particules N est fixé. La mémoire de la phase initiale se perd à mesure que le condensat interagit avec les modes excités, qui agissent comme un environnement déphasant. Cet effet fondamental, crucial pour les applications qui exploitent la cohérence macroscopique du condensat de paires, reste très peu étudié. Dans cet article, nous relions le temps de cohérence à la dynamique de phase du condensat, et nous montrons, par une approche microscopique, que la dérivée de l'opérateur phase du condensat θ ˆ 0 par rapport au temps est proportionnelle à un opérateur potentiel chimique que nous construisons, et qui inclut les deux branches d'excitations du gaz, tant par brisure des paires que par mise en mouvement de leur centre de masse. Pour une réalisation donnée d'énergie E , θ ˆ 0 évolue aux temps longs comme − 2 μ mc ( E ) t / ħ , où μ mc ( E ) est le potentiel chimique microcanonique ; les fluctuations de l'énergie d'une réalisation à l'autre conduisent alors à un brouillage balistique de la phase, et à une décroissance gaussienne de la fonction de cohérence temporelle avec un temps caractéristique ∝ N 1 / 2 . En revanche, en l'absence de fluctuations d'énergie, le temps de cohérence diverge linéairement en N à cause du mouvement diffusif de θ ˆ 0 . Enfin, nous proposons une méthode permettant de mesurer avec un gaz d'atomes froids ce temps de cohérence, que nous prédisons être de l'ordre de la dizaine de millisecondes pour un gaz de fermions préparé dans l'ensemble canonique à la limite unitaire.
This article concerns the time-dependent Hartree-Fock (TDHF) approximation of single-particle dynamics in systems of interacting fermions. We find that the TDHF approximation is accurate when there are sufficiently many particles and the initial many-particle state is any Gibbs equilibrium state for noninteracting fermions (with Slater determinants as a special example). Assuming a bounded two-particle interaction, we obtain a bound on the error of the TDHF approximation, valid for short times. We further show that the error of the TDHF approximation vanishes at all times in the mean field limit.
On considère généralement que la fonction d’onde macroscopique décrivant un condensat de paires de fermions possède une phase parfaitement définie et immuable. En réalité, il n’existe que des systèmes de taille finie, préparés à température non nulle ; le condensat possède alors un temps de cohérence fini, même lorsque le système est isolé. Cet effet fondamental, crucial pour les applications qui exploitent la cohérence macroscopique, restait très peu étudié.Dans cette thèse, nous relions le temps de cohérence à la dynamique de phase du condensat, et nous montrons par une approche microscopique que la dérivée temporelle de l’opérateur phase ˆθ0 est proportionnelle à un opérateur potentiel chimique qui inclut les deux branches d’excitations du gaz : celle, fermionique, de brisure des paires et celle, bosonique, de mise en mouvement de leur centre de masse. Pour une réalisation donnée de l’énergie E et du nombre de particules N, la phase évolue aux temps longs comme −2μmc(E,N)t/~ où μmc(E,N) est le potentiel chimique microcanonique ; les fluctuations de E et de N d’une réalisation à l’autre conduisent alors à un brouillage balistique de la phase, et à une décroissance gaussienne de la fonction de cohérence temporelle avec un temps caractéristique ∝ N1/2. En l’absence de telles fluctuations, la décroissance est au contraire exponentielle avec un temps de cohérence qui diverge linéairement en N à cause du mouvement diffusif de ˆθ0 dans l’environnement des modes excités. Nous donnons une expression explicite de ce temps caractéristique à bassetempérature dans le cas d’une branche d’excitation bosonique convexe lorsque les phonons interagissent via les processus 2 ↔ 1 de Beliaev-Landau. Enfin, nous proposons des méthodes permettant de mesurer avec un gaz d’atomes froids chaque contribution au temps de cohérence