量子系のモンテカルロ・シミュレーション(物性研究と計算物理,研究会報告)
Masuo Suzuki
T-(T-T c ) -A(2 .1) のよ うな異常性 によって特徴づけ られ る｡ ここに, 』は,臨界緩和指数 と呼ばれ る指標である｡ 動的 な分子場理論 1 7 )では, 』-1であ り,v a n Ho v e のc o n v e n t i o n a lt h e o r yでは, 』 -γ( 但 し, 再 ま秩序パ ラメタの応答 の臨界指数 )で ある｡実際 は,例 えば,動的 イジング模型 1 7 ) , 1 8 )このことは確 かめ られ ている｡ いずれに して も, この よ うに,臨界点近傍 では,平衡 に近づ く時間が極 めて長 いため,モ ン テカル ロ ･シ ミュレーシ ョンで研究す る場合,計算時間が長 くかか り過 ぎるとい う問題 が起 る｡ これ を克服す るには,有 限サイズ ･スケー リング理論2 3 ) , 2 4 )を用 いて,モ ンテカル ロ ･シ ミュレ ーシ ョンの結果 を解析す るか,モ ンテカル ロ･くり 込み群 の方法9 ) , 2 5 )を用い るのが有効 である｡ a ) 有限サイズ ･スケー リング理論 2 3 ) , 2 4 ) これ は,秩序 パ ラメタ,例 えば,磁性体 の磁化 7 7 t が,それ に共役 な外場,例えば,磁場 kと 温度差 6-(T-T c) /T c, 及 び体系のサイズ Lとの関数 として,次のよ うなスケー リング則 2 4 ) 7 n(E ,A ,L,i )-LI Py f( k6 -P∂ , e Ll / y ,t L l ( 2 ･ 3) を充 す とい うことを主張す るものである｡ 但 し, ここに,P,♂ , U , Zは, 通 常 の臨界 指数 で あ る2 1 )特に,動的 臨界指数 Zは,( 2 .1)の Aと,A-リ Zによって関係 している｡ (2 .3)を数 値計算 の結果 に フイッ トさせて,P / U ,P∂ ,y , Z等 を決定す ることが出来 る｡例 えば,サイズ Lの体系では,臨界点 T ｡ 上 での磁化 M ( L) ,比熱 C,磁化率 x o( すべて 1ス ピン当 り )t ま, M( L) -Ld -A / V ,C-L2/y-a,x o -L2 -か (2 ･ 4) となる｡(2 .4)の最後 の式か ら,相 関の臨界指数 符を求 めることが出来 る｡また緩和時間 T は, 7 .-上 Z -3 9 4-(2 .5) 量子系のモンテカルロ･シミュレーション によって,計算す るこ とがで きる｡ b ) モ ンテカル ロ ･く り込み群 の方法 これ は, くり込み群 の理論 におけ る自由度 の消去,す なわ ち,セル内のス ピンの トレースを, モ ンテカル ロ法 を用 いて計算機 で実行す る方法であ り,大変有効 である｡ この方法は,a ) の方法 と共 に今後大 いに利用 され るであろ う｡特 に,量子 ス ピン系に も有効に 利用 され るよ うになってきた9 .)ノルムを表 わすo したが って, ‖ A j 日 が有 限な らば, P ･ i -( 岩 e x p( 三A , ) ) n -e x p( j; l A j ) (3 ･ 2) n → ∞) = 1 が成 り立っoす なわち,非可換 な演算子 A jの和 の指数 関数 を,そ れ ぞれ の指数 関数 の積 で近 似す るこ とが出来 る｡そ の精度 は一般 に,1 / nのオー ダで,nの増 加 と共 に よ くなる｡(3 .2) 式 の両辺 を,適 当な表示 を用 いて,行列要素で表現す ると,左辺には, 中間状態が n-1個現 れ るため,く く n一方向 D に次元が一つ増 した体系に変換 され る｡ も し,ノ ､ミル トニア ンが,短距 離カ の局所的な相互作用 の和で表わ され るな らば,上 の公式 (3 .2)で,左辺の等価な相互作用 は,や は り,局所的な ものにな ることが容 易にわか る3 .)こ うして, d次元量子 系の状 態和 は, 適 当な (a +1)次元の古典系の状態和 と等 しくな り,結局,量子系 のモ ンテカル ロ法が可能 と なる2 .) -4 ) 以下に, この方法に基づ く研究の要点 と問題点 を列挙 したい｡ a ) s u z u k i -Mi y a s h i t a -Ku r o d a 4 ) これ は,
物性研究•Feb 20, 1984•0 citations