Cet article présente une étude algébrique du Hamiltonien non hermitien de Swanson fondée sur le formalisme de la quantification canonique. En suivant la formulation algébrique proposée par da Providência et al. , une paire généralisée d’opérateurs d’annihilation et de création satisfaisant la relation de commutation bosonique est construite afin de diagonaliser le Hamiltonien et de générer la représentation correspondante dans l’espace de Fock. Le spectre exact d’énergie et les fonctions d’onde associées sont obtenus analytiquement. En outre, les générateurs de l’algèbre de Lie sont construits à partir des opérateurs d’échelle généralisés et utilisés pour dériver les états cohérents du système. Enfin, la valeur moyenne du Hamiltonien est évaluée. La formulation proposée fournit un cadre algébrique cohérent pour l’étude de cette classe de systèmes quantiques non hermitiens.
Cet article présente une étude algébrique du Hamiltonien non hermitien de Swanson fondée sur le formalisme de la quantification canonique. En suivant la formulation algébrique proposée par da Providência et al. , une paire généralisée d’opérateurs d’annihilation et de création satisfaisant la relation de commutation bosonique est construite afin de diagonaliser le Hamiltonien et de générer la représentation correspondante dans l’espace de Fock. Le spectre exact d’énergie et les fonctions d’onde associées sont obtenus analytiquement. En outre, les générateurs de l’algèbre de Lie sont construits à partir des opérateurs d’échelle généralisés et utilisés pour dériver les états cohérents du système. Enfin, la valeur moyenne du Hamiltonien est évaluée. La formulation proposée fournit un cadre algébrique cohérent pour l’étude de cette classe de systèmes quantiques non hermitiens.
Quantification de variables conjuguées par états cohérents Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Dans ce travail on se concentre sur une méthode alternative de quantification a travers des états cohérents. La méthode canonique associe un pair de variables conjuguées classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont définies comme des opérateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur résolution spectrale, et pourtant sont liés à une mesure à valeur projection (PV). Néanmoins, il existe un empêchement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la définition des opérateurs est décrite par un théorème de W. Pauli et ouvre la voie vers la définition de méthodes alternatives de quantification. La quantification par états cohérents propose une définition d’observable quantique qui prend des valeurs à travers la valeur moyenne sur une famille « cohérente » non-orthogonale et surcomplète de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les états cohérents définis à cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriété d’être des résolutions de l’identité et d’être parametrisés par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulièrement utiles pour « traduire » des variables classiques en opérateurs quantiques bien définis. On a étudié trois cas particuliers ou la définition d’opérateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une définition de l’opérateur de phase, correspondant à l’angle conjugué à l’action classique. En deuxième place on étudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’opérateur d’impulsion problématique est défini proprement. Finalement ont propose un opérateur temps, conjugué au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des états cohérents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincaré
Les matrices hermitiques de trace nulles qui sont associees aux operateurs-densites d'un systeme a n niveaux, forment une representation de l'algebre de lie su(n). Dans cette these, nous avons cherche a utiliser les proprietes formelles de ces algebres pour etudier les proprietes des systemes a n niveaux. Nous examinons d'abord les proprietes instantanees, celles qui ne dependent pas de l'evolution du systeme : positivite des operateurs densites, vecteur de coherence d'un etat pur, vecteurs de coherence d'etats orthogonaux. Les resultats obtenus sont alors utilises pour etudier des systemes dont l'evolution est definie par un hamiltonien. Nous nous interessons en particulier aux constantes du mouvement des systemes composes et aux etats equivalents au sens de jauch. Par la suite, l'etude des systemes a evolution non-hamiltonienne et des systemes composes a necessite de completer la structure d'algebre de Lie. Nous obtenons un espace des vecteurs de coherence dont la structure est definie par un tenseur metrique, par les constantes de structure et par un autre tenseur de rang trois. Le formalisme ainsi defini a ete utilise pour obtenir des restrictions aux valeurs possibles des composantes du superoperateur de redfield. Dans le cas des equations de bloch d'un systeme a deux niveaux nous obtenons des inegalites qui doivent etre verifiees par les temps de relaxation
Au chapitre i, on presente une generalisation, avec les outils de l'analyse harmonique, de l'integrale de feynmann (type integrales de fresnel) a un groupe abelien localement compact en utilisant le theoreme de bochner-weil. Deux formulations sont construites, une convolutive et une oscillante. Au chapitre ii, on propose une presentation axiomatique des etats coherents generalises sur un groupe de lie qui permet d'avoir a la fois les etats coherents generalises de peremolov et les ondelettes de daubechies-grossman et qui permettra d'avoir une decomposition dans certains cas. Au chapitre iii, on donne une formulation hamiltonienne des processus stochastiques ce qui permet un calcul explicite du generateur infinitesimal du groupe des transformations lineaires d'un systeme hamiltonien lineaire. Plusieurs exemples (oscillateurs harmoniques, cordes infinies, mouvement brownien) illustrent cette formulation. L'approche quantifiee presente ici met en evidence l'aspect gaussien des etats coherents. Au chapitre iv, on propose une generalisation de la notion de systeme d'appell a un groupe de lie au moyen de la notion de systeme hamiltonien lineaire. Les systemes d'appell nous permettent dans certains cas d'avoir un aspect discretise des etats coherents. On traite l'exemple du groupe special lineaire sl(2,ir). Au chapitre v, la construction de la phase de berry comme l'holonomie d'un lacet relativement a une connexion particuliere nous a permis de calculer la phase de berry pour un systeme hamiltonien (dynamique) en considerant un chemin particulier construit a partir d'un systeme d'etats coherents generalises
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.
Dans ce travail on se concentre sur une methode alternative de quantification a travers des etats coherents. La methode canonique associe un pair de variables conjuguees classiques et identifie leur crochet de Poisson au commutateur quantique de ses observables quantiques correspondantes. Les observables sont definies comme des operateurs auto-adjoints agissant sur un espace de Hilbert particulier. Leurs valeurs physiques se trouvent dans leur resolution spectrale, et pourtant sont lies a une mesure a valeur projection (PV). Neanmoins, il existe un empechement lorsqu’on impose des bornes sur les ces spectres. Cette restriction sur la definition des operateurs est decrite par un theoreme de W. Pauli et ouvre la voie vers la definition de methodes alternatives de quantification. La quantification par etats coherents propose une definition d’observable quantique qui prend des valeurs a travers la valeur moyenne sur une famille « coherente » non-orthogonale et surcomplete de vecteurs dans l’espace de Hilbert. Les etats coherents definis a cet effet partagent avec ceux de oscillateur harmonique la propriete d’etre des resolutions de l’identite et d’etre parametrises par un indice discret et une variable complexe. Ceci les rend particulierement utiles pour « traduire » des variables classiques en operateurs quantiques bien definis. On a etudie trois cas particuliers ou la definition d’operateurs auto-adjoints est compromise. En premier on propose une definition de l’operateur de phase, correspondant a l’angle conjugue a l’action classique. En deuxieme place on etudie la quantification du mouvement dans un puits infini de potentiel, notamment, l’operateur d’impulsion problematique est defini proprement. Finalement ont propose un operateur temps, conjugue au Hamiltonien, pour une particule libre en utilisant des etats coherents de type SU(1,1) sur des demi plans de Poincare