Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Cette thèse se concentre sur le traitement de l’information quantique à l’aide d’un dispositif supraconducteur, en particulier sur la réalisation de portes quantiques et d’algorithmes dans des systèmes quantiques ouverts. Un tel dispositif est construit par des qubits supraconducteurs de type transmon couplés à un résonateur supraconducteur. Pour la réalisation des portes quantiques et des algorithmes, une approche en une seule étape est utilisée. Nous proposons des schémas plus rapides et plus efficaces pour réaliser des portes de X-rotation et des portes d’enchevêtrement pour deux et trois qubits. Au cours de ces opérations, le nombre de photons du résonateur est annulé en raison du fort champ de micro-ondes ajouté. Elles ne nécessitent pas que le résonateur soit initialement préparé dans l’état de vide et les schémas est insensible à la désintégration du résonateur. En outre, la robustesse de ces opérations est démontrée en incluant l’effet de la décohérence des systèmes transmon et la désintégration du résonateur dans une équation maîtresse, ce qui permet d’obtenir une grande fidélité dans la simulation quantique. En outre, en utilisant les portes de X-rotation mises en oeuvre ainsi que les portes de phase, nous présentons une autre façon de mettre en oeuvre l’algorithme de Grover pour deux et trois qubits qui ne nécessite pas une série de portes simples. En outre, nous démontrons en simulant numériquement l’utilisation de la tomographie des processus quantiques pour caractériser pleinement la performance d’une porte d’enchevêtrement à un seul coup pour deux et trois qubits et nous obtenons des fidélités de processus supérieures à 93%. Ces portes sont utilisées pour créer des états intriqués de Bell et de Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ).
Circuits Josephson quantiques en présence de champs forts Dans cette thèse, nous étudions le comportement de circuits Josephson sous l'action de champs microondes forts. Les circuits Josephson dans le régime quantique sont une brique pour émuler une variété d'hamiltoniens, utiles pour traiter l'information quantique. Nous étudions ici le transmon, constitué d'une jonction Josephson et d'un condensateur en parallèle. À travers des simulations numériques et en comparant aux résultats expérimentaux, nous montrons que ces champs conduisent à une instabilité qui envoie le circuit sur des états qui ne sont plus confinés par le potentiel Josephson en cosinus. Quand le transmon occupe de tels états, le circuit se comporte comme si la jonction avait été remplacée par un interrupteur ouvert et toute non-linéarité est perdue, ce qui se traduit par des limitations sur les amplitudes maximales des hamiltoniens émulés. Dans une deuxième partie, nous proposons et étudions un circuit alternatif basé sur un transmon avec une inductance en parallèle, qui fournit un confinement harmonique. La dynamique de ce circuit est stable et bien capturée par un modèle moyennisé qui fournit alors un outil pratique pour l'analyse analytique ou les simulations rapides. Nous avons développé un nouvel outil de simulations modulaire et basé sur la théorie de FloquetMarkov pour permettre de simuler facilement d'autres circuits Josephson en évitant les limitations des analyses perturbatives. Enfin, nous étudions les propriétés d'une version asymétrique du Josephson Ring Modulator, un circuit actuellement utilisé pour l'amplification et la conversion, comme source de non-linéarité pour émuler les hamiltoniens d'interaction à deux et quatre photons requis pour l'encodage de l'information quantique sur des états de chats de Schrödinger.
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
Le développement de la Théorie du Calcul Quantique provient de l'idée qu'un ordinateur est avant tout un système physique, de sorte que ce sont les lois de la Nature elles-mêmes qui constituent une limite ultime sur ce qui peut être calculé ou non. L'intérêt pour cette discipline fut stimulé par la découverte par Peter Shor d'un algorithme quantique rapide pour factoriser un nombre, alors qu'actuellement un tel algorithme n'est pas connu en Théorie du Calcul Classique. Un autre résultat important fut la construction par Lov Grover d'un algorithme capable de retrouver un élément dans une base de donnée non-structurée avec un gain de complexité quadratique par rapport à tout algorithme classique. Alors que ces algorithmes quantiques sont exprimés dans le modèle ``standard' du Calcul Quantique, où le registre évolue de manière discrète dans le temps sous l'application successive de portes quantiques, un nouveau type d'algorithme a été récemment introduit, où le registre évolue continûment dans le temps sous l'action d'un Hamiltonien. Ainsi, l'idée à la base du Calcul Quantique Adiabatique, proposée par Edward Farhi et ses collaborateurs, est d'utiliser un outil traditionnel de la Mécanique Quantique, à savoir le Théorème Adiabatique, pour concevoir des algorithmes quantiques où le registre évolue sous l'influence d'un Hamiltonien variant très lentement, assurant une évolution adiabatique du système. Dans cette thèse, nous montrons tout d'abord comment reproduire le gain quadratique de l'algorithme de Grover au moyen d'un algorithme quantique adiabatique. Ensuite, nous montrons qu'il est possible de traduire ce nouvel algorithme adiabatique, ainsi qu'un autre algorithme de recherche à évolution Hamiltonienne, dans le formalisme des circuits quantiques, de sorte que l'on obtient ainsi trois algorithmes quantiques de recherche très proches dans leur principe. Par la suite, nous utilisons ces résultats pour construire un algorithme adiabatique pour résoudre des problèmes avec structure, utilisant une technique, dite de ``nesting', développée auparavant dans le cadre d'algorithmes quantiques de type circuit. Enfin, nous analysons la résistance au bruit de ces algorithmes adiabatiques, en introduisant un modèle de bruit utilisant la théorie des matrices aléatoires et en étudiant son effet par la théorie des perturbations.