L'objectif de cette thèse est de développer un cadre permettant d'obtenir des opérateurs K de spin-j avec paramètre spectral, solutions de l'équation de réflexion et appartenant à B End (C2j+1) (u), où B est une algèbre comodule sur une algèbre de Hopf H. A partir de ces opérateurs K, nous obtenons des relations-TT universelles satisfaites par des matrices de transfert universelles dans la sous-algèbre commutante de B qu'ils génèrent. Ce nouveau cadre proposé est spécialisé à B=Aq, l'extension centrale de l'algèbre q-Onsager, et H=LUqsl2, l'algèbre quantique à boucle de sl2, offrant une approche universelle à diverses chaînes de spins quantiques ouvertes (spin-j, spin-j1j2 alternantes, ...) avec conditions aux bords génériques. Les trois problèmes suivants sont étudiés et résolus. Premièrement, nous introduisons une définition axiomatique d'une matrice K-universelle k [appartient à] B H satisfaisant une équation de réflexion universelle. Elle requiert la donnée d'une paire de twist composée d'un twist psi (un certain automorphisme de H) et d'un twist de Drinfeld. Cette définition étend les travaux de Balagovi'c-Kolb et Appel-Vlaar. Pour H=LUqsl2 et une certaine paire de twist fixée, nous montrons que l'évaluation de la composante tensorielle H de K à une représentation d'évaluation formelle (de dimension infinie) de spin-j mène à des opérateurs K avec paramètre spectral Kju. Deuxièmement, en nous inspirant de l'évaluation d'un des axiomes de la matrice K-universelle, et en considérant les produits tensoriels des représentations d'évaluation formelle de LUqsl2 dans les cas où apparaissent une sous-représentation de spin-j, nous introduisons un opérateur K de spin-j fusionné Kju [appartient à] Aq (C2j+1)(u). Ces derniers sont construits à l'aide d'opérateurs d'entrelacs de LUqsl2. Ils sont une généralisation spin-j de l'opérateur K de spin-1/2 introduit par Baseilhac et Shigechi en 2009. Nous montrons indépendamment du cadre universel, que toutes ces opérateurs K fusionnés satisfont les équations de réflexion. Ensuite, nous conjecturons une relation de proportionnalité entre K(j)(u) et l'évaluation de la matrice K-universelle K(j)(u). Elle est appuyée en montrant que K(j)(u) vérifie un ensemble de relations similaires à l'évaluation des axiomes de K. Troisièmement, une fonction génératrice de spin-j (appelée matrice de transfert universelle) dans la sous-algèbre commutante de Aq est obtenue grâce aux operateurs K fusionnés K(j)(u) que nous avons construits. Sous réserve que la conjecture reliant K(j)(u) et k(j)(u) soit vraie, nous prouvons que ces fonction génératrices satisfont des relations-TT universelles qui permettent de réduire récursivement le problème spectral de spin-j à celui de spin-1/2. En spécialisant Aq à certaines représentations de N produits tensoriels, nous retrouvons les matrices de transfert de diverses chaines de spin ainsi que les relations-TT qu'elles satisfont, et aussi des symétries non triviales pour les hamiltoniens correspondants.
L'objectif de cette thèse est de développer un cadre permettant d'obtenir des opérateurs K de spin-j avec paramètre spectral, solutions de l'équation de réflexion et appartenant à B End (C2j+1) (u), où B est une algèbre comodule sur une algèbre de Hopf H. A partir de ces opérateurs K, nous obtenons des relations-TT universelles satisfaites par des matrices de transfert universelles dans la sous-algèbre commutante de B qu'ils génèrent. Ce nouveau cadre proposé est spécialisé à B=Aq, l'extension centrale de l'algèbre q-Onsager, et H=LUqsl2, l'algèbre quantique à boucle de sl2, offrant une approche universelle à diverses chaînes de spins quantiques ouvertes (spin-j, spin-j1j2 alternantes, ...) avec conditions aux bords génériques. Les trois problèmes suivants sont étudiés et résolus. Premièrement, nous introduisons une définition axiomatique d'une matrice K-universelle k [appartient à] B H satisfaisant une équation de réflexion universelle. Elle requiert la donnée d'une paire de twist composée d'un twist psi (un certain automorphisme de H) et d'un twist de Drinfeld. Cette définition étend les travaux de Balagovi'c-Kolb et Appel-Vlaar. Pour H=LUqsl2 et une certaine paire de twist fixée, nous montrons que l'évaluation de la composante tensorielle H de K à une représentation d'évaluation formelle (de dimension infinie) de spin-j mène à des opérateurs K avec paramètre spectral Kju. Deuxièmement, en nous inspirant de l'évaluation d'un des axiomes de la matrice K-universelle, et en considérant les produits tensoriels des représentations d'évaluation formelle de LUqsl2 dans les cas où apparaissent une sous-représentation de spin-j, nous introduisons un opérateur K de spin-j fusionné Kju [appartient à] Aq (C2j+1)(u). Ces derniers sont construits à l'aide d'opérateurs d'entrelacs de LUqsl2. Ils sont une généralisation spin-j de l'opérateur K de spin-1/2 introduit par Baseilhac et Shigechi en 2009. Nous montrons indépendamment du cadre universel, que toutes ces opérateurs K fusionnés satisfont les équations de réflexion. Ensuite, nous conjecturons une relation de proportionnalité entre K(j)(u) et l'évaluation de la matrice K-universelle K(j)(u). Elle est appuyée en montrant que K(j)(u) vérifie un ensemble de relations similaires à l'évaluation des axiomes de K. Troisièmement, une fonction génératrice de spin-j (appelée matrice de transfert universelle) dans la sous-algèbre commutante de Aq est obtenue grâce aux operateurs K fusionnés K(j)(u) que nous avons construits. Sous réserve que la conjecture reliant K(j)(u) et k(j)(u) soit vraie, nous prouvons que ces fonction génératrices satisfont des relations-TT universelles qui permettent de réduire récursivement le problème spectral de spin-j à celui de spin-1/2. En spécialisant Aq à certaines représentations de N produits tensoriels, nous retrouvons les matrices de transfert de diverses chaines de spin ainsi que les relations-TT qu'elles satisfont, et aussi des symétries non triviales pour les hamiltoniens correspondants.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées.D’une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l’hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d’états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions.D’autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d’un unique déterminant matriciel.Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l’algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général,et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d’évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l’analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l’aide de twists de Drinfel’d que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général. Enfin, nous tentons une ’dynamisation’ du modèle à vertex ’Half-Turn-Symmetric’,et nous décrivons sa fonction de partition en termes de représentation d’évaluation de l’algèbre de Yang-Baxter dynamique, et trouvons un ensemble de conditions la déterminantunivoquement.
Une nouvelle approche non-perturbative à la Onsager en systèmes intégrables quantiques est développée, dont les idées maîtresses prennent leurs racines dans l'article de L. Onsager (1944) portant sur la solution exacte du modèle d'Ising en deux dimensions. L'intérêt de cette approche repose sur le fait qu'elle est applicable de façon systématique dans le cas oú d'autres méthodes usuelles échouent. Celle-ci repose sur l'étude de quatres éléments capitaux: (i) L'identification de l'algèbre non-Abélienne de dimension infinie généralisant l'algèbre de Onsager et représentant la condition d'intégrabilité du modèle; (ii) La construction d'une hiérarchie de quantités en involution formant une sous-algèbre Abélienne; (iii) L'étude des réalisations et représentations de dimension finie et infinie de cette algèbre; (iv) La résolution du modèle à l'aide de ces données. Pour un modèle de référence - la chaîne de spin XXZ de taille finie avec conditions aux bords intégrables - la nouvelle approche basée sur l'algèbre q-Onsager introduite par P. Terwilliger est utilisée pour résoudre le problème spectral (spectre en énergie et états propres) dans le régime de paramètres génériques où l'ansatz de Bethe est inapplicable. Certaines étapes essentielles à l'obtention des fonctions de corrélations dans la limite thermodynamique du modèle sont aussi franchies, s'inspirant de la méthode de M. Jimbo et al.. La généralisation associée à toute algèbre de Lie affine de l'algèbre q-Onsager est proposée, et permet de classifier toutes les conditions d'intégrabilité dans les théories de Toda affines avec bord. Diverses perspectives sont enfin présentées.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées. D'une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l'hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d'états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions. D'autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d'un unique déterminant matriciel. Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l'algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général, et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d'évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l'analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l'aide de twists de Drinfel'd que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Un défi toujours actuel dans le domaine des systèmes intégrables quantiques est le calcul exact et explicite des fonctions de corrélation. Dans le cas de modèles simples tels que la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2, des progrès significatifs ont été réalisés ces dernières années. Les méthodes développées utilisent les symétries des modèles en volume infini (algèbre quantique affine) ou fini (algèbre de Yang-Baxter). L'objet de cette thèse est d'étendre le champ d'application de ce dernier type d'approche dans le cas où l'algèbre de Yang-Baxter sous-jacente est de type dynamique. C'est typiquement le cas du modèle de physique statistique solid-on-solid (SOS) qui décrit les interactions d'un paramètre de hauteur autour des faces d'un réseau bidimensionnel, avec des poids statistiques donnés par une matrice R elliptique solution de l'équation de Yang-Baxter dynamique.L'étude des fonctions de corrélation du modèle SOS est abordée dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique et de la méthode de séparation des variables. Des représentations en termes de déterminants de fonctions usuelles sont obtenues par les deux méthodes pour les produits scalaires entre états et pour les facteurs de forme des opérateurs locaux en volume fini. Les formules obtenues dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique sont ensuite utilisées pour représenter la fonction de corrélation à deux points sous la forme d'intégrales multiples, ainsi que pour le calcul de diverses quantités physiques à la limite thermodynamique, telles que les polarisations spontanées ou les probabilités de hauteurs locales. Ces dernières s'expriment sous forme d'intégrales multiples similaires à celles du modèle XXZ.