Chapitre 4. Premières applications de l’équation de Schrödinger

Bruno Mansoulié

Jules Fillette, Julien Froustey, Hugo Roussille

Mazyar Mirrahimi

Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.

Ryan Arseneault

"Notre but dans cet ouvrage sera de tenter d'apporter une contribution à la visualisation de la mécanique quantique. Nous avons trois volets d'études qui sont plus ou moins reliés entre eux, mais qui ont tous ce même but. Dans le chapitre 2, nous y survolons le formalisme de la théorie quantique nécessaire à la compréhension des trois sujets à l'étude. Nous y clarifions la définition de vecteurs d'états, d'opérateurs et d'espaces vectoriels (fini ou infini dénombrable et infini non-dénombrable). Dans notre premier volet, au chapitre 3, nous y étudions la correspondance entre la base des coordonnées et la base des quantités de mouvement. Plus spécifiquement, nous y comparons la démarche de résolution de l'équation de Schrôdinger dans chacune de ces deux bases."

Michel Le Bellac

Avant-proposCe livre est issu de cours donnés à l'Université de Nice-Sophia Antipolis dans les années 1970/1980 en maîtrise de physique et en DEUG MP deuxième année, et ensuite dans les années 2000 en licence (L3) et en master de physique M1 et M2.Il est divisé en un tome 1 : "Fondements" et un tome 2 : "Applications".Les dix premiers chapitres du premier tome correspondent à un cours standard de mécanique quantique niveau L3, tandis que le chapitre 11 et le deuxième tome sont plutôt du niveau M1 et M2.Le livre contient environ 200 exercices de longueur et de difficulté variées ; plus des trois quarts de ces exercices ont été effectivement utilisés pour des séances de travaux dirigés ou des examens et une sélection de corrigés est disponible à la fin du second tome.En plus des étudiants de licence et de master et ceux des Écoles d'Ingénieurs, ce livre est susceptible d'intéresser un large public de physiciens : étudiants en thèse, chercheurs, enseignants du second degré ou du supérieur qui souhaitent trouver une introduction à la littérature récente ou simplement rafraîchir leurs connaissances en physique quantique.L'organisation du livre diffère notablement de celle des textes classiques, qui prennent tous comme point de départ l'équation de Schrödinger, ce qui oblige à exposer les principes de base de la mécanique quantique dans un cas qui n'est pas le plus simple et a l'inconvénient de masquer ces principes par des calculs souvent fastidieux.Je me suis efforcé au contraire d'introduire les fondements de la mécanique quantique sur les exemples les plus simples et l'équation de Schrödinger apparaît seulement au chapitre 8. L'approche suivie consiste à mener jusqu'à à son terme la logique qu'avait adoptée Feynman (Feynman et al. [1965]) : développer au maximum un traitement algébrique et exploiter les symétries, en présentant la mécanique quantique dans son cadre autonome, sans faire référence à la physique classique.Cette logique a de nombreux avantages.• L'approche algébrique permet de traiter des problèmes simples dans des espaces de dimension finie, par exemple de dimension deux : polarisation d'un photon, spin 1/2, atome à deux niveaux. . .

Albert Messiah