The Whole Can Be Better Known Than Its Parts ── The von Neumann Entropy as a Third Address: What It Means for a Conditional Entropy to Be Negative ── [Paper 162]

Abstract

There are states about which the whole is completely known and the parts are not known at all. Paper 88 wrote that under the single word entropy there are two different quantities, the coarse-grained one and the horizon-area one. This paper adds a third address: the von Neumann entropy. NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED. The von Neumann entropy, subadditivity, the Araki-Lieb triangle inequality and the negativity of the conditional entropy are all standard. Nothing in Paper 88 is retracted: the separation of the two entropies stands, and a third is simply added. First, it is not Shannon's entropy quantised. Shannon's entropy requires a probability distribution, and a quantum state does not come with one, since a different distribution appears for each basis one measures in. Collecting the Shannon quantity over twenty thousand measurement bases for random single-qubit mixed states, the value measured in the eigenbasis equalled the von Neumann entropy to machine precision, with a difference of zero in all four cases, while random bases only approached it from above. The von Neumann entropy is therefore the smallest Shannon quantity obtainable by measurement: in any other basis, more disorder is reported than the state actually holds. The two start from different data - Shannon is handed a distribution and returns a number, while von Neumann is handed a state and chooses the distribution himself. Second, unitary evolution does not change it at all. Over four thousand random four-dimensional density matrices and random unitaries, the largest change was 2.33 times ten to the minus fifteen. It is exactly conserved for a closed system. So the von Neumann entropy cannot by itself be the arrow of time: the arrow requires something non-unitary, a partial trace, a measurement or a coarse-graining (Papers 77, 78 and 88). Third, and this is the core. The whole can carry less than a part. For the singlet state the entropy of the pair is zero, being a pure state, while either half alone has entropy 0.6931471806, that is the natural logarithm of two. Classically this cannot happen: drawing two hundred thousand random two-by-two joint distributions and measuring the entropy of the whole minus the larger of the two parts, the smallest value found was 0.007226 and it was never once negative. Classically, knowing the whole includes knowing the parts; quantum mechanically it does not, and there are states about which the pair is completely known and either half alone is not known at all. This is not a statement that quantum systems are more disordered: an entropy of zero for the pair says there is no disorder whatever. It says only that the information has been placed in the correlation rather than in the parts. Fourth, the conditional entropy therefore turns negative. For the singlet it is minus 0.6931471806, that is minus the logarithm of two, while over the same two hundred thousand classical draws the smallest value was 0.009555. The classical conditional entropy is bounded below by zero and the quantum one reaches minus the logarithm of two - the two do not even share a sign convention, being written with the same symbol and called by the same name while having different ranges. Negative entropy is not a figure of speech but has an operational meaning, readable as a resource for future use in quantum state merging; this paper does not enter that interpretation, since what can be written is that the value is negative, and its address. Fifth, what stands in its place. Over twenty thousand random two-qubit states of random rank, subadditivity and the Araki-Lieb triangle inequality were violated zero times, and the singlet lies exactly on the boundary of the triangle inequality, the difference between the parts being zero and the whole being zero as well. The classical inequality is not weakened but replaced. The census. The coarse-grained entropy lives in the observer's resolution and is moved by changing the coarse-graining (Papers 77, 78, 88). The horizon-area entropy lives in the boundary area and dimension and is moved by changing the area (Papers 73, 88). The von Neumann entropy lives in the spectrum of the density matrix and is moved only by a non-unitary operation. Three quantities under one word: the first lives in the observer, the second in the boundary, and the third in the state itself. Of the three, only the third is unchanged by the passage of time. Entanglement entropy is known to obey an area law in field theory, so there is a rhyme between the third and the second. This paper does not write that they share a root: one is fixed by the choice of subsystem, the other by geometry. The line Paper 88 drew, that the only relation is a bound, is not crossed here either. IMPORTANT (scope): a census of established standard material (Layer 2). What is not claimed: any new physical law (there is none) / any retraction of Paper 88 (there is none) / an interpretation of negative entropy (not entered). What is added: measuring that the eigenbasis Shannon quantity equals the von Neumann entropy, checking unitary invariance numerically, confirming on two hundred thousand samples that the classical inequality never fails and setting it against the quantum minus logarithm of two, and writing for each of the three entropies what must be moved for it to move. What remains: there are states about which the whole is completely known and the parts are not known at all. In classical language that sentence contradicts itself. It does not contradict itself because the information has been placed not in the parts but between them. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 全体について完全に知っていながら、部分については何も知らない——そういう状態がある。 論文88 は「エントロピー」という一語のもとに二つの別物——粗視化のものと地平線の面積のもの——があると書いた。本稿は第三の住所を加える:フォン・ノイマンのエントロピーである。新しい物理法則は主張しない。フォン・ノイマンのエントロピー、劣加法性、荒木=リーブの三角不等式、条件付きエントロピーの負値は、いずれも標準的な内容である。⚠️ また論文88 の内容を撤回しない——二つのエントロピーの分離はそのままで、三つ目を足すだけである。 第一に、これはシャノンを「量子化」したものではない。シャノンのエントロピーには確率分布が要る。ところが量子状態には、分布が一つ付いてはいない——どの基底で測るかによって違う分布が出るからである。無作為な一量子ビットの混合状態について二万通りの基底で測ってみると、固有基底で測ったときのシャノン量がフォン・ノイマンのエントロピーに機械精度で一致し(四例とも差ゼロ)、無作為な基底は上からしか近づかなかった。すなわちフォン・ノイマンのエントロピーは「測ったときのシャノン量の最小値」である。どの基底で測っても、状態が実際に持っている以上の乱雑さが報告される。⭐ 出発点が違うのである——シャノンは分布を渡されて数を返し、フォン・ノイマンは状態を渡されて分布そのものを自分で選ぶ。 第二に、ユニタリ発展では一切変わらない。四次元の無作為な密度行列と無作為なユニタリを四千組取って測ると、最大変化は 2.33 かける十のマイナス十五乗であった。閉じた量子系では厳密に保存される。ゆえにフォン・ノイマンのエントロピーは、それ自体では時間の矢になりえない——矢が要るのは非ユニタリな操作、すなわち部分トレース・測定・粗視化のほうである(論文77・78・88)。 第三に、これが本稿の芯である。全体のほうが部分より小さいことがある。一重項状態では、二つ合わせた系のエントロピーがゼロ(純粋状態)なのに、片方だけを見るとその値は 0.6931471806、すなわち ln 2 になる。古典では起こりえない:二かける二の同時分布を二十万個無作為に引いて、全体のエントロピーから部分の大きいほうを引いた値を測ると、最小でも 0.007226 で、一度も負にならなかった。古典では、全体を知ることは部分を知ることを含む。量子ではそうならない——二つを合わせた系については完全に知っていて、片方だけを見ると何も知らない、という状態が存在する。⚠️ ただしこれは「量子のほうが乱雑だ」という話ではない。全体のエントロピーがゼロとは、乱雑さが皆無だということである。情報が部分にではなく相関の側に置かれている、というだけである。 第四に、したがって条件付きエントロピーが負になる。一重項では、全体から部分を引いて マイナス 0.6931471806、すなわち マイナス ln 2 である。同じ二十万個の古典分布では最小でも 0.009555 だった。古典の条件付きエントロピーは下からゼロで抑えられ、量子のそれは マイナス ln 2 に届く——二つは符号の約束すら共有していない。同じ記号で書かれ、同じ名前で呼ばれているが、値域が違う。⚠️ なお「負のエントロピー」は言葉の綾ではなく操作的な意味を持つ(量子状態併合における「将来使える資源」として読める)が、本稿はその解釈には立ち入らない。書けるのは、値が負になるという事実と、その住所までである。 第五に、代わりに何が残るか。無作為な二量子ビット状態を二万個(階数も無作為に)取って調べると、劣加法性も荒木=リーブの三角不等式も破れがゼロだった。しかも一重項は三角不等式の境界にちょうど乗っている(部分どうしの差がゼロ、全体もゼロ)。古典の不等式は弱められたのではなく、別の不等式に置き換わっているのである。 点呼をしておく。粗視化のエントロピーは観測者の解像度に住み、動かすには粗視化を変える(論文77・78・88)。地平線の面積エントロピーは境界の面積と次元に住み、動かすには面積を変える(論文73・88)。フォン・ノイマンのエントロピーは密度行列のスペクトルに住み、動かすには非ユニタリな操作が要る。一語の下に三つの量があり、一つ目は観測者に、二つ目は境界に、そして三つ目は状態そのものに住んでいる。三つのうち、時間の経過で変わらないのは三つ目だけである。 ⚠️ 絡み合いエントロピーが場の理論で面積則を示すことは知られており、三つ目と二つ目のあいだに韻がある。だが本稿はそれを同根とは書かない——片方は部分系の選び方で決まり、他方は幾何が決める。論文88 が「結ぶのは上限だけ」と書いた線を、ここでも越えない。 重要(射程):確立された標準的事実の点呼(第2層)。示さないこと:新しい物理法則(一つもない)/論文88 の撤回(一つもない)/負のエントロピーの解釈(立ち入らない)。加えたもの:固有基底のシャノン量が S(ρ) に一致することを測ったこと、ユニタリ不変性を数で確かめたこと、古典側の不等式が破れないことを二十万個の標本で確認して量子側の マイナス ln 2 と対置したこと、三つのエントロピーに「動かすと動くもの」を書いたこと。残るもの:全体について完全に知っていながら、部分については何も知らない——そういう状態がある。古典の言葉では、この文は矛盾している。矛盾していないのは、情報が部分にではなく、部分と部分のあいだに置かれているからである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。