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arXiv:1209.3639 · Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques

An algebraic construction of quantum flows with unbounded generators

Alexander C. R. Belton, Stephen J. Wills

Published Jan 14, 2015• 4 citations
arXivHTMLPDF

Abstract

Des cocycles de Feller stochastiques quantiques $*$-homomorphes sont construits pour certains générateurs non bornés, et ainsi nous obtenons des dilatations pour des semigroupes dynamiques quantiques fortement continus sur des $C^{*}$ algèbres. Ceci généralise la construction d’un processus de Feller classique et de son semigroupe à partir d’un générateur donné. Notre construction est possible à condition que le générateur satisfasse une propriété d’invariance pour une sous-algèbre dense $\mathcal{A}_{0}$ de la $C^{*}$ algèbre $\mathcal{A}$ et obéisse aux relations de structure nécessaires; les itérations du générateur, lorsqu’elles sont appliquées à une famille génératrice de $\mathcal{A}_{0}$, doivent satisfaire à une condition de croissance. De plus, il est supposé que soit la sous-algèbre $\mathcal{A}_{0}$ est engendrée par les isométries et $\mathcal{A}$ est universelle, ou bien $\mathcal{A}_{0}$ contient ses racines carrées. Ces conditions sont vérifiées dans quatre cas: marches aléatoires classiques sur les groupes discrets, le processus d’exclusion quantique symétrique introduit par Rebolledo et des flux sur le tore non commutatif et l’algèbre de rotation universelle.

DOI
10.1214/13-aihp578

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Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence

•Jun 7, 2016•0 citations

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Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence

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L'objectif de cette thèse est de développer un cadre permettant d'obtenir des opérateurs K de spin-j avec paramètre spectral, solutions de l'équation de réflexion et appartenant à B End (C2j+1) (u), où B est une algèbre comodule sur une algèbre de Hopf H. A partir de ces opérateurs K, nous obtenons des relations-TT universelles satisfaites par des matrices de transfert universelles dans la sous-algèbre commutante de B qu'ils génèrent. Ce nouveau cadre proposé est spécialisé à B=Aq, l'extension centrale de l'algèbre q-Onsager, et H=LUqsl2, l'algèbre quantique à boucle de sl2, offrant une approche universelle à diverses chaînes de spins quantiques ouvertes (spin-j, spin-j1j2 alternantes, ...) avec conditions aux bords génériques. Les trois problèmes suivants sont étudiés et résolus. Premièrement, nous introduisons une définition axiomatique d'une matrice K-universelle k [appartient à] B H satisfaisant une équation de réflexion universelle. Elle requiert la donnée d'une paire de twist composée d'un twist psi (un certain automorphisme de H) et d'un twist de Drinfeld. Cette définition étend les travaux de Balagovi'c-Kolb et Appel-Vlaar. Pour H=LUqsl2 et une certaine paire de twist fixée, nous montrons que l'évaluation de la composante tensorielle H de K à une représentation d'évaluation formelle (de dimension infinie) de spin-j mène à des opérateurs K avec paramètre spectral Kju. Deuxièmement, en nous inspirant de l'évaluation d'un des axiomes de la matrice K-universelle, et en considérant les produits tensoriels des représentations d'évaluation formelle de LUqsl2 dans les cas où apparaissent une sous-représentation de spin-j, nous introduisons un opérateur K de spin-j fusionné Kju [appartient à] Aq (C2j+1)(u). Ces derniers sont construits à l'aide d'opérateurs d'entrelacs de LUqsl2. Ils sont une généralisation spin-j de l'opérateur K de spin-1/2 introduit par Baseilhac et Shigechi en 2009. Nous montrons indépendamment du cadre universel, que toutes ces opérateurs K fusionnés satisfont les équations de réflexion. Ensuite, nous conjecturons une relation de proportionnalité entre K(j)(u) et l'évaluation de la matrice K-universelle K(j)(u). Elle est appuyée en montrant que K(j)(u) vérifie un ensemble de relations similaires à l'évaluation des axiomes de K. Troisièmement, une fonction génératrice de spin-j (appelée matrice de transfert universelle) dans la sous-algèbre commutante de Aq est obtenue grâce aux operateurs K fusionnés K(j)(u) que nous avons construits. Sous réserve que la conjecture reliant K(j)(u) et k(j)(u) soit vraie, nous prouvons que ces fonction génératrices satisfont des relations-TT universelles qui permettent de réduire récursivement le problème spectral de spin-j à celui de spin-1/2. En spécialisant Aq à certaines représentations de N produits tensoriels, nous retrouvons les matrices de transfert de diverses chaines de spin ainsi que les relations-TT qu'elles satisfont, et aussi des symétries non triviales pour les hamiltoniens correspondants.

•Dec 15, 2023•0 citations

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Des cocycles de Feller stochastiques quantiques ∗*∗-homomorphes sont construits pour certains générateurs non bornés, et ainsi nous obtenons des dilatations pour des semigroupes dynamiques quantiques fortement continus sur des C∗C^{*}C∗ algèbres. Ceci généralise la construction d’un processus de Feller classique et de son semigroupe à partir d’un générateur donné. Notre construction est possible à condition que le générateur satisfasse une propriété d’invariance pour une sous-algèbre dense A0\mathcal{A}_{0}A0​ de la C∗C^{*}C∗ algèbre A\mathcal{A}A et obéisse aux relations de structure nécessaires; les itérations du générateur, lorsqu’elles sont appliquées à une famille génératrice de A0\mathcal{A}_{0}A0​, doivent satisfaire à une condition de croissance. De plus, il est supposé que soit la sous-algèbre A0\mathcal{A}_{0}A0​ est engendrée par les isométries et A\mathcal{A}A est universelle, ou bien A0\mathcal{A}_{0}A0​ contient ses racines carrées. Ces conditions sont vérifiées dans quatre cas: marches aléatoires classiques sur les groupes discrets, le processus d’exclusion quantique symétrique introduit par Rebolledo et des flux sur le tore non commutatif et l’algèbre de rotation universelle.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
L'objectif de cette thèse est de développer un cadre permettant d'obtenir des opérateurs K de spin-j avec paramètre spectral, solutions de l'équation de réflexion et appartenant à B End (C2j+1) (u), où B est une algèbre comodule sur une algèbre de Hopf H. A partir de ces opérateurs K, nous obtenons des relations-TT universelles satisfaites par des matrices de transfert universelles dans la sous-algèbre commutante de B qu'ils génèrent. Ce nouveau cadre proposé est spécialisé à B=Aq, l'extension centrale de l'algèbre q-Onsager, et H=LUqsl2, l'algèbre quantique à boucle de sl2, offrant une approche universelle à diverses chaînes de spins quantiques ouvertes (spin-j, spin-j1j2 alternantes, ...) avec conditions aux bords génériques. Les trois problèmes suivants sont étudiés et résolus. Premièrement, nous introduisons une définition axiomatique d'une matrice K-universelle k [appartient à] B H satisfaisant une équation de réflexion universelle. Elle requiert la donnée d'une paire de twist composée d'un twist psi (un certain automorphisme de H) et d'un twist de Drinfeld. Cette définition étend les travaux de Balagovi'c-Kolb et Appel-Vlaar. Pour H=LUqsl2 et une certaine paire de twist fixée, nous montrons que l'évaluation de la composante tensorielle H de K à une représentation d'évaluation formelle (de dimension infinie) de spin-j mène à des opérateurs K avec paramètre spectral Kju. Deuxièmement, en nous inspirant de l'évaluation d'un des axiomes de la matrice K-universelle, et en considérant les produits tensoriels des représentations d'évaluation formelle de LUqsl2 dans les cas où apparaissent une sous-représentation de spin-j, nous introduisons un opérateur K de spin-j fusionné Kju [appartient à] Aq (C2j+1)(u). Ces derniers sont construits à l'aide d'opérateurs d'entrelacs de LUqsl2. Ils sont une généralisation spin-j de l'opérateur K de spin-1/2 introduit par Baseilhac et Shigechi en 2009. Nous montrons indépendamment du cadre universel, que toutes ces opérateurs K fusionnés satisfont les équations de réflexion. Ensuite, nous conjecturons une relation de proportionnalité entre K(j)(u) et l'évaluation de la matrice K-universelle K(j)(u). Elle est appuyée en montrant que K(j)(u) vérifie un ensemble de relations similaires à l'évaluation des axiomes de K. Troisièmement, une fonction génératrice de spin-j (appelée matrice de transfert universelle) dans la sous-algèbre commutante de Aq est obtenue grâce aux operateurs K fusionnés K(j)(u) que nous avons construits. Sous réserve que la conjecture reliant K(j)(u) et k(j)(u) soit vraie, nous prouvons que ces fonction génératrices satisfont des relations-TT universelles qui permettent de réduire récursivement le problème spectral de spin-j à celui de spin-1/2. En spécialisant Aq à certaines représentations de N produits tensoriels, nous retrouvons les matrices de transfert de diverses chaines de spin ainsi que les relations-TT qu'elles satisfont, et aussi des symétries non triviales pour les hamiltoniens correspondants.