Definition and rigorous derivation of effective models in many body quantum mechanics

Abstract

Définition et dérivation rigoureuse de modèles effectifs en mécanique quantique à N corps L'objet de cette thèse est d'étudier la définition et la dérivation mathématiquement rigoureuse de modèles effectifs en mécanique quantique à N corps. En effet, dans ce domaine, il est souvent impossible de calculer de manière exacte des quantités physiquement intéressantes, comme l'énergie fondamentale d'un système, à cause du nombre important de degrés de liberté. Ainsi, l'introduction de modèles effectifs, dépendant par exemple uniquement de la densité locale en particules, permet de calculer ces quantités. Il reste alors à vérifier que le modèle effectif est bien une approximation du modèle exact dans une limite macroscopique, c'est à dire à grand nombre de particules. Par ailleurs, dans certains modèles, certaines quantités physiques (énergie, amplitude de diffusion...) calculées naïvement semblent infinies. Il faut alors renormaliser la théorie, c'est à dire faire disparaître ces divergences (qui ne sont pas observées expérimentalement). Après avoir replacé les résultats de cette thèse dans leur contexte dans l'introduction, on s'intéressera à la renormalisation d'un Hamiltonien bosonique quadratique sur l'espace de Fock -- composé de la somme de la seconde quantification d'un opérateur à une particule et du carré d'un opérateur de champ -- présentant une divergence ultraviolette (venant de singularités locales donc) dans le Chapitre 2. Plus précisément, on cherchera à définir un opérateur auto-adjoint et à montrer qu'il est, au sens des résolvantes, la limite du Hamiltonien avec troncature ultraviolette quand cette troncature tend vers l'infini. Pour cela, on commencera par diagonaliser le Hamiltonien dans le cas régulier, à l'aide de transformations de Bogolioubov. On pourra ensuite montrer que le Hamiltonien diagonalisé (à renormalisation de l'énergie et de la charge près) définit toujours un opérateur auto-adjoint, et montrer la convergence du Hamiltonien avec troncature. Dans un second temps, on étudiera la limite semi-classique de gaz de fermions dans deux régimes différents. Dans le Chapitre 3, on s'intéressera à la limite diluée (c'est-à-dire avec une portée d'interaction très petite devant la distance typique entre particules) d'un gaz de fermions inhomogène (car piégé par un potentiel V), avec des interactions répulsives et en trois dimensions. Du fait du principe d'exclusion de Pauli, deux fermions de même spin ne peuvent que très rarement se trouver assez proches pour interagir, on considérera donc un gaz de fermions à deux composantes de spin. On montrera alors que l'énergie fondamentale d'un tel système peut être approchée, dans la limite grand nombre de particules, par une énergie de type Thomas Fermi, où les interactions jouent le rôle d'une perturbation de l'énergie sans interaction. Ensuite, dans le Chapitre 4, on passera à la limite de champ-moyen (interactions fréquentes mais faibles) d'un gaz de fermions, toujours inhomogène, mais pour des interactions attractives, et en une ou deux dimensions. Là aussi, on montrera la convergence de l'énergie fondamentale vers une énergie de Thomas-Fermi, mais on prouvera également la convergence des états fondamentaux. Plus précisément, on montrera que leurs fonctions de Husimi convergent vers une combinaison convexe de minimiseurs de l'énergie de Vlasov.