Ένας σχετικά νέος τομέας ενεργής έρευνας που συνδυάζει την κβαντική οπτική, τη νανοφωτονική και την κβαντική τεχνολογία ασχολείται με τη μελέτη των οπτικών ιδιοτήτων πολύπλοκων φωτονικών δομών που περιέχουν κβαντικά συστήματα, όπως είναι οι κβαντικές τελείες ημιαγωγών και οι πλασμονικές νανοδομές. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εμπίπτει σε αυτό το ερευνητικό πεδίο και παρουσιάζει μια θεωρητική και υπολογιστική μελέτη της οπτικά ελεγχόμενης δυναμικής ημιαγώγιμων κβαντικών τελειών ισχυρά συνδεδεμένων με πλασμονικές νανοδομές. Συγκεκριμένα, μελετάται η ελεγχόμενη μεταφορά πληθυσμών σε καταστάσεις εξιτονίων και δι-εξιτονίων σε ημιαγωγικές κβαντικές τελείες υπό την επίδραση μιας πλασμονικής νανοδομής, χρησιμοποιώντας τόσο συμβατικές όσο και νέες μεθόδους κβαντικού ελέγχου, όπως είναι η χρήση αναλυτικά παραγόμενων παλμών συγκεκριμένου σχήματος, εφαρμογή της μεθόδου ταχείας αδιαβατικής μεταφοράς (εφαρμογή παλμών chirped), εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται σε συντομεύσεις της αδιαβατικότητας και εφαρμογή ειδικά σχεδιασμένων παλμών on-off. Προκειμένου να μελετήσουμε τη συνεκτική αλληλεπίδραση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων με τις συζευγμένες κβαντικές-πλασμονικές νανοδομές συνδυάζουμε υπολογισμούς κβαντικής δυναμικής με ηλεκτρομαγνητικούς υπολογισμούς και επιλύουμε τις σχετικές εξισώσεις πινάκων πυκνότητας. Τα αποτελέσματα της διδακτορικής διατριβής μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την υλοποίηση γρήγορων οπτικών διακοπτών και ευαίσθητων αισθητήρων στη νανοκλίμακα, όσο και για θεμελιώδη προβλήματα της κβαντικής τεχνολογίας, όπως είναι η ελεγχόμενη δυναμική των κβαντικών bits και η παραγωγή περιπλεγμένων ή μεμονωμένων φωτονίων.
Ο φορμαλισμός των ολοκληρωμάτων διαδρομής του Feynman είναι ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία για την κατανόηση των ιδιοτήτων κβαντικών συστημάτων μέσω κλασικών υπολογισμών. Όντας κατάλληλη για ημικλασσικές προσεγγίσεις, η θεωρία των ολοκληρωμάτων διαδρομής προσφέρει μία μεγάλη πληθώρα αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη της δυναμικής κβαντικών συσχετισμών, σε κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα. Η επέκταση των ολοκληρωμάτων αυτών στο μιγαδικό επίπεδο C, μέσω των Glauber συνοχικών καταστάσεων, στο μιγαδικό μη-επίπεδο πολύπτυγμα C ̅ μέσω των su(2) συνοχικών καταστάσεων, και σε φερμιονικά συστήματα, μέσω των φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων, επέτρεψε την εφαρμογή των μεθόδων ολοκληρωμάτων διαδρομής στη μελέτη συστημάτων πολλών σωμάτων. Τα συστήματα αυτά είναι μείζονος σημασίας τόσο για τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης όσο και για την επιστήμη Κβαντικής Πληροφόριας, καθώς επιτρέπουν την ύπαρξη εναγγαλισμένων καταστάσεων. Οι συσχετισμοί τέτοιων καταστάσεων έχουν καθαρά κβαντικό χαρακτήρα, καθώς δεν έχουν κλασικό ανάλογο, και μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την κατανόηση κβαντικών αλλαγών φάσης όσο και ως το βασικό εργαλείο για την επεξεργασία κβαντικής πληροφορίας. Τα τελευταία χρόνια έχει υπάρξει σημαντική πρόοδος στη μελέτη των στατικών ιδιοτήτων και της δυναμικής κλειστών συστημάτων πολλών σωμάτων, σε πειραματικό αλλά και θεωρητικό επίπεδο. Παρά αυτής της προόδου, η χρήση τεχνικών ολοκληρωμάτων διαδρομής στις αντίστοιχες αναλύσεις είναι σχετικά περιορισμένη. Ο κύριος λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι, προς το παρόν, δεν υπάρχει κοινά αποδεκτός τρόπος για τον ορισμό της συναρτησιακής ολοκλήρωσης σε μιγαδικούς χώρους οι οποίοι καλύπτονται από συνοχικές καταστάσεις, για γενικά συστήματα που εκφράζονται από μποζονικούς, σπιν ή φερμιονικούς τελεστές. Απουσία εννοιολογικών και δομικών προβλημάτων, τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων μπορούν να προσφέρουν ποικιλία τεχνικών, αναλυτικών και αριθμητικών, για την ανάλυση κλειστών και ανοικτών συστημάτων. Στην παρούσα διατριβή γίνεται ένα βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση, καθώς ο κύριος στόχος είναι η κατασκευή μίας σειράς από μαθηματικά συνεπείς μεθόδους κατασκευής τέτοιων ολοκληρωμάτων για τη μελέτη μποζονικών, σπιν και φερμιονικών συστημάτων. Επιπροσθέτως, οι μέθοδοι αυτές γενικέυονται για τη μελέτη οδηγούμενων, αλλά και ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Οι τεχνικές που θα χρησιμοποιηθούν για να επιτευχθεί αυτό διαφέρουν σημαντικά για τις περιπτώσεις μποζονικών/σπιν και φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, μια συλλογή από μαθηματικά εργαλεία προερχόμενα από τον τομέα της γεωμετρικής κβάντωσης θα είναι απαραίτητα, καθώς τα ολοκληρώματα διαδρομής μποζονικών και σπιν συνοχικών καταστάσεων μπορούν να ερμηνευτούν ως ολοκληρώματα διαδρομής φασικού χώρου πάνω σε Kahler πολυπτύγματα. Παρόλο που η θεωρία της κβάντωσης πάνω σε συμπλεκτικά πολυπτύγματα είναι ένα πολύ μαθηματικά εκτεταμμένο θέμα, γίνεται προφανές ότι η χρήση συγκεκριμμένων αποτελεσμάτων, όχι μόνο επιτρέπει τη λύση των προβλημάτων που αντιμετωπίζουν τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων με μποζονικές μεταβλητές, αλλά και προσφέρει σαφήνεια σε διφορούμενα θέματα προερχόμενα από τον τομέα της Kahler κβάντωσης. Πιο συγκεκριμένα, η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτρέπει την πρώτη μαθηματικά αυστηρή απάντηση στο ερώτημα σχετικά με την αναγκαιότητα της μεταπλεκτικής διόρθωσης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη κατασκευή μίας απεικόνισης που απο-κβαντώνει κβαντικούς τελεστές, προσφέροντας τις κατάλληλες κλασικές Χαμιλτονιανές συναρτήσεις, για χρήση στην αντίστοιχη ολοκλήρωση διαδρομής. Η προαναφερθείσα απο-κβάντωση επιτυγχάνεται για τους γεννήτορες της άλγεβρας τόσο μποζονικών όσο και σπιν συστημάτων, μέσω της αντιστροφής της διαδικασίας της γεωμετρικής κβάντωσης. Καθώς η υπόθεση οι κυματοσυναρτήσεις να περιέχουν ή όχι διορθώσεις ημι-μορφών, επηρεάζει με μη τετριμμένο τρόπο την αντιστοιχία αυτή τελεστών-συναρτήσεων, τα Χαμιλτονιανά σύμβολα που προκύπτουν οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η σωστή ερμηνεία του συνεχούς ορίου χρειάζεται απαραίτητα την μεταπλεκτική διόρθωση. Με αυτόν τον τρόπο, ως τελικό αποτέλεσμα προσφέρεται μία πολύ απλή απεικόνιση που υπό συγκεκριμένες αλλά καλώς τεκμηρειωμένες φυσικές συνθήκες προσφέρει το σωστό συνεχές όριο για κβαντικά συστήματα που εκφράζονται από τελεστές πρώτης τάξης ως προς τους γεννήτορες των αλγεβρών. Καθώς τα αποτελέσματα αυτά οδηγούν σε καλώς ορισμένα συναρτησιακά ολοκληρώματα, που επιδέχονται αλγεβρική επεξεργασία, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση ανώτερων τάξεων και πολυωνύμων τελεστών, καθώς και για την μελέτη αλληλεπιδράσεων. Η μελέτη τέτοιων περιπτώσεων γίνεται για συγκεκριμένες κλασεις τελεστών, ενώ προτείνονται πιθανοί τρόποι επέκτασης των αποτελεσμάτων. Η περίπτωση φερμιονικών ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων δεν είναι δυνατό να μελετηθεί με τέτοιο τρόπο όμως, καθώς τα φερμιόνια δεν επιδέχονται τέτοιο τύπου συμπλεκτική δομή, με αποτέλεσμα να είναι απαραίτητη η χρήση μίας ριζικά διαφορετικής διαδικασίας. Η κατασκευή μίας τέτοιας διαδικασίας είναι δυνατή με της χρήση κάποιων πρόσφατων αποτελεσμάτων σχετικά με την συνεπή κβάντωση ολοκληρωμάτων διαδρομής Majorana φερμιονικών συστημάτων. Μέσω αυτών των αποτελεσμάτων προτείνεται μία μέθοδος, η οποία οδηγεί σε καλώς ορισμένες δράσεις, κατάλληλες για χρήση σε ολοκληρώματα διαδρομής μιγαδικών φερμιονίων, τα οποία ταυτίζονται με τα ολοκληρώματα διαδρομής φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Η κατασκευή αυτή στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη μελέτη του μονοδιάστατου XY μοντέλου αλυσίδας σπιν, επιτρέποντας τον πολύ απλό υπολογισμό μίας σειράς γνωστών και μη τετριμμένων αποτελεσμάτων για συναρτήσεις συσχετισμού, που δρουν ως έλεγχος σχετικά με την εγκυρότητα της μεθόδου. Κατά την προαναφερθείσα μελέτη, το πρόβλημα αναγνώρισης του σωστού συνεχούς ορίου αναγνωρίστηκε και επιλύθηκε ακόμα και για την περίπτωση συναρτήσεων συσχετισμού, καθώς αποδείχθηκε ότι η αναγνώριση των κατάλληλων συναρτησιακών παραγωγίσεων της γεννήτριας συνάρτησης δεν είναι πάντα η τετριμμένη. Με την καλώς ορισμένη αυτή μέθοδο στη συνέχεια αναπτύχθηκε μία γενικευμένη μέθοδος για τη μελέτη γενικών φερμιονικών και σπιν-1/2 συστημάτων, με ή και χωρίς χρονοεξαρτώμενους συντελεστές. Για την τελευταία περίπτωση, η προαναφερθείσα μέθοδος αναπτύχθηκε στα πλαίσια της θεωρίας δυναμικής εκτός ισορροπίας, όπου κατασκευάστηκε το κατάλληλο ολοκλήρωμα διαδρομής ως προς την Schwinger-Keldysh χρονική διαδρομή. Η μελέτη αυτή οδήγησε σε σημαντικά αποτελέσματα σχετικά με τη συμπεριφορά του συστήματος της μονοδιάστατης ΧΥ αλυσίδας καθώς διέρχεται από το κρίσιμο σημείο, ενώ επιβεβαιώθηκε ο Kibble-Zurek μηχανισμός. Και οι δύο προτεινόμενες λύσεις διαφέρουν από τις υπάρχουσες, καθώς οι γνωστές μέθοδοι είτε εξαρτώνται από τη διακριτή δομή είτε είναι υπερβολικά έμμεσες. Οι μέθοδοι αυτές στη συνέχεια εφαρμόζονται για την μελέτη ανοικτών μποζονικών και φερμιονικών κβαντικών συστημάτων μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης προτείνεται ένα συστηματικός και συνεπής τρόπος για την κατασκευή τέτοιων ολοκληρωμάτων παρουσία σύνθετων συστημάτων, ενώ έμφαση δίνεται στη μελέτη συστημάτων εμβαπτισμένων σε κβαντικό θερμικό λουτρό. Η δομές που κατασκευάζονται εφαρμόζονται στο όριο της Μαρκοβιανής προσέγγισης, η οποία επιτρέπει την πιο άμεση κατανόηση της φυσικής της μεθόδου, ενώ ως παράδειγμα παρουσιάζεται η μελέτη της χρονικής εξέλιξης συναρτήσεων συσχετισμού για τα συστήματα του μποζονικού και του φερμιονικού απλού αρμονικού ταλαντωτή, οδηγώντας σε πλήρη αντιστοιχία με τα γνωστά αποτελέσματα.
Oι «γράφοι» είναι κβαντικές καταστάσεις υψηλής σύμπλεξης που αποτελούν κρίσιμους πόρους στον κβαντική υπολογιστική μέσω μετρήσεων και στις κβαντικές επικοινωνίες. Παρά τη σημασία των φωτονικών γράφων και των λεγόμενων “cluster” καταστάσεων για τις κβαντικές τεχνολογίες, η παραγωγή τους παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες και αποτελεί αντικείμενο τρέχουσας έρευνας. Σε αυτή τη διατριβή, προτείνουμε δύο πρωτόκολλα συγκέντρωσης σύμπλεξης όπου αποσπούμε «γράφους» από ατελείς καταστάσεις γραφήματος που ονομάζονται σταθμισμένες καταστάσεις «γράφοι». Στο πρώτο πρωτόκολλο, αρχικοποιούμε μια σταθμισμένη κατάσταση μιας διάστασης και μετρώντας τον ζυγό αριθμό των κβαντικών bits μπορούμε να εξαγάγουμε τις λεγόμενες “GHZ” καταστάσεις. Μελετούμε επίσης, πώς τα σφάλματα ενός κβαντικού bit επηρεάζουν το πρωτόκολλο και εάν η απόσπαση είναι επαρκής, παρουσία αυτού του τύπου σφάλματος. Στο δεύτερο πρωτόκολλο, γενικεύουμε το πρώτο μας αποτέλεσμα και δείχνουμε ότι μπορούμε να αποσπάσουμε πιο γενικές καταστάσεις. Συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε μια απόσπαση ακμών για κάθε ακμή της κατάστασης γραφήματος αντικαθιστώντας την με μια σταθμισμένη κατάσταση και μετρώντας τρία κβαντικά bits για κάθε ακμή. Σχολιάζουμε την πιθανότητα επιτυχίας του πρωτοκόλλου και εξερευνούμε πιθανές προσαρμοστικές μετρήσεις για να ενισχύσουμε το ποσοστό επιτυχίας.
Quantum Zeno dynamics (QZD) and dynamical decoupling (DD) are useful tools that enable the effective suppression of noise in quantum systems. We consider the problem of when (i) noise can be suppressed and (ii) Heisenberg limit (HL) can be achieved in quantum metrology, and prove necessary and sufficient conditions for when QZD and DD are useful for achieving these two goals. We further show this condition can hold even when the Hamiltonian-not-in-Lindblad-span (HNLS) condition fails, allowing QZD/DD to recover Heisenberg scaling beyond what is certified by the usual HNLS-based quantum error correction (QEC) criterion. Finally, we demonstrate that the combination of both techniques can allow individually imperfect QZD and DD strategies to saturate HL.
Τα τελευταία χρονιά, αντικείμενο μεγάλου ενδιαφέροντος για φυσικούς, μαθηματικούς και επιστήμονες των υπολογιστών είναι η ικανότητα των κβαντικών συστημάτων να κάνουν υπολογισμούς. Κβαντικοί υπολογιστές έχουν κατασκευαστεί σε εργαστήρια χρησιμοποιώντας διάφορες αρχιτεκτονικές. Ωστόσο, τα κβαντικά συστήματα είναι πάντα τρωτά στην αποσυμφωνία λόγω ανεπιθύμητου εναγκαλισμού με το περιβάλλον. Μια ενδιαφέρουσα αρχιτεκτονική για κβαντική υπολογιστική, η Τοπολογική Κβαντική Υπολογιστική, έχει προταθεί ώστε να αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα με την χρήση δισδιάστατων quasiparticles, των anyons, και των ιδιοτήτων τους. Στο Κεφάλαιο 1, δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην κβαντική υπολογιστική και πως ο θόρυβος στο σύστημα μας μπορεί να έχει ανεπιθύμητα αποτελέσματα. Επιπλέον, μια εισαγωγή στην ανταλλαγή σωματιδίων στις 2 διαστάσεις παρουσιάζεται σε σύγκριση με την τρισδιάστατη ανταλλαγή και την σχέση της με την τοπολογία. Στο Κεφάλαιο 2, οι ιδιότητες των δισδιάστατων quasiparticles, anyons, εξερευνώνται. Μας ενδιαφέρει αρκετά πως αυτά τα σωματίδια μπορούν να συντηχθούν και να πλεχθούν και πως αυτό επηρεάζει την φυσική τους κατάσταση. Δύο μοντέλα anyons, τα Ising και Fibonacci anyons, παρουσιάζονται με λεπτομέρεια και οι αναλυτικοί υπολογισμοί για αυτά τα δύο μοντέλα μπορούν αν βρεθούν στο Παράρτημα A. Επί πλέον, δύο φυσικά συστήματα, το κλασματικό κβαντικό Hall φαινόμενο και τα υπεραγώγιμα νανοκαλώδια, μπορούν να φιλοξενήσουν anyons στην μορφή Majorana φερμιόνια παρουσιάζονται. Τελικά, η σύνδεση μεταξύ συστημάτων σπιν και Majorana φερμιονίων διερευνάται. Στο Κεφάλαιο 3, το αντικείμενο της Τοπολογικής Κβαντικής Υπολογιστικής παρουσιάζεται με λεπτομέρεια. Πρώτον, παρουσιάζομαι μια τάξη κωδίκων οι οποίοι χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των τοπολογικών συστημάτων για να επιτύχουν ανθεκτικότητα απέναντι σε σφάλματα. Έπειτα, περισσότερες λεπτομέρειες για το πως να χρησιμοποιήσουμε τα Ising anyons για υπολογισμούς δίνονται. Τέλος, παρουσιάζεται πως το κλασματικό κβαντικό Hall φαινόμενο και τα υπεραγώγιμα νανοκαλώδια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για Τοπολογική Κβαντική Υπολογιστική. Συγκεκριμένα, μια τοπολογικά προστατευόμενη δίοδος Josephson διερευνάται εκτενώς για τις δυνατότητες της σε σύγχρονα συστήματα κυκλωμάτων QED.