The word particle survives in physics with almost none of its original content. A classical particle is a small object with a definite position at each moment, following a trajectory. Quantum states and amplitudes can interfere, and their predictions are not captured by a classical-particle trajectory ontology. What replaces the classical picture is a classification: Wigner showed that the possible one-particle states of a relativistic quantum theory correspond to irreducible representations of spacetime symmetry, labelled by invariants such as mass and spin. This article follows what the word retains, including the surprising result that particle number is not an observer-independent quantity, and what it has to give up. What is left is discrete detection events, conserved quantum numbers and invariant labels, which is a different kind of answer from a picture. La palabra partícula sobrevive en física casi sin nada de su contenido original. Una partícula clásica es un objeto pequeño con posición definida en cada instante que sigue una trayectoria. Los estados y las amplitudes cuánticos pueden interferir, y sus predicciones no quedan recogidas por una ontología de trayectorias de partículas clásicas. Lo que sustituye a la imagen clásica es una clasificación: Wigner mostró que los posibles estados de una partícula en una teoría cuántica relativista corresponden a representaciones irreducibles de la simetría del espaciotiempo, etiquetadas por invariantes como la masa y el espín. Este artículo sigue qué conserva la palabra, incluido el resultado sorprendente de que el número de partículas no es una magnitud independiente del observador, y qué debe ceder. Lo que queda son sucesos discretos de detección, números cuánticos conservados y etiquetas invariantes, que es una respuesta de otro tipo que una imagen.
The word particle survives in physics with almost none of its original content. A classical particle is a small object with a definite position at each moment, following a trajectory. Quantum states and amplitudes can interfere, and their predictions are not captured by a classical-particle trajectory ontology. What replaces the classical picture is a classification: Wigner showed that the possible one-particle states of a relativistic quantum theory correspond to irreducible representations of spacetime symmetry, labelled by invariants such as mass and spin. This article follows what the word retains, including the surprising result that particle number is not an observer-independent quantity, and what it has to give up. What is left is discrete detection events, conserved quantum numbers and invariant labels, which is a different kind of answer from a picture. La palabra partícula sobrevive en física casi sin nada de su contenido original. Una partícula clásica es un objeto pequeño con posición definida en cada instante que sigue una trayectoria. Los estados y las amplitudes cuánticos pueden interferir, y sus predicciones no quedan recogidas por una ontología de trayectorias de partículas clásicas. Lo que sustituye a la imagen clásica es una clasificación: Wigner mostró que los posibles estados de una partícula en una teoría cuántica relativista corresponden a representaciones irreducibles de la simetría del espaciotiempo, etiquetadas por invariantes como la masa y el espín. Este artículo sigue qué conserva la palabra, incluido el resultado sorprendente de que el número de partículas no es una magnitud independiente del observador, y qué debe ceder. Lo que queda son sucesos discretos de detección, números cuánticos conservados y etiquetas invariantes, que es una respuesta de otro tipo que una imagen.
In current fundamental physics the basic objects are not particles but fields, and the fields are not classical quantities spread through space. A quantum field assigns operators rather than numbers to regions of spacetime, and what a detector calls a particle is an excitation of one. That inversion explains things the particle picture cannot: why all electrons are exactly alike, why particle number changes in interactions, and why the ground state is not empty in the ordinary sense. The theory is also strictly local in a specific technical sense that coexists with the correlations Bell identified. This article sets out the structure, the evidence, and the point at which the question of what a quantum field is stops having a settled answer. En la física fundamental actual los objetos básicos no son partículas sino campos, y los campos no son magnitudes clásicas extendidas por el espacio. Un campo cuántico asigna operadores, y no números, a regiones del espaciotiempo, y lo que un detector llama partícula es una excitación de uno de ellos. Esa inversión explica cosas que la imagen corpuscular no puede: por qué todos los electrones son exactamente iguales, por qué el número de partículas cambia en las interacciones y por qué el estado fundamental no está vacío en el sentido ordinario. La teoría es además estrictamente local en un sentido técnico preciso que convive con las correlaciones que identificó Bell. Este artículo expone la estructura, la evidencia y el punto en que la pregunta de qué es un campo cuántico deja de tener respuesta asentada.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
In classical physics, the ‘state’ of a particle, at any particular time, is taken to involve a definite position in space and a definite motion; and the state of a system of particles is taken to involve a definite position in space and a definite motion for each of the particles. The situation in relation to quantum mechanics is completely different. As in classical physics, calculations can be made concerning the position and motion of a particle. However, this representation is not by means of symbols for scalar or vector quantities: it is by a more complex mathematical object. This quantum state does not indicate or represent position or motion in any direct way: what it does in substance is to enable calculation of the probability of the particle in question being found to have a position or momentum if an appropriate measurement is made.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
INDIVIDUALAtomism in its latest form is called quantum mechanics.It has extended its range to comprise, besides ordinary matter, all kinds of radiation, including light-in brief, all forms of energy, ordinary matter being one of them.In the present form of the theoiy the "atoms" are electrons, jorotons, photons, mesons, etc.The generic name is elementary particle, or merely particle.The term "atom" has very wisely been retained for chemical atoms, though it has become a misnomer.This essay deals with the elementary particle, more particularly with a certain feature that this concept has acquired-or rather lost in quantum mechanics.I menn this : That the elementary particle is not an individual; it cannot be identified, it lacks "sameness."The fact is known to every physicist, but is rarely given any prominence in surveys readable by nonspccialists.In technical language it is covered by saying that the particles "obey" new-fangled statistics, either Einstein-Bose or Fermi-Dirac statistics.The implication, far from obvious, is that the unsuspected epithet "this" is not quite prop- erly applicable to, say, an electron, except with caution, in a restricted sense, and sometimes not at all.My objective here is to explain this point and to give it the thought it deserves.In order to create a foil for the discussion, let me summarize in sections 2-5 what we are usually told about particles and waves in the new physics.2. CURRENT VIEWS: THE AMALGAMATION OF PARTICLES AND WAVES Our image of the material world had been made up of two kinds of "fittings"-waves and particles.The former were instanced mainly, if not exclusively, by Maxwell's waves of electromagnetic energy, comprising such as are used in radio, light, X-rays, and gamma-rays.Material bodies were said to consist of particles.One
INDIVIDUALAtomism in its latest form is called quantum mechanics.It has extended its range to comprise, besides ordinary matter, all kinds of radiation, including light-in brief, all forms of energy, ordinary matter being one of them.In the present form of the theoiy the "atoms" are electrons, jorotons, photons, mesons, etc.The generic name is elementary particle, or merely particle.The term "atom" has very wisely been retained for chemical atoms, though it has become a misnomer.This essay deals with the elementary particle, more particularly with a certain feature that this concept has acquired-or rather lost in quantum mechanics.I menn this : That the elementary particle is not an individual; it cannot be identified, it lacks "sameness."The fact is known to every physicist, but is rarely given any prominence in surveys readable by nonspccialists.In technical language it is covered by saying that the particles "obey" new-fangled statistics, either Einstein-Bose or Fermi-Dirac statistics.The implication, far from obvious, is that the unsuspected epithet "this" is not quite prop- erly applicable to, say, an electron, except with caution, in a restricted sense, and sometimes not at all.My objective here is to explain this point and to give it the thought it deserves.In order to create a foil for the discussion, let me summarize in sections 2-5 what we are usually told about particles and waves in the new physics.2. CURRENT VIEWS: THE AMALGAMATION OF PARTICLES AND WAVES Our image of the material world had been made up of two kinds of "fittings"-waves and particles.The former were instanced mainly, if not exclusively, by Maxwell's waves of electromagnetic energy, comprising such as are used in radio, light, X-rays, and gamma-rays.Material bodies were said to consist of particles.One