Entropic uncertainty relations in quantum mechanics

Jorge Sánchez Ruiz

Published Jan 1, 1997• 3 citations

Abstract

ESTA TESIS CONTIENE UNA SERIE DE RESULTADOS ORIGINALES SOBRE EL TEMA DE LAS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE ENTROPICAS EN MECANICA CUANTICA, SE CALCULAN LOS VALORES ANALITICOS EXACTOS DE LAS ENTROPIAS DE POSICION Y MOMENTO PARA LOS EXPERIMENTOS DE DIFRACCION POR UNA RENDIJA Y POR UNA DOBLE RENDIJA, ASI COMO PARA LOS ESTADOS ESTACIONARIOS DEL OSCILADOR ARMONICO. SE OBTIENE UNA FORMULA ASINTOTICA GENERAL PARA LA ENTROPIA DE POSICION EN ESTADOS ESTACIONARIOS, QUE SE GENERALIZA A LAS ENTROPIAS DE RENYI Y A LAS ENTROPIAS DISCRETAS CORRESPONDIENTES A MEDIDAS DE POSICION CON RESOLUCION FINITA. SE OBTIENE LA FORMA EXPLICITA DE LA RELACION DE INCERTIDUMBRE ENTROPICA DE MAASSEN Y UFFINK PARA OBSERVABLES DE MOMENTO ANGULAR, ASI COMO LA RELACION DE INCERTIDUMBRE ENTROPICA OPTIMA PARA OBSERVABLES EN UN ESPACIO DE HILBERT BIDIMENSIONAL (CORRIGIENDO Y GENERALIZANDO A LA VEZ UN RESULTADO ANTERIOR DE GARRETT Y GULL). FINALMENTE, MEDIANTE EL EJEMPLO DE LOS CONJUNTOS DE N+1 OBSERVABLES COMPLEMENTARIOS EN ESPACIOS DE HILBERT DE DIMENSION N SE DEMUESTRA QUE PARA UN CONJUNTO DE MAS DE DOS OBSERVABLES QUE NO CONMUTAN ENTRE SI TENEMOS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE ENTROPICAS MAS FUERTES QUE LAS DEDUCIDAS CONSIDERANDO SOLO LAS PAREJAS EN EL CONJUNTO, ASI COMO DESIGUALDADES DE SIGNO OPUESTO (RELACIONES DE CERTIDUMBRE ENTROPICAS) PARA CLASES PARTICULARES DE ESTADOS.

Related papers

Más allá de Heisenberg

G. M. Bosyk

En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.

Sep 2, 20140 citations

Medidas de información, incertidumbre y entrelazamiento en Mecánica Cuántica

Vicente Majúa, Julio I. de

En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.

Apr 13, 20111 citation

Entropic uncertainty relations in quantum mechanics

Iwo Białynicki‐Birula

Lecture notes in mathematicsJan 1, 198547 citations

LAS TEORÍAS QUE REVOLUCIONARON LA FÍSICA DEL SIGLO XX

Daniel Sudarsky

SEGUNDA PARTE DE LA COLABORACION DE DANIEL SUDARSKY, DEL INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES. AQUI REFLEXIONA SOBRE LA MEC NICA CU NTICA. SENALA QUE LA OTRA REVOLUCION EN LA FISICA HA DEJADO UN CAMPO DE ESTUDIO PARA EL PRESENTE SIGLO CORRESPONDIENTE A LA MEC NICA CU NTICA. A ESTA -DICE- SE LE SUELE IDENTIFICAR CON EL FAMOSO PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISEMBERG, QUE, GROSSO MODO, SE EXPLICA INDICANDO QUE HAY UNA IMPOSIBILIDAD DE CONOCER SIMULT NEAMENTE LA POSICION Y VELOCIDAD DE UNA PARTICULA SUBATOMICA. TAMBIEN SE LA SUELE IDENTIFICAR -ANADE- CON LA NOCION DE QUE ES IMPORTANTE HACER PREDICCIONES EXACTAS ACERCA DEL RESULTADO DE EXPERIMENTOS Y QUE LAS UNICAS PREDICCIONES POSIBLES SON DE CAR CTER ESTADISTICO. SI BIEN TODO ESTO ES CIERTO, EN REALIDAD NO LE HACE JUSTICIA AL CAMBIO PROFUNDO QUE IMPLICA LA MEC NICA CU NTICA PARA NUESTRA CONCEPCION DEL MUNDO: EL ASPECTO M S NOTABLE DEL CAMBIO CONCEPTUAL QUE NOS OFRECE LA MEC NICA CU NTICA ES OBLIGARNOS A RECONOCER QUE CIERTOS ATRIBUTOS DE LOS OBJETOS NO SON INTRINSECOS SINO RELACIONALES. POR EJEMPLO -EXPLICA EL INVESTIGADOR-, AL HABLAR DE UNA PERSONA SOLEMOS CONSIDERAR EVIDENTE QUE CIERTOS ATRIBUTOS DE ELLA, COMO SU PESO, ALTURA, O EL LUGAR DONDE VIVE SON CLARAMENTE INTRINSECOS, EN EL SENTIDO DE QUE DICHOS ATRIBUTOS SON (EN UN MOMENTO DADO) ATRIBUTOS QUE SE REFIEREN A LA PERSONA EN SI Y NO A OTRAS QUE LA DESCRIBEN O INTERACTUAN CON ELLA. POR OTRO LADO, SU SIMPATIA, BELLEZA, AMABILIDAD, ETCETERA, SON ATRIBUTOS DE LA RELACION DE LA PERSONA CON OTRAS QUE, EN GENERAL, PUEDEN DIFERIR RADICALMENTE EL GRADO DE APLICABILIDAD DE ESTOS ADJETIVOS A UNA PERSONA DETERMINADA. TODO ESTO ES EVIDENTE, PERO EN LA FISICA LOS ATRIBUTOS DE UN OBJETO, COMO POR EJEMPLO UNA PARTICULA, NO DEBIAN -SEGUN LAS CONCEPCIONES CL SICAS, DICE EL INVESTIGADOR- TENER NINGUNA DE ESTAS COMPLICACIONES: LA POSICION O VELOCIDAD DE UNA PARTICULA EN UN MOMENTO DADO (SEGUN UN SISTEMA DE REFERENCIA PARTICULAR) ERAN ATRIBUTOS INTRINSECOS DE LA MISMA. PUDIERA SER QUE UNO NO SUPIERA CU L ES EL VALOR DE ESTOS EN ESE INSTANTE, PERO EN LA FISICA PRECU NTICA LA PARTICULA POSEIA UN VALOR DETERMINADO DE ESTOS EN CADA MOMENTO. LO QUE HACE LA CU NTICA ES RECHAZAR ESTA NOCION. EN GENERAL UNA PARTICULA NO TIENE NI POSICION NI VELOCIDAD ALGUNA. ES SOLO CUANDO PROCEDEMOS A MEDIR QUE LA PARTICULA ADQUIERE, EN ESE INSTANTE, DICHOS ATRIBUTOS. DE HECHO, EN EL CASO DE LOS DOS ATRIBUTOS MENCIONADOS: POSICION Y VELOCIDAD, ES IMPOSIBLE PARA LA PARTICULA ADQUIRIRLOS SIMULT NEAMENTE! POR ENDE, UNA PARTICULA NUNCA TIENE UNA TRAYECTORIA! DE HECHO LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES SE EXPLICAN HACIENDO USO DE UN AN LISIS SEGUN EL CUAL UNA PARTICULA QUE EN DOS INSTANTES TIENE UNA POSICION DETERMINADA, VIAJA DE UNA POSICION A LA OTRA A TRAVES DE TODAS LAS TRAYECTORIAS POSIBLES SIMULT NEAMENTE. LA REALIDAD ES MUY DIFERENTE DE LO QUE SOSPECHABA, ASEVERA SUDARSKY. SEGUN LA MEC NICA CU NTICA, LO QUE DESCRIBE UNA SITUACION FISICA DETERMINADA ES UN OBJETO DENOMINADO FUNCION DE ONDA, QUE CONTIENE INFORMACION SOBRE LAS PROBABILIDADES DE QUE, EN CASO DE UNA EVENTUAL MEDIDA DE TAL O CUAL CANTIDAD FISICA, DA LUGAR A UN RESULTADO PARTICULAR. POR EJEMPLO, EN EL CASO DE UNA PARTICULA LA FUNCION DE ONDA NOS DICE CU LES SON LAS PROBABILIDADES DE QUE LA MEDIDA DE SU POSICION RESULTE EN UN VALOR DETERMINADO PARA CADA UNO DE LOS POSIBLES VALORES, SI ES QUE OPT RAMOS POR DETERMINAR SU POSICION. ALTERNATIVAMENTE NOS DICE CU LES SON LAS PROBABILIDADES SI SE OPTARA POR MEDIR LA VELOCIDAD. ESTO TIENE COMO CONSECUENCIA INMEDIATA -AFIRMA- LA DESAPARICION DEL DETERMINISMO FUNDAMENTAL: LA FISICA, AUN EN EL CASO DE LOS OBJETOS M S SIMPLES, NO PUEDE DETERMINAR EN GENERAL EL RESULTADO PRECISO DE UN EXPERIMENTO. PUEDE SIN EMBARGO HACER PREDICCIONES ESTADISTICAS, CUYOS RESULTADOS SON LOS PREVISTOS POR LA MEC NICA CU NTICA. DE HECHO LA COSA EMPEORA CUANDO PASAMOS A SISTEMAS DE M S DE UNA PARTICULA, PUESTO QUE EN ESOS CASOS, GENERALMENTE, CADA PARTICULA NO TIENE FUNCION DE ONDA PROPIA, SINO QUE UNICAMENTE EXISTE UNA FUNCION DE ONDA PARA EL COLECTIVO. SE DAN ENTONCES SITUACIONES EN QUE LAS PROBABILIDADES DE QUE ESTA PARTICULA TENGA ESTA O AQUELLA POSICION DEPENDE DEL RESULTADO DE LA MEDIDA DE ALGUN ATRIBUTO DE OTRA U OTRAS PARTICULAS. EN ESTA SITUACION VEMOS UN EJEMPLO NOTABLE DE LA DESAPARICION DEL REDUCCIONISMO SIMPLISTA AL QUE NOS HABIAMOS ACOSTUMBRADO EN LA FISICA CL SICA, EN LA QUE PARA DESCRIBIR ALGUNA SITUACION FISICA SE PROCEDIA A DIVIDIR EL SISTEMA EN SUS PARTES CONSTITUYENTES Y SE PROCEDIA A DESCRIBIR MINUCIOSAMENTE CADA UNA DE LAS PARTES, DE LO CUAL, SE ENTENDIA, SE DESPRENDIA LA DESCRIPCION DEL SISTEMA EN SU TOTALIDAD. LA MEC NICA CU NTICA NOS ENSENA QUE ESTO NO ES POSIBLE EN GENERAL, APUNTA. Y AGREGA: ¨QUE QUEDA POR HACER? BUENO EN REALIDAD QUEDA MUCHO. EL PROBLEMA M S APREMIANTE RADICA EN QUE NO TENEMOS HASTA AHORA UNA MANERA DE HACER COMPATIBLES

Gaceta UNAM (2000-2009)Sep 25, 20060 citations

Entropic Uncertainty Relations in Quantum Physics

Iwo Białynicki‐Birula, Łukasz Rudnicki

arXiv:1001.4668Springer eBooksJan 1, 2011125 citations

Notes on Entropic Uncertainty Relations Beyond the Scope of Riesz’s Theorem

Alexey E. Rastegin

International Journal of Theoretical PhysicsNov 17, 201125 citations