En este escrito se estudia cuáles son los fundamentos donde actualmente se encuentra la mecánica estadística. Se ven las dificultades conceptuales que tienen las perspectivas de Gibbs y Boltzmann, como la necesidad de la hipótesis de la ergodicidad y la entropía de cada formalismo. La meta es ver cómo el enfoque dado a los fundamentos de la mecánica estadística entregado por Popescu, Short y Winter en "Entanglement and the foundations of statistical mechanics" concilia estas perspectivas, además de resolver detalles como la naturaleza de la probabilidad en la teoría, haciendo innecesaria la introducción de la hipótesis de ergodicidad. Se replicará el formalismo dado por los autores. Y se finalizará, viendo como Linden, Popescu, Short y Winter en "Quantum mechanical evolution towards thermal equilibrium" usaron el formalismo anterior para demostrar la termalización de sistemas lejos del equilibrio
En este escrito se estudia cuáles son los fundamentos donde actualmente se encuentra la mecánica estadística. Se ven las dificultades conceptuales que tienen las perspectivas de Gibbs y Boltzmann, como la necesidad de la hipótesis de la ergodicidad y la entropía de cada formalismo. La meta es ver cómo el enfoque dado a los fundamentos de la mecánica estadística entregado por Popescu, Short y Winter en "Entanglement and the foundations of statistical mechanics" concilia estas perspectivas, además de resolver detalles como la naturaleza de la probabilidad en la teoría, haciendo innecesaria la introducción de la hipótesis de ergodicidad. Se replicará el formalismo dado por los autores. Y se finalizará, viendo como Linden, Popescu, Short y Winter en "Quantum mechanical evolution towards thermal equilibrium" usaron el formalismo anterior para demostrar la termalización de sistemas lejos del equilibrio
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
Objetivos generales y especificos:
* Large Deviations no-comutativas. (...)
* Propiedades (sobre todo extremales) de la entropia relativa. (...)
* Estados fundamentales de sistemas (de spins) cuanticos. (...)
Pero se espera sobre todo concentrar esfuerzos en los siguientes dos proyectos:
1. Termodinamica de equilibrio para modelos con desorden.
Se pretende continuar con los estudios acerca de los aspectos termodinamicos y dinamicos de modelos importantes en el ambito de los sistemas desordenados. (...) El principal interes concierne a la mecanica estadistica de sistemas de spines cuyas constantes de interaccion tienen componentes aleatorias. Estos modelos estan relacionados con los modelos conocidos como vidrios de spin y el principal objetivo consiste en obtener informacion acerca de los diagramas de fases. (...)
2. Efectos no-adiabaticos en dinamica molecular.
El proyecto tiene como objetivo general el estudio de aspectos conceptuales y computacionales de la dinamica de sistemas que involucran dos tipos de grados de libertad asociados usualmente con masas muy diferentes. Tal es el caso de los sistemas moleculares en los cuales las masas nucleares y electronicas difieren en tres ordenes de magnitud. La investigacion se centrara en situaciones en que falla la hipotesis (usual) de adiabaticidad. (...)
Se estudiaran en un principio las bases matematicas y conceptuales de los algoritmos de calculo numerico conocido como surface hopping methods. (...)
Se reexaminara la base teorica de los metodos actuales para el estudio de fenomenos no adiabaticos. Se intentara el desarrollo de nuevos algoritmos de calculo basados en las expansiones asintoticas de Hagedorn.
La hipótesis de termalización de autoestados (ETH, por sus siglas en inglés) es una teoría clave para comprender cómo los sistemas cuánticos aislados alcanzan el equilibrio termodinámico. Constituye el núcleo teórico de este trabajo, que se estructura en una parte teórica y una parte de experimentos numéricos realizados en un sistema físico. En la primera parte, se analizan las dificultades a las que se enfrenta la física estadística a la hora de definir la ergodicidad, la termalización o el caos en sistemas cuánticos, conceptos fáciles de definir mediante la mecánica clásica. Se introduce la teoría de matrices aleatorias, el teorema ergódico cuántico y la ETH, que se aplican a este tipo de sistemas. Las hipótesis de la ETH, sin embargo, no son compatibles con el fenómeno de la ruptura de simetría, por lo cual se trabajaría con una generalización adecuada para estudiar este fenómeno. La ruptura de simetría, que es un caso especial de degeneración, nos lleva a estudiar las transiciones de fase cuánticas, un fenómeno que ocurre exclusivamente en presencia de comportamiento cuántico. La segunda parte del trabajo trata la aplicación directa de estos conceptos y teorías al modelo de Bose-Hubbard de dos pozos con condiciones de contorno periódicas, que tiene una simetría discreta de reflexión. Se estudia el espectro del hamiltoniano y la evolución temporal de un estado inicial con simetría rota, mediante un parámetro de orden. Se comprueba que en este sistema ocurre una ruptura espontánea de simetría, que lleva al incumplimiento de la ETH generalizada. Esta ruptura de simetría es causa de una transición de fase cuántica, de la que se ha determinado el punto crítico.
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
El material de este artículo está dividido en cinco secciones. En la Sec. I se discuten brevemente las características básicas de los sistemas cuánticos, haciendo hincapié en sus propiedades estocásticas. En la Sec. II se describe una versión de la mecánica cuántica estocástica, que demuestra que es posible leer el formalismo cuántico en términos estocásticos. En la Sec. III se describen los elementos de la electrodinámica estocástica y se discuten sus posibilidades y limitaciones como teoría fundamental de los sistemas cuánticos. En la Sec. IV se presenta una reformulación reciente de esta teoría, que supera las limitaciones de la teoría discutida en la sección anterior. Finalmente, en la Sec. V se discuten muy brevemente los teoremas de EPR, von Neumann y Bell. La presentación es didáctica e incluye una amplia lista de referencias, pero se omiten en lo general los detalles de las derivaciones.
La necesidad de lograr una mayor comprensión en el problema cuántico de muchos cuerpos ha motivado que en los últimos años una considerable cantidad de esfuerzo se haya centralizado en la búsqueda y análisis de aproximaciones de orden superior a las proporcionadas por las teorías usuales de campo medio. En el estudio de sistemas de una o muchas partículas, tanto dentro como fuera del equilibrio, la inferencia estadística de aquellos observables en base a los cuales es posible realizar una descripción adecuada del correspondiente problema, constituye un tema que despierta real interés. Creemos que el enfoque de la Mecánica Estadística proporcionado por la Teoría de la Información, brinda el marco apropiado para atacar este tipo de problemas. Por tal motivo, en esta tesis hemos investigado métodos de inferencia estadística basados en conceptos relacionados con la Teoría de la Información, tanto desde el punto de vista estático como dinámico. El propósito básico de esta tesis es desarrollar herramientas teóricas, basadas en la Teoría de la Información, que permitan aunque sea parcialmente, ir más allá de los esquemas tradicionales que provee el formalismo de Hartree-Fock (HF). Como se verá en los capítulos siguientes, la inferencia estadística ofrece un promisorio panorama para la descripción de las correlaciones cuánticas que los métodos tipo HF no pueden abordar.