Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.
Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.
Simulation numérique de condensats de Bose-Einstein Dans cette thèse, nous considérons une fonctionnelle d'énergie Gross--Pitaevskii (GP) comme modèle pour la rotation d'un espèce et de deux espèces de condensats de Bose--Einstein (BEC) en deux dimensions. Ce modèle peut être adimensionné pour mettre en évidence un régime de confinement fort avec une forte interaction entre les deux composants. Nous introduisons une nouvelle discrétisation de cette énergie, comportant à la fois des schémas de différence finie et de Fourier, dans un domaine borné dans R² en utilisant des conditions aux bords de Dirichlet. Nous développons un algorithme de méthode de gradient explicite avec pas adaptatif et projection (EPG) sur la variété de contraintes pour la minimisation de l'énergie. Cette méthode permet de dériver un critère d'arrêt. Nous proposons également deux algorithmes de post-traitement pour les minimiseurs numériques. L'un est destiné aux vortex simples tandis que l'autre est destiné aux nappes de vortex. Les deux algorithmes détectent ces structures et calculent leurs indices.Dans un article récent intitulé "Vortex patterns and sheets in segregated two component Bose-Einstein condensates", les auteurs étudient le comportement d'un BEC ségrégué à deux espèces mis en rotation. Ils ont pu prouver que pour une grande rotation, l'interface entre les deux composants s'allonge, conduisant éventuellement à des nappes de vortex. Ils ont également étudié les structures des vortex du BEC dans un régime ségrégué. Dans cette thèse, nous avons pu produire des simulations numériques à l'aide d'EPG, validant ces résultats théoriques récents, supportant des conjectures et couvrant différents cas physiques (les cas d'un espèce et de deux espèces en régime de coexistence qui existent déjà dans la littérature mathématique). Nous illustrons également l'efficacité d'EPG par rapport à la méthode bien connue de GPELab qui consiste à résoudre un système linéairement implicite à chaque pas de temps.Enfin, nous avons pu adapter quelques théorèmes trouvés dans la littérature à notre problème discret. Nous prouvons l'existence d'un minimiseur global de la fonctionnelle d'énergie Gross--Pitaevskii pour le schéma aux différences finies et étudions certaines de ses propriétés. Nous travaillons également sur des problèmes symétriques rencontrés dans certaines simulations numériques.
La premiere partie de ce memoire rappelle les principales proprietes des condensats de bose-einstein tels qu'ils sont realises experimentalement depuis 1995 dans les gaz alcalins dilues et magnetiquement pieges. L'approche theorique standard de bogoliubov, reposant sur l'hypothese d'une brisure de symetrie u(1) dans le systeme, y est discutee. L'accent est alors mis dans la deuxieme partie sur les consequences dynamiques de cette hypothese et en particulier sur l'existence d'un brouillage de la phase du condensat se traduisant par une perte des proprietes de coherence du systeme. La derivation systematique du temps de coherence au bout duquel le brouillage de phase se produit est entreprise pour les cas d'un condensat seul et de deux condensats couples, a l'equilibre ou hors-equilibre. La troisieme partie de ce memoire est consacree a l'etude dynamique d'un condensat a l'interieur d'un potentiel de type creneau. Une integration numerique de l'equation de gross-pitaevskii dependant du temps en dimension 1 et 2 est realisee. En variant la valeur du parametre non lineaire (traduisant les interactions entre atomes) l'influence des nonlinearites sur le comportement du systeme est analysee. Nous montrons ainsi comment en augmentant la valeur de ce parametre, la fonction d'onde macroscopique passe d'une dynamique reguliere, caracterisee par une suite de renaissances non lineaires, a une dynamique stochastique ou seules subsistent des rennaissances de dynamique reguliere. La quatrieme partie modelise une experience de melange a quatre ondes dans le contexte des ondes de matiere. Analysant le mecanisme physique de l'experience deja realisee avec des bosons, nous montrons comment adapter cette experience pour un melange fermions/bosons ou une onde fermionique incidente est envoyee sur un reseau de bosons condenses.
Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.
Cette thèse est consacrée à la dérivation et à l'étude de différents modèles non-linéaires en mécanique quantique. Ces modèles décrivent des systèmes à grand nombre de particules dans l'approximation de champ moyen. Dans une première partie, nous étudions la validité de modèles effectifs décrivant le gaz de bosons dipolaires. Nous montrons que l'état et l'énergie fondamentale, ainsi que la l'évolution temporelle, d'un condensat de Bose-Einstein sont correctement décrits au premier ordre par la théorie de Gross-Pitaevskii. Pour la dynamique, nous montrons que le second ordre est donné par la théorie de Bogoliubov. Nous étudions aussi la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii dipolaire avec un terme de correction quintique prenant en compte les corrections de Lee-Huang-Yang. La seconde partie est consacrée à l'étude de limites semi-classiques pour les grands systèmes fermioniques. Nous nous intéressons d'abord à l'énergie libre d'un gaz de fermions dans la limite semi-classique et nous montrons que celle-ci, ainsi que les états de Gibbs approchés, sont donnés par la théorie de Vlasov à température positive. Nous étudions ensuite l'énergie d'un atome lourd dans la limite non-relativiste où nous calculons le second ordre de son développement, la correction de Scott, pour le modèle de Dirac-Fock.
Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.
Ce mémoire présente une étude théorique des propriétés de localisation de gaz de Bose avec interactions faibles, en présence de désordre uni-dimensionnel. Nous abordons trois aspects de ces systèmes désordonnés. En premier lieu, nous étudions le cas d'un gaz sans interactions. Des résultats généraux stipulent que tous les états à une particule sont localisés en une dimension. Nous montrons que pour certaines classes de désordre corrélé, la dépendance de la longueur de localisation des atomes vis-à-vis de leur énergie est marquée par d'abruptes transitions à faible désordre. Ceci permet l'interprétation de résultats expérimentaux récents, au-delà des analyses précédentes. Dans un deuxième temps, nous étudions l'état fondamental d'un gaz avec interactions répulsives, et établissons un diagramme des états quantiques du système en fonction de l'amplitude du désordre et des interactions. Nous analysons les modulations de densité imposées au gaz par le désordre afin de décrire le passage du régime de condensat de Bose- Einstein délocalisé à celui de condensat fragmenté. Pour le régime des très faibles interactions, nous développons une description microscopique du système sur la base des états propres de basse énergie du hamiltonien à une particule. Ces résultats contribuent à la caractérisation de la phase de verre de Bose encore peu explorée aux faibles interactions. Enfin, nous étudions la localisation des excitations élémentaires du gaz de Bose dans le régime de (quasi-) condensat. Nous montrons que la localisation réduite des excitations de plus faible énergie est imputable à un écrantage efficace par le (quasi-) condensat des variations de grande longueur d'onde du potentiel extérieur.