Rakstā aprakstīts mans ceļš kā pētniekam matemātikā un teorētiskajā datorzinātnē. Mana interese par matemātiku un programmēšanu sākās pamatskolā ar matemātikas konkursiem un populārām grāmatām par programmēšanu. Universitātē es sāku veikt pētījumus teorētiskajā datorzinātnē. Tas mani noveda pie doktora studijām Kalifornijas Universitātē, Bērklijā. Bērklijā es sāku strādāt jaunā pētniecības jomā: kvantu skaitļošanā. Kvantu skaitļošana apvieno kvantu mehāniku (kas pēta dabas likumus atomu un daļiņu līmenī) ar datorzinātni, izmantojot kvantu fizikas ietekmi ātrākai skaitļošanai vai drošākai datu pārraidei. Mana pētījuma galvenais mērķis bija noteikt, ko mēs varam aprēķināt ar kvantu datoru un kā kvantu datorus var izmantot, lai meklētu lielos datu apjomos. 2007. gadā es atgriezos Latvijas Universitātē un izveidoju kvantu skaitļošanas pētniecības grupu. Mēs sadarbojamies ar citām vadošajām Eiropas pētniecības grupām šajā jomā un esam vadījuši divus Eiropas pētniecības projektus kvantu skaitļošanas jomā.
Rakstā aprakstīts mans ceļš kā pētniekam matemātikā un teorētiskajā datorzinātnē. Mana interese par matemātiku un programmēšanu sākās pamatskolā ar matemātikas konkursiem un populārām grāmatām par programmēšanu. Universitātē es sāku veikt pētījumus teorētiskajā datorzinātnē. Tas mani noveda pie doktora studijām Kalifornijas Universitātē, Bērklijā. Bērklijā es sāku strādāt jaunā pētniecības jomā: kvantu skaitļošanā. Kvantu skaitļošana apvieno kvantu mehāniku (kas pēta dabas likumus atomu un daļiņu līmenī) ar datorzinātni, izmantojot kvantu fizikas ietekmi ātrākai skaitļošanai vai drošākai datu pārraidei. Mana pētījuma galvenais mērķis bija noteikt, ko mēs varam aprēķināt ar kvantu datoru un kā kvantu datorus var izmantot, lai meklētu lielos datu apjomos. 2007. gadā es atgriezos Latvijas Universitātē un izveidoju kvantu skaitļošanas pētniecības grupu. Mēs sadarbojamies ar citām vadošajām Eiropas pētniecības grupām šajā jomā un esam vadījuši divus Eiropas pētniecības projektus kvantu skaitļošanas jomā.
Kvantu modelis ar pēcatlasi tiek definēts Scott Aaronson darbā. Beigu stāvokĜu kopa,\nkas parasti sastāv no akceptējošiem un noraidošiem stāvokĜiem, tiek papildināta ar\nparametru, kas norāda, vai dotais beigu stāvoklis ietilpst atlases kopā. Mērījumi tiek\nveikti tikai atlases kopas beigu stāvokĜos. Tiek ieviests papildus stāvoklis + q , un ja\nvisu pēcatlases stāvokĜu amplitūdas ir 0, tad + q amplitūda saĦem vērtību 1.\nPēcatlase Ĝauj pētīt ne tikai kvantu, bet arī tradicionālo algoritumu īpašības.\nPētījuma mērėis ir salīdzināt varbūtisko un kvantu galīgo pēcatlases automātu klases\nun aprakstīt valodu klases, ko atpazīst kvantu galīgs automāts ar pēcatlasi.\nPētījuma procesā iegūti šādi rezultāti:\n• Definēts kvantu galīgā automāta ar pēcatlasi jēdziens;\n• Aprakstīta valoda PALINDROMES, ko atpazīst galīgs kvantu automāts ar\npēcatlasi ar mērījumu katrā solī un galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar\nmērījumu beigās;\n• Aprakstīta valoda, kuru nevar atpazīt galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar\nmērījumu katrā solī un galīgs kvantu automāts ar pēcatlasi ar mērījumu beigās:\nL = {w | w∈{0,1}* and there exist x, y,u, z such that w = x1y = u1z and\nx = z }\nViens no promocijas darba uzdevumiem ir aplūkot kvantu vaicājošos algoritmus Bula\nfunkciju rēėināšanai. Darba sākumā tiek pierādīti kvantu algoritmu apakšējie\nnovērtējumi dažādām funkcijām, kas apraksta grafu problēmas. Ir izveidoti efektīvi\nkvantu vaicājošie algoritmi. Šajā sadaĜā iegūti rezultāti sekojošām funkcijām:\n• 3-sum problēma,\n• Hamiltona ceĜš,\n• Hamiltona aplis,\n• CeĜojošais pārdevējs.\nVēl promocijas darbā tiek apskatīta reāla laika Tjūringa mašīnas kvantu analoăija.\nTiek parādīts, ka eksistē valoda, kuru pazīst reāla laika kvantu Tjūringa mašīna un\nnepazīst reāla laika determinēta Tjūringa mašīna.
Kvantu skaitļošana ir datorzinātnes apakšnozare, kas balstās uz kvantu mehānikas likumiem. \nKvantu vaicājošais algoritms ir galvenais pētāmais objekts. Galvenais darba mērķis ir padarīt \nkvantu algoritma konstruēšanu pēc iespējas vienkāršāku. \nPētījumā ir aprakstīti kvantu vaicājošie algoritmi, kas rēķina Būla funkcijas uzdodot nelielu \nskaitu vaicājumu, un tiek piedāvāti kvantu vaicājošie algoritmi daudzvērtīgu funkciju \naprēķināšanai. Darbā ir aprakstīti vairāki efektīvi kvantu algoritmi konkrētu uzdevumu veikšanai. \nPaši nozīmīgākie ir kvantu vaicājošie algoritmi ar ierobežotu kļūdu, piemēram, piedāvāts algoritms \ndivu bitu AND Būla funkcijai, kas izmanto vienu vienīgu vaicājumu un izsniedz pareizu atbildi ar \nvarbūtību 9/10. Katrai aprakstītajai funkciju kopai ir veikta pamatīga kvantu un klasiskās \nsarežģītības analīze. \nPēdējā pētījuma daļa ir veltīta Būla funkcijām ar zemas pakāpes polinomiem, kuri \nreprezentē dotās funkcijas. Darbā piedāvātie paņēmieni ļauj uzkonstruēt Būla funkcijas ar \npietiekami lielu intervālu starp funkcijas determinēto sarežģītību un reprezentējošā polinoma \npakāpi. \nAtslēgas vārdi: kvantu skaitļošana, vaicājošais modelis, vaicājošais algoritms, daudzvērtīga \nfunkcija, zemas pakāpes Būla funkcija
Kvantu dizaini ir simetriskas vektoru konfigurācijas daudzdimensiju telpā. Pazīstamākie no tiem ir MUBu pilnas sistēmas un SIC-POVMi. Tie tiek pielietoti kvantu stāvokļu mērīšanā (kvantu tomogrāfijā), kvantu kriptogrāfijā un citās jomās. Šie objekti veido tā saucamos kompleksos projektīvos 2-dizainus, tas ir, sasniedz vienādību Velča nevienādībā priekš k=2. To izmantojot, mēs izvedam nepieciešamu un pietiekamu nosacījumu, lai vektoru sistēma veidotu MUBu pilno sistēmu vai SIC-POVMu. Šis nosacījums der arī citiem kvantu dizainiem.\n\nAtšķirībā no iepriekšējiem kritērijiem, mūsu kritērijs izmanto tikai vektoru ortogonalitāti. Mēs ievedam homogēnas sistēmas: vektoru sistēmas, kurām šis nosacījums pieņem ļoti vienkāršu formu. Mēs parādām, ka visas zināmās MUBu pilnās sistēmas un visi zināmie SIC-POVMi ir homogēnu sistēmu speciālgadījumi, kas varētu atvieglot šo objektu konstruēšanu.
Kvanttilaskennan eräs ongelma on kvanttisysteemien herkkyys ulkopuolisille vaikutuksille, eli dekoherenssille. Tämä tekee systeemin koherenssista resurssin, jota voidaan käyttää suorittamaan haluttuja toimintoja. Tutkielma alkaa johdannolla lineaarialgebraan ja kvanttimekaniikan perusteisiin, jotta kvanttilaskentaa voidaan mallintaa. Tätä seuraava osuus käsittelee kvanttilaskentaa ja alkaa esittelemällä kubitit, korostaen näiden ja klassisten bittien eroavaisuuksia. Lisäksi esitellään intuitiivinen tapa ajatella yksittäisiä kubitteja, Blochin pallo. Osio jatkuu esittelemällä kvanttiportit jälleen korostaen näiden eroavaisuuksia klassisisiin portteihin. Tämän jälkeen käsitellään kvanttilaskennan erittäin oleellinen eroavaisuus klassisen laskennan välillä, nimittäin mittaus, joka muuttaa alla olevan kvanttisysteemin tilaa ja täten vaikuttaa kvanttilaskennan tulokseen, mikäli mittaus tehdään kesken laskennan. Osuus päätetään esittelemällä yleisesti käytetty tapa mallintaa kvanttilaskentaa, kvanttipiirit. Kolmannessa osiossa kehitellään kvanttilaskennalle universaalien kvanttiporttien käsite. Tarkastelu aloitetaan kaksitasoisilla matriiseilla, jotka myöhemmin samaistetaan kvanttiportteihin. Osiossa myös kehitellään Blochin pallosta intuitiota kvanttiportteja vastaaviin kiertoihin. Tämän jälkeen esitetään tapa luoda mikä tahansa yhden kubitin portti kahdella kierrolla. Seuraavaksi osoitetaan, että tällaisella porttijoukolla ja kontrolloidulla NOT-portilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi muodostetaan universaali porttijoukko. Lopuksi käydään koherenssin resurssiteoriaa. Ensiksi käydään vaaditut valmistelut kvanttioperaattoreista ja kvanttisysteemin entropiasta, jota varten esitellään von Neumannin entropia. Tämän jälkeen erotellaan kvanttisysteemin epäkoherentit tilat ja operaatiot koherenteista tiloista ja operaatioista sekä osoitetaan, että epäkoherenteilla operaatioilla ja yhdellä maksimaalisesti koherentilla kubitilla voidaan luoda mikä tahansa kvanttiportti. Lopuksi todistetaan, että systeemin tiheysmatriisin ja tiheysmatriisin diagonaalin välinen suhteellinen entropia on koherenssimitta.
A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.