Recientemente fue introducida en la literatura un procedimiento, basada en la conexión existente entre la medida de Información de Fisher y la ecuación de Schröedinger, que permite formular un ansatz para la solución del estado fundamental de aquellas SE que incorporan potenciales convexos simétricos. Por medio de esta técnica obtenemos una solución-ansatz, libre de parámetros, para el estado fundamental de la Ecuación de Mathieu.
Recientemente fue introducida en la literatura un procedimiento, basada en la conexión existente entre la medida de Información de Fisher y la ecuación de Schröedinger, que permite formular un ansatz para la solución del estado fundamental de aquellas SE que incorporan potenciales convexos simétricos. Por medio de esta técnica obtenemos una solución-ansatz, libre de parámetros, para el estado fundamental de la Ecuación de Mathieu.
La conexión existente entre la medida de Información de Fisher (FIM) y la ecuación de Schröedinger (SE) permite formular un ansatz, libre de parámetros, para la solución del estado fundamental de aquellas SE que incorporan potenciales convexos pares. En la presente comunicación mostramos que, entre otras posibles aplicaciones, esa técnica proporciona un método eficaz para tratar con problemas definidos en dominios finitos. Específicamente, obtenemos una solución-ansatz, libre de parámetros, para el estado fundamental de la Ecuación de Coffey-Evans, la cual está en muy buena concordancia con los resultados existentes en la literatura.
Recientemente fue propuesto un procedimiento, basado en la conexión existente entre la ecuación de Schrödinger (SE) y la Medida de Información de Fisher (FIM), que permite obtener un ansatz para las autofunciones del estado fundamental de una SE unidimensional, no relativística, cuyo potencial es convexo. La técnica fue utilizada con éxito para tratar modelos que incorporan potenciales convexos simétricos. En esta comunicación exploramos la potencia predictiva de ese formalismo en una situación no-simétrica. Específicamente, abordamos el problema de campos de fuerzas centrales y en particular, hallamos un ansatz para las autofunciones del estado fundamental de la ecuación radial del átomo de hidrógeno.
La Medida de Información de Fisher (FIM) y la Ecuación de Schröedinger (SE) están íntimamente conectadas. De hecho, la FIM trabaja como una “acción” desde la cual puede construirse una lagrangeana cuya variación conduce a una SE. Luego, existe una estructura de Legendre conectando ambas teorías. La existencia de una tal estructura permite formular un ansatz, libre de parámetros, para la función de distribución de probabilidades de Fisher cuando intervienen potenciales convexos pares. En esta comunicación generalizamos el procedimiento para abordar situaciones en las que intervienen potenciales más generales.
Desde su origen, la teoria de la informacion ha tenido fuertes conexiones con la mecanica estadistica. El mismo termino entropia de la informacion fue elegido por Shannon a partir del termino usado en termodinamica, bajo sugerencia de Von Neumann. La misma relacion se ha desarrollado recientemente entre las correspondientes generalizaciones cuanticas de ambas teorias, que son la informacion cuantica, que estudia el almacenamiento y la manipulacion de la informacion en sistemas cuanticos, y la fisica de muchos cuerpos. Las conexiones entre los dos campos aumentan cada dia y van en las dos direcciones. Las herramientas e ideas de la informacion cuantica ayudan a solucionar problemas abiertos en teoria de la materia condensada, y nuevos modelos de muchos cuerpos se desarrollan para aplicaciones de la informacion cuantica. Al mismo tiempo la implementacion y el control experimental de pequenos sistemas cuanticos ha mejorado de forma espectacular, aumentando la posibilidad de que estos experimentos se puedan llevar a cabo a escala mas grande, abriendo la posibilidad de aplicaciones practicas.
Es reciente el interes de la comunidad de investigadores en informacion cuantica por estos modelos, y se ha empezado a ver este tipo de evoluciones no solamente como un problema que resolver, sino como un recurso que explotar. Este fundamental cambio de perspectiva ha abierto una nueva linea de investigacion en el campo, incorporando ideas sobre como construir evoluciones artificiales en las cuales la disipacion trabaja en nuestro favor en vez de en nuestra contra, incluso protegiendo el sistema de otros ruidos incontrolados. De esta manera se han planteado nuevos problemas interesantes, como cual es el poder computacional de estos modelos y que condiciones pueden garantizar la resistencia contra el ruido externo.
Esta tesis es parte del esfuerzo para mejorar nuestro conocimiento de estos modelos.
Nos hemos centrado en el estudio de las propiedades de evoluciones disipativas de sistemas cuanticos de espines en un reticulo, bajo una hipotesis que llamamos equilibracion rapida. Consideramos evoluciones disipativas con un unico punto fijo, y que comprimen todo el espacios de estados iniciales en un entorno decreciente del punto fijo. La escala temporal a la cual se tiene esta compresion, es decir el tiempo que tenemos que esperar para que cualquier estado inicial se encuentre arbitrariamente cercano al punto fijo, se llama tiempo de equilibracion del proceso. La condicion de equilibracion rapida pide que este tiempo sea logaritmico en el tamano del sistema.
La contribucion principal de esta tesis es demostrar que la equilibracion rapida tiene importantes consecuencias en las propiedades del sistema. Este sera estable bajo perturbaciones externas y sus puntos fijos satisfaran una ley de area para la informacion mutua.
La parte mas tecnica de este trabajo se basa en las llamadas cotas de Lieb Robinson. Muy conocidas en el caso de sistemas cerrados, pero igualmente validas para sistemas abiertos, las cotas de Lieb Robinson formalizan la idea que la informacion en un sistema de muchos cuerpos solo puede moverse con una velocidad finita, dado que su propagacion esta mediada por las interacciones locales. Por lo tanto, controlar la escala temporal con la cual la evolucion converge permite a su vez controlar la escala espacial a la cual se pueden crear correlaciones.
En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.