La paradoja de De Broglie nos sirve como hilo conductor para introducir de forma elemental algunas cuestiones referentes a la interpretacion estadistica, completitud, localidad y realismo en la Mecanica Cuantica. Tambien se discute, por medio de la resolucion numerica de la ecuacion de Schrodinger, el curioso e inesperado comportamiento de las funciones de onda de los estados estacionarios de una particula encerrada en una caja, cuando intentamos dividirlas mediante un potencial adecuado.
La paradoja de De Broglie nos sirve como hilo conductor para introducir de forma elemental algunas cuestiones referentes a la interpretacion estadistica, completitud, localidad y realismo en la Mecanica Cuantica. Tambien se discute, por medio de la resolucion numerica de la ecuacion de Schrodinger, el curioso e inesperado comportamiento de las funciones de onda de los estados estacionarios de una particula encerrada en una caja, cuando intentamos dividirlas mediante un potencial adecuado.
De acuerdo a la interpretacion comunmente aceptada de la Mecánica Cuántica solo se puede hablar de la existencia de las partículas elementales cuando ellas son detectadas en un experimento o con un aparato clásico de medida. Esto ha conllevado a tergiversaciones respecto de la existencia objetiva de la realidad, puesto que se requeriría un observador para que se materialice la partícula elemental. Este problema se resuelve cuando se conceptúa a la partícula elemental en interacción permanente con el resto del Universo de modo que así su existencia no dependerá de ningún observador inteligente y se rescatará el rango objetivo de las partculas elementales. En este artículo se estudia la interacción entre las partículas elementales y un campo de acción de fondo de carácterestocástico y se determina que la desviación estándar de la interacción partícula-campo de fondo es esencialmente la constante de Planck, pues aparecen de manera natural las expresiones de la energía según el Postulado de Planck y de la cantidad de movimiento de acuerdo a la tesis de Louis de Broglie. Además, se obtiene de forma natural la expresión de la función de onda de una partícula libre a partir de la resolución de la ecuación integral que liga la cantidad de movimiento y la energía con el vector de onda y la frecuencia angular de una distribución gaussiana. También, se deduce la ecuación de Schrödinger como consecuencia de la expresión de la función de onda de una partícula elemental en un campo potencial. Finalmente, se obtiene el Principio de Incertidumbre. La teoría presentada en este artículo rescata el carácter objetivo de la Mecánica Cuántica por el cual las partículas elementales existen independientemente de los observadores ya que el aparato de medida clásico en esta teoría, introducida por los autores, es el propio Universo.
En la mecánica cuántica, el estado físico de un electrón es descrito por una función de onda. Según la interpretación de probabilidad estándar, la función de onda de un electrón es amplitud de probabilidad, y su modulo cuadrado da la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en una cierta posición en el espacio. En este artículo, se muestra que esta suposición central de la mecánica cuántica puede tener una extensión ontológica. Se argumenta que las partículas microscópicas como los electrones son realmente partículas, pero su movimiento no es continuo, sino discontinuo y aleatorio. Desde esta perspectiva, el modulo cuadrado de la función de onda no sólo da la densidad de probabilidad de que las partículas se encuentren en ciertos lugares, sino que también da la densidad de probabilidad de que las partículas estén allí. En otras palabras, la función de onda en la mecánica cuántica se puede considerar como una representación del estado de movimiento discontinuo aleatorio de las partículas, y en un nivel más profundo, puede representar la propiedad disposicional de las partículas que determina su movimiento discontinuo aleatorio.
En este articulo se analiza y resuelve laecuacion de Schrodinger independiente deltiempo o en estado estacionario para una particulaen una caja unidimensional de potencialcero. Para este proposito se definen conceptosy postulados cuanticos como la funcion deonda y los requisitos matematicos que debecumplir como el de ser funcion continua, univaluada(un solo valor f(x) para cada valor dex) y diferenciable (derivable). Se describen alos operadores cuanticos: como el operadorde posicion, operador derivada, operador delmomento lineal clasico y cuantico, operadorenergia potencial y el operador Hamiltoniano.Se obtienen valores propios o eigenvalores.Se normalizan funciones aplicando metodosdel calculo integral y se establece la ecuacionde Schrodinger para una dimension y tres dimensiones.La solucion da a una funcion de onda real que matematicamente es una funciontrigonometrica seno. Se encuentra quela energia de la particula esta cuantizada olimitada a valores discretos.
El debate sobre el determinismo e indeterminismo en la física ha alcanzado una enorme expansión con el advenimiento de la mecánica cuántica, una teoría formulada en términos probabilísticos dado que su ecuación fundamental, la ecuación de Schrödinger, no determina la dinámica de las propiedades de un sistema, sino la dinámica de sus probabilidades. Al tratar exclusivamente con probabilidades, la física cuántica parece evidenciar un indeterminismo ontológico en los valores que adquieren las variables de un sistema físico (típicamente posición, velocidad, energía, etc.). Sin embargo la evolución del estado del sistema, gobernada por la ecuación de Schrödinger, es perfectamente determinista. Dado el estado a un tiempo inicial, la ecuación de Schrödinger predice de manera determinista el estado en todo tiempo posterior. Pero las probabilidades entran en juego al predecir resultados en el proceso de medición. Según la interpretación ortodoxa, a partir de ahí la evolución es indeterminista y sólo se puede recurrir a las probabilidades que permiten calcular el estado, que hasta ese momento evolucionó manera determinista. La mecánica cuántica parece incorporar así, tanto aspectos determínisticos como indetermínisticos, y la medición parece jugar un rol central en esto.Esta característica ha dado origen un sinnúmero de interpretaciones y no poca controversia entre ellas. Bajo la visión realista, se ha intentado interpretar las probabilidades en términos epistemológicos, es decir, en términos de ignorancia subjetiva del observador. De este modo, las probabilidades sólo estarían cuantificando un indeterminismo epistemológico. Sin embargo muchos de estos intentos demostraron no estar exentos de inconsistencias al punto de poner en juego hasta la misma noción de realismo. Desde una postura no realista, por el contrario, la mecánica cuántica parece imponer un indeterminismo ontológico antes no evidenciado por la mecánica clásica, principalmente porque no es posible asignar valores bien definidos a todas las variables.En las siguientes secciones indagaremos la dualidad entre determinismo e indeterminismo que exhibe la teoría cuántica. La primera sección centra su recorrido en las interpretaciones modales, para analizar desde ella algunas características relevantes de la teoría. En la segunda sección, se desarrollará la formulación Bohmiana de la mecánica cuántica, que tratándose de una formulación realista, pone de relieve la posibilidad de un indeterminismo epistemológico compatible con determinismo ontológico.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].