Este trabajo proporciona una descripción general de la dinámica de un sistema cuántico monitorizado por una secuencia de mediciones generalizadas, empleando una ecuación maestra tipo Lindblad. Los resultados obtenidos se aplican a un sistema sencillo compuesto por un único cúbit, donde se examinan los efectos emergentes en la dinámica del sistema en función de las características de la secuencia de mediciones utilizada en la monitorización. De este modo, la monitorización de un sistema se presenta como una herramienta eficaz en el control de su evolución.
Este trabajo proporciona una descripción general de la dinámica de un sistema cuántico monitorizado por una secuencia de mediciones generalizadas, empleando una ecuación maestra tipo Lindblad. Los resultados obtenidos se aplican a un sistema sencillo compuesto por un único cúbit, donde se examinan los efectos emergentes en la dinámica del sistema en función de las características de la secuencia de mediciones utilizada en la monitorización. De este modo, la monitorización de un sistema se presenta como una herramienta eficaz en el control de su evolución.
Se pretende que el alumno desarrolle un proyecto de investigación asociado a la simulación numérica de la dinámica y control de sistemas estocásticos con potenciales aplicaciones en el novedoso campo de las tecnologías cuánticas. Objetivo 1) Utilizar software adaptado al análisis y simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas. Objetivo 2) Modelización y simulación de sistemas lineales estocásticos análogos a sistemas cuánticos lineales. Objetivo 3) Planteamiento de protocolos de control óptimo sobre estos sistemas. Objetivo 4) Simulación de la dinámica y control óptimo de un sistema cuántico lineal. \nEl control es una rama interdisciplinar de la ingeniería y las matemáticas, aplicada al comportamiento de los sistemas dinámicos. Un controlador manipula la entrada o estado inicial del sistema para lograr un efecto deseado en un estado posterior o salida. Hoy en día, prácticamente todo sistema mecánico y electrónico posee un sistema de control asociado, por sencillo que sea. Un sistema de control simple consiste en una acción sobre el sistema y la obtención del resultado esperado sobre el mismo. Sin embargo, para evitar un final abierto, los sistemas realizan, por lo regular, mediciones intermedias sobre sus salidas y con esa información el sistema es retroalimentado para modificar la acción de control reiniciando el ciclo de entrada-salida. Por otra parte, el desarrollo de nuevas tecnologías basadas en dispositivos cuyas leyes vienen dictadas por la mecánica cuántica se ha convertido en una prioridad para el desarrollo tecnológico actual y diversas aplicaciones tales como las comunicaciones, sensores y computadores cuánticos esperan a su desarrollo para ser implementadas. Esto exige que la rama del control cuántico se desarrolle. Sin embargo, algunas cualidades de la mecánica cuántica no permiten pasar fácilmente el esquema del control clásico al ámbito cuántico. Clásicamente, es posible adquirir toda la información necesaria y emplearla de manera eficiente para retroalimentar el sistema y especializar la acción de control al estado actual. Por el contrario, en un sistema cuántico no toda la información es asequible mediante una medición y, además, todo intento de medir el sistema lo perturba de manera notable. Técnicamente, las ecuaciones dinámicas en un proceso tal, son ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales en lugar de las ecuaciones diferenciales deterministas de los sistemas clásicos. En este proyecto, el alumno implementará un software de simulación de sistemas estocásticos adaptado a las peculiaridades de sistemas cuánticos lineales para a continuación, ensayar la validez de diversos protocolos de control óptimo propuestos para estos sistemas
Este trabajo analiza la dinámica de un cúbit en presencia de distintos tipos de ruido cuántico, con el objetivo de comprender su significado físico. Para modelar la evolución del sistema cuántico, se emplean dos enfoques fundamentales: la ecuación maestra de Lindblad y la representación de Kraus, a partir de los cuales se obtiene la dinámica del operador densidad. Además, calculamos la evolución temporal del valor esperado de ciertos operadores mediante dos métodos complementarios: la solución de la ecuación de Lindblad y la simulación de trayectorias cuánticas. Este análisis permite identificar fenómenos característicos del ruido cuántico, como la decoherencia.
La mecánica cuántica introdujo fenómenos novedosos, cuyo aprovechamiento permite \nuna potencial mejora de las tecnologías respecto de aquellas que no cuentan con \nellos. Estas tecnologías son denominadas las \\tecnologías cuánticas", que engloban la \ncomputación cuántica, criptografía cuántica, comunicación cuántica y a los sensores \ncuánticos. En el caso de los sensores cuánticos, sus propiedades cuánticas son utilizadas \ncomo recurso para el proceso de estimación de magnitudes (parámetros) de interés. \nLa máxima precisión admisible, lo que se llama información, depende fuertemente del \nesquema de control implementado en el sensor [11]. \nEn particular, dado que en la cuántica, las mediciones afectan al estado del sistema, \néstas representan un recurso disponible para definir el esquema de control. El \nefecto Zenón cuántico congela la evolución del sistema sensor a través de mediciones \nproyectivas frecuentes, mientras que el efecto anti-Zenón cuántico acelera su evolución \ntemporal. En ambos casos, el control consiste de mediciones estroboscópicas cada algún \nintervalo de tiempo y ha demostrado ser una herramienta de control de la señal de un \nespín al que utilizaremos como sensor. En particular, se encontró experimentalmente \nque esta forma de control reduce la cantidad de parámetros involucrados en la dinámica \n[17] y, en determinadas circunstancias mejora su precisión [11]. \nEn este trabajo, con el objetivo de desarrollar un marco teórico base, consideramos \nel control por mediciones proyectivas de sistema de dos niveles regido por un Hamiltoniano \nindependiente del tiempo, para estimar el acople entre los dos niveles. Este \nmodelo posee los elementos escenciales presentes en dinámicas cuánticas más complejas \npara evaluar la información extraíble utilizando el efecto Zenón cuántico. El acople \nentre niveles induce una dinámica oscilatoria de intercambio de excitación entre un \nnivel y otro, mientras que la separación de energía representa un \\offset", poniendo \nal sistema fuera de resonancia. Encontramos que el tiempo óptimo entre mediciones \nproyectivas para maximizar la información depende de la intensidad del offset. Para \nvalores altos de offset, cuyo valor está denido por el tiempo de evolución del sensor, \nlas mediciones proyectivas son más efcientes para estimar el acople. Denominamos este \nconcepto amplicación de información a través del efecto Zenón cuántico. Ejemplicamos \neste principio mediante la particularización de este desarrollo a sistemas de interés \npráctico. También presentamos un mecanismo de medición alternativa, donde el colap \nso del sistema es causado por la interacción con un ambiente ruidoso. Recuperamos en \nestas circunstancias los resultados obtenidos bajo la suposición de proyección ideal, y \nexploramos la posibilidad de utilizar el colapso parcial inducido por este ambiente bajo \ncortos tiempos de interacción como herramienta para medir parámetros del ambiente \neficientemente y de forma no invasiva.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
Los sistemas cuanticos abiertos pueden observarse continuamente en el tiempo, esto
es, un aparato de medicion esta continuamente acoplado al sistema, esto es, el aparato
de medicion (de forma ideal) esta midiendo el sistema durante todo el intervalo de tiempo
de observacion. El proceso de medicion provee una senal estocastica clasica a partir
de la cual es posible inferir cual es el estado del sistema. Un ejemplo paradigmatico es
el caso de un sistema de dos niveles acoplado a un campo de radiacion laser externa
(sistema fluorescente) donde el aparato de medida es un detector de fotones. Recientemente,
se estudio la posibilidad de usar en la reconstruccion del estado del sistema,
no solo la informacion provista por la medicion a tiempos anteriores (prediccion), sino
tambien la senal posterior en el futuro (retrodiccion). El objetivo de este trabajo es
estudiar dicho problema para el caso en que la dinamica del sistema presenta efectos de
memoria (no-Markoviana). La dinamica efectiva corresponde a un sistema
fluorescente
acoplado a un reservorio dotados de distintos estados mesoscopicos cuya dinamica estoc
astica es clasica. Cada estado a su vez influencia la dinamica irreversible del sistema.
Demostramos que, aun cuando el aparato de medida solo provee informacion sobre la
dinamica cuantica, la pureza de los estados del bano y del sistema son incrementadas
usando la tecnica de retrodiccion.
En este informe se presenta el trabajo desarrollado como estudiante miembro del semillero de investigación en Información Cuántica y Computación Cuántica, y que fue presentado en eventos científicos como ponencias orales y posters. El trabajo está dividido en dos partes principales. En primer lugar, se llevó a cabo un análisis de distinguibilidad de estados cuánticos por medio de la comparación de la distancia traza y la fidelidad, como métricas en el campo de la información cuántica. Se discutió la dinámica de estados cuánticos de dos qubits mediante la evolución temporal de dichas métricas al considerar la acción de ruido de amortiguación de amplitud sobre un estado inicial. En segundo lugar, se estudió la técnica de los algoritmos cuánticos variacionales (VQAs) como un enfoque para mejorar la precisión de las computadoras cuánticas. Los VQAs aprovechan procesadores clásicos para entrenar circuitos cuánticos mediante redes neuronales y luego se miden utilizando un procesador cuántico. Se presentaron varios sistemas cuánticos simulados utilizando estos algoritmos, comparando la efectividad de la técnica al simular sistemas sin optimización y sistemas optimizados. Se examinó el comportamiento de la función de costo de cada circuito cuántico para diferentes dinámicas de los sistemas simulados. Para realizar las optimizaciones de los circuitos, se utilizó la biblioteca Pennylane en Python, la cual proporciona diversos optimizadores variacionales cuánticos.