ΠερίληψηΗ παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει τη δορυφορική κβαντική διανομή κλειδιών (Satellite Quantum Key Distribution -SAT-QKD) ως μια πολλά υποσχόμενη τεχνολογία για την υλοποίηση ασφαλών επικοινωνιών μεγάλης κλίμακας.Η ανάγκη για τέτοιες λύσεις προκύπτει από τους περιορισμούς της κλασικής κρυπτογραφίας και την αυξανόμενη απειλή που θέτει η κβαντική υπολογιστική στα σύγχρονα κρυπτογραφικά συστήματα.Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στον ρόλο του ατμοσφαιρικού θορύβου υποβάθρου (background noise), ο οποίος αποτελεί έναν από τους βασικούς παράγοντες υποβάθμισης της απόδοσης των SAT-QKD ζεύξεων.Ο θόρυβος αυτός προέρχεται κυρίως από φυσικές πηγές, όπως ο ΄Ηλιος και η Σελήνη, και επηρεάζει άμεσα κρίσιμους δείκτες ποιότητας, όπως το Quantum Bit Error Rate (QBER).Στο πλαίσιο της εργασίας αναπτύσσεται ένα γεωμετρικό μοντέλο για την ποσοτικοποίηση του θορύβου υποβάθρου, βασισμένο στη σχετική θέση των κόμβων του συστήματος (δορυφόρος, επίγειος σταθμός, ΄Ηλιος και Σελήνη).Μέσω της μοντελοποίησης αυτής, υπολογίζονται οι ρυθμοί ανίχνευσης φωτονίων τόσο του κβαντικού σήματος όσο και του θορύβου, επιτρέποντας την εκτίμηση της επίδρασης του θορύβου στο QBER.Η προσέγγιση συμπληρώνεται από προσομοίωση SAT-QKD ζεύξεων υπό ρεαλιστικές συνθήκες λειτουργίας, λαμβάνοντας υπόψη χρονικές και γεωγραφικές μεταβολές.Τα αποτελέσματα αναδεικνύουν τη σημαντική εξάρτηση της απόδοσης του συστήματος από τη γεωμετρία της ζεύξης και παρέχουν χρήσιμα συμπεράσματα για τον σχεδιασμό και τη βελτιστοποίηση τέτοιων συστημάτων.Η εργασία συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση της επίδρασης του θορύβου υποβάθρου στις SAT-QKD ζεύξεις και προτείνει ένα πλαίσιο αξιολόγησης της απόδοσής τους σε ρεαλιστικά σενάρια.
ΠερίληψηΗ παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει τη δορυφορική κβαντική διανομή κλειδιών (Satellite Quantum Key Distribution -SAT-QKD) ως μια πολλά υποσχόμενη τεχνολογία για την υλοποίηση ασφαλών επικοινωνιών μεγάλης κλίμακας.Η ανάγκη για τέτοιες λύσεις προκύπτει από τους περιορισμούς της κλασικής κρυπτογραφίας και την αυξανόμενη απειλή που θέτει η κβαντική υπολογιστική στα σύγχρονα κρυπτογραφικά συστήματα.Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στον ρόλο του ατμοσφαιρικού θορύβου υποβάθρου (background noise), ο οποίος αποτελεί έναν από τους βασικούς παράγοντες υποβάθμισης της απόδοσης των SAT-QKD ζεύξεων.Ο θόρυβος αυτός προέρχεται κυρίως από φυσικές πηγές, όπως ο ΄Ηλιος και η Σελήνη, και επηρεάζει άμεσα κρίσιμους δείκτες ποιότητας, όπως το Quantum Bit Error Rate (QBER).Στο πλαίσιο της εργασίας αναπτύσσεται ένα γεωμετρικό μοντέλο για την ποσοτικοποίηση του θορύβου υποβάθρου, βασισμένο στη σχετική θέση των κόμβων του συστήματος (δορυφόρος, επίγειος σταθμός, ΄Ηλιος και Σελήνη).Μέσω της μοντελοποίησης αυτής, υπολογίζονται οι ρυθμοί ανίχνευσης φωτονίων τόσο του κβαντικού σήματος όσο και του θορύβου, επιτρέποντας την εκτίμηση της επίδρασης του θορύβου στο QBER.Η προσέγγιση συμπληρώνεται από προσομοίωση SAT-QKD ζεύξεων υπό ρεαλιστικές συνθήκες λειτουργίας, λαμβάνοντας υπόψη χρονικές και γεωγραφικές μεταβολές.Τα αποτελέσματα αναδεικνύουν τη σημαντική εξάρτηση της απόδοσης του συστήματος από τη γεωμετρία της ζεύξης και παρέχουν χρήσιμα συμπεράσματα για τον σχεδιασμό και τη βελτιστοποίηση τέτοιων συστημάτων.Η εργασία συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση της επίδρασης του θορύβου υποβάθρου στις SAT-QKD ζεύξεις και προτείνει ένα πλαίσιο αξιολόγησης της απόδοσής τους σε ρεαλιστικά σενάρια.
H διπλωματική εργασία αποτελεί μια βιβλιογραφική ανασκόπηση της θεωρίας και των εφαρμογών στην περιοχή της Κρυπτογραφίας Πλεγμάτων (Lattice Cryptography). Ένας μακροπρόθεσμος στόχος στην Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού, για τη μετάβαση από τις υφιστάμενες και δοκιμασμένες μεθόδους σε προτάσεις για τις μελλοντικές γενιές επεξεργαστών (quantum-safe cryptography), είναι η αντικατάσταση των πρωταρχικών δομικών κρυπτογραφικών στοιχείων (cryptographic primitives). Προϋπόθεση για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι η εύρεση εναλλακτικών οι οποίες στηρίζονται σε μαθηματικό υπόβαθρο (provable security) και επιπλέον ικανοποιούν τις τεχνικές απαιτήσεις για πρακτική ασφάλεια (security levels) και αποδοτική υλοποίηση (efficiency properties). H Κρυπτογραφία Πλεγμάτων έχει αναδειχθεί τις τελευταίες δεκαετίες σε μια ερευνητική περιοχή που συγκεντρώνει μεγάλο ενδιαφέρον τόσο για τον πλούτο των θεωρητικών κατασκευών όσο και για τις πιο πρόσφατες επιτυχίες στις προτάσεις υλοποίησης αποδοτικών αλγορίθμων. Στο Κεφάλαιο 1 δίνεται η μαθηματική περιγραφή και οι βασικοί αλγόριθμοι για τα υπολογιστικά προβλήματα πλεγμάτων που αξιοποιούνται στην κρυπτογραφία. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται οι τεχνικές κατασκευής πρωταρχικών κρυπτογραφικών στοιχείων οι οποίες βασίζονται στα προβλήματα Learning With Errors (LWE) και Short Integer Solution (SIS) με αναγωγή σε προβλήματα πλεγμάτων. Καταγράφονται, επίσης, τα κλασικά συστήματα κρυπτογράφησης και ψηφιακών υπογραφών τα οποία έχουν μελετηθεί στον ακαδημαϊκό χώρο. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται αναφορά στις πρόσφατες προσπάθειες προτυποποίησης και σε ορισμένα σύγχρονα κρυπτογραφικά σχήματα που έχουν υλοποιηθεί. Το μεγάλο εύρος στο ακαδημαϊκό πεδίο της έρευνας καθιστά δύσκολη την εξαντλητική συγκριτική ανάλυση και πολλές πρακτικές λεπτομέρειες δεν έχουν διευκρινιστεί ακόμα. H βιομηχανία τελικά θα υιοθετήσει μόνο τις ολοκληρωμένες κρυπτογραφικές προτάσεις που έχουν διερευνηθεί και προτυποποιηθεί από την ερευνητική κοινότητα. Η συστηματική θεμελίωση και αξιολόγηση των υποσχόμενων νέων τεχνικών κρυπτογράφησης πρέπει να προηγηθεί της έρευνας και κατασκευής νέων επεξεργαστών, οι οποίοι θα επιβάλλουν ριζική αναθεώρηση της δημόσιας Κρυπτογραφίας. Στο άμεσο μέλλον αναμένεται να συγκεντρωθούν και να παρουσιαστούν σαφέστερα οι επικρατέστερες εναλλακτικές προκειμένου να καθοριστούν συγκεκριμένες κατευθύνσεις εξειδίκευσης της έρευνας · είναι βέβαιο ότι οι κατασκευές της σύγχρονης Κρυπτογραφίας Πλεγμάτων θα έχουν θέση ανάμεσα σε αυτές.
Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά την ανάπτυξη βιβλιοθήκης συναρτήσεων για κβαντικό υπολογισμό και τη δημιουργία γραφικού περιβάλλοντος το οποίο χρησιμοποιεί τη συγκεκριμένη βιβλιοθήκη. Αρχικά μελετήθηκαν: πρώτον, οι βασικές έννοιες που διέπουν τους κβαντικούς υπολογιστές και δεύτερον, η χρήση και οι δυνατότητες της γλώσσας python. Εν συνέχεια, ύστερα από εμβάθυνση στα ανωτέρω πεδία πραγματοποιήθηκε η συγγραφή της κβαντικής βιβλιοθήκης καθώς και η δημιουργία του γραφικού περιβάλλοντος που χρησιμοποιεί τη κβαντική αυτή βιβλιοθήκη. Επίσης δημιουργήθηκε και μία γραφική διεπαφή για την παρουσίαση των γραφικών παραστάσεων που παρουσιάζουν τα αποτελέσματα του κβαντικού υπολογισμού. Η ανάπτυξη του προγράμματος πραγματοποιήθηκε σε γλώσσα Python.
Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκε η δυνατότητα υλοποίησης συστημάτων κβαντικού υπολογισμού που βασίζονται σε εναλλακτικούς τύπους απεικόνισης κβαντικής πληροφορίας. Μελετήθηκαν δύο κύριες τεχνικές. Η πρώτη βασίστηκε σε αρχιτεκτονική πλέγματος άμεσης γειτνίασης, στην οποία προτάθηκε μηχανισμός εκτέλεσης κβαντικού υπολογισμού με τη χρήση ενός μόνο παλμού σε κάθε υπολογιστικό βήμα. Η εναλλακτική απεικόνιση βασίστηκε στη διαδικασία της τηλεμεταφοράς για την επίτευξη της επιθυμητής διάταξης των κβαντικών μπιτ. Το γεγονός ότι μόνο ένας παλμός εφαρμόζεται σε κάθε βήμα, μπορεί να μειώσει το λάθος που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις κβαντικών μπιτ λόγω διάχυσης του σήματος. Συνεπώς, αν μία υλοποίηση υποστηρίζει αποτελεσματικές πράξεις κβαντικής τηλεμεταφοράς, η μεθοδολογία μπορεί να οδηγήσει σε αρκετά σημαντική μείωση του συνολικού θορύβου. Στη δεύτερη τεχνική, χρησιμοποιήθηκαν τα ανώτερα ενεργειακά επίπεδα ενός κβαντικού μπιτ τύπου τρανσμόν (transmon) για την αποθήκευση κβαντικής πληροφορίας. Μέσω θεωρητικής απόδειξης και πειραμάτων που εκτελέστηκαν στους κβαντικούς επεξεργαστές της IBM Quantum Platform αποδείχθηκε ότι μπορεί να επιτευχθεί διεμπλοκή σε λογικό επίπεδο χρησιμοποιώντας τους βαθμούς ελευθερίας ενός μόνο συστήματος. Αυτό μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση των αναγκαίων παλμών σύζευξης, που είναι η κύρια πηγή θορύβου στους σύγχρονους κβαντικούς επεξεργαστές.
Η κλασική κρυπτογραφία είναι η διαδικασία απόκρυψης πληροφοριών που διαχειρίζεται τη μυστική γνώση κρυπτογραφώντας το απλό μήνυμα κειμένου μέσω της μετάφρασής του σε ένα ακατανόητο μήνυμα. Η κβαντική κρυπτογραφία κρύβει επίσης το απλό κείμενο μέσω κρυπτογράφησης και λειτουργεί με βάση την κβαντική φυσική για την παροχή απόλυτης ασφάλειας στην επικοινωνία δεδομένων. Χρησιμοποιεί την κβαντική μηχανική για να δημιουργήσει ένα κρυπτογραφικό σύστημα όπου τα βασικά προβλήματα επιλύονται με την ανίχνευση επιθέσεων, συμπεριλαμβανομένης της ανίχνευσης υποκλοπής, χρησιμοποιώντας κβαντική τεχνογνωσία. Οι αρχές ασφαλών συστημάτων πρωτοκόλλου επικοινωνίας επιδεικνύονται με την κβαντική κρυπτογραφία, όπου τα κλειδιά διανέμονται με ασφάλεια και εφαρμόζονται στην διανομή των κβαντικών κλειδιών (Quantum Key Distribution, QKD). Στην παρούσα διπλωματική εργασία επιχειρείται βιβλιογραφικά μια όσο γίνεται κατανοητή παρουσίαση των βασικών αρχών, των πρωτοκόλλων QKD επικοινωνίας και της μέχρι πρόσφατα υλοποίησης των συστημάτων QKD. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της κβαντικής μηχανικής που απαιτούνται για να περιγράψουμε τα συστήματα και τις διαδικασίες που εμπλέκονται σε ένα πρωτόκολλο διανομής κβαντικού κλειδιού. Κάθε κβαντικό σύστημα μπορεί να χωριστεί σε τρία μέρη.Εξετάζονται εν συντομία οι ορισμοί και οι έννοιες που θα χρειαστούν στα επόμενα δύο κεφάλαια, η οποία περιλαμβάνει την περιγραφή των κβαντικών συστημάτων ως ένα στάδιο προετοιμασίας, ένα στάδιο εξέλιξης (το κβαντικό κανάλι) και το τρίτο στάδιο της κβαντικής μέτρησης. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα πλήρες πρωτόκολλο QKD, ξεκινώντας από τη μετάδοση μέσω του κβαντικού καναλιού μέχρι την επικοινωνία μέσω του δημόσιου καναλιού. Κυρίως περιγράφεται το πρωτόκολλο BB84, το πιο γνωστό πρωτόκολλο QKD που χρησιμοποιείται στην μέχρι τώρα υλοποίηση των κβαντικών συστημάτων επικοινωνίας. Εν συντομία αναφέρεται το πρωτόκολλο B92, το πρωτόκολλο έξι καταστάσεων, το πρωτόκολλο SARG και η διαδικασία επικοινωνίας που χρησιμοποιεί καταστάσεις σε κβαντική διαπλοκή. Το τρίτο κεφάλαιο συνοψίζει πληροφορίες για επτά συστήματα QKD που έχουν αναπτυχθεί στα πλαίσια του έργου της Ευρωπαϊκής Ένωσης: SΕcure CΟmmunication based on Quantum Cryptography-SECOQC και τα οποία είναι υποψήφια για περαιτέρω ενοποίηση προς δημιουργία ενός πρωτότυπου δικτύου QKD μέσω της Ευρωπαϊκής Κβαντικής Επικοινωνιακής Υποδομής (EuroQCI) και συγκεκριμένα στην Ελλάδα μέσω του συγχρηματοδοτούμενου αναπτυξιακού έργου HellasQCI του GRNET. Τέλος συνοψίζονται οι προοπτικές της κβαντικής κρυπτογραφίας.
Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά τη σύγκλιση της κβαντικής υπολογιστικής με την εξόρυξη δεδομένων και τη μηχανική μάθηση, με στόχο την υπέρβαση των περιορισμών της κλασικής αρχιτεκτονικής. Στη σύγχρονη εποχή των Μεγάλων Δεδομένων, η αυξανόμενη διαστατικότητα και ο τεράστιος όγκος της πληροφορίας οδηγούν στο φαινόμενο της «κατάρας της διαστατικότητας», ενώ το όριο ταχύτητας μεταφοράς δεδομένων της αρχιτεκτονικής Von Neumann δημιουργεί σημαντικά υπολογιστικά εμπόδια. Ως απάντηση σε αυτές τις προκλήσεις, η κβαντική υπολογιστική προσφέρει ένα νέο παραδειγματικό πλαίσιο, αξιοποιώντας θεμελιώδη φαινόμενα όπως η κβαντική υπέρθεση, η διεμπλοκή και η παρέμβαση, με την υπόσχεση της εκθετικής ή πολυωνυμικής επιτάχυνσης στην επεξεργασία πολύπλοκων προτύπων. Λόγω των περιορισμών του υλικού στη σύγχρονη εποχή των θορυβωδών κβαντικών συσκευών ενδιάμεσης κλίμακας (NISQ), η έρευνα επικεντρώνεται στην ανάπτυξη και αξιολόγηση υβριδικών κβαντικο-κλασικών αλγορίθμων. Στο πλαίσιο αυτό, εξετάζονται αναλυτικά οι κβαντικές Μηχανές Διανυσμάτων Στήριξης (QSVM) για προβλήματα επιβλεπόμενης ταξινόμησης και η Κβαντική Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών μέσω παραμετροποιημένων κυκλωμάτων (VQPCA) για τη μη επιβλεπόμενη μείωση διαστατικότητας. Οι μέθοδοι αυτές μεταφέρουν το υπολογιστικά απαιτητικό τμήμα της ανάλυσης στον κβαντικό συνεπεξεργαστή, όπως τον υπολογισμό του κβαντικού πυρήνα σε εκθετικά μεγάλους χώρους Hilbert μέσω χαρτών χαρακτηριστικών, ενώ αναθέτουν την τελική βελτιστοποίηση των παραμέτρων σε κλασικούς αλγορίθμους. Η πειραματική αξιολόγηση των εν λόγω μοντέλων πραγματοποιήθηκε με χρήση του προγραμματικού πλαισίου Qiskit πάνω στο πραγματικό ιατρικό σύνολο δεδομένων Breast Cancer Wisconsin Diagnostic. Τα αποτελέσματα ανέδειξαν την υψηλή δύναμη των κβαντικών ταξινομητών, με το μοντέλο QSVM να επιτυγχάνει συνολική ορθότητα 94,74% και, κυρίως, εντυπωσιακή ανάκληση της τάξης του 98,59%. Το ποσοστό αυτό είναι κλινικά κρίσιμο, καθώς υποδηλώνει την ικανότητα του κβαντικού μοντέλου να ελαχιστοποιεί τις ψευδώς αρνητικές διαγνώσεις κακοηθών όγκων, υπερβαίνοντας παραδοσιακές δυσκολίες εντοπισμού μη γραμμικών συσχετίσεων. Παράλληλα, η προσομοίωση της VQPCA πέτυχε να προσεγγίσει την κύρια ιδιοτιμή του πίνακα συνδιακύμανσης με απόλυτο σφάλμα μόλις 0,003, επικυρώνοντας τη μαθηματική εγκυρότητα της κβαντικής εξαγωγής χαρακτηριστικών. Παρά τα υποσχόμενα αποτελέσματα, η πρακτική εφαρμογή της κβαντικής εξόρυξης δεδομένων προσκρούει σε σημαντικές τεχνολογικές προκλήσεις . Η κυριότερη αφορά το πρόβλημα της κωδικοποίησης των δεδομένων και την απουσία Κβαντικής Μνήμης Τυχαίας Προσπέλασης (QRAM), γεγονός που ακυρώνει θεωρητικά την επιτάχυνση της κβαντικής φόρτωσης. Επιπλέον, τα πειράματα κατέδειξαν την ακραία ευαισθησία των κβαντικών κυκλωμάτων στην κλιμάκωση των δεδομένων, καθώς η απουσία κατάλληλης κλασικής προεπεξεργασίας οδηγεί στο φαινόμενο της συγκέντρωσης πυρήνα (kernel concentration) και σε κατακόρυφη πτώση της ορθότητας. Συμπερασματικά, τεκμηριώνεται ότι η κλασική και η κβαντική υπολογιστική οφείλουν να λειτουργούν συμπληρωματικά, ανοίγοντας τον δρόμο για επαναστατικές εφαρμογές στην προσωποποιημένη ιατρική και την ασφαλή ανάλυση τεράστιων όγκων ετερογενούς ιατρικής πληροφορίας και όχι μόνο στο εγγύς μέλλον.
Η σύγχρονη κβαντική επιστήμη και τεχνολογία υπόσχονται στο εγγύς μέλλον την ανάπτυξη συσκευών ικανών να φέρουν επανάσταση σε τομείς όπως η πληροφορική, οι επικοινωνίες, οι αισθητήρες και η αποθήκευση ενέργειας, αξιοποιώντας τις αρχές της κβαντομηχανικής. Στην καρδιά αυτών των εξωτικών εφαρμογών βρίσκεται το πρόβλημα της αποτελεσματικής προετοιμασίας των κβαντικών καταστάσεων. Αυτή η διατριβή αξιοποιεί προηγμένες μεθόδους από τον κβαντικό βέλτιστο έλεγχο για να αντιμετωπίσει βασικές προκλήσεις στην προετοιμασία κβαντικών καταστάσεων, δίνοντας έμφαση στην αναδυόμενη εφαρμογή της κβαντικής αποθήκευσης ενέργειας, προχωρώντας από απλούστερα συστήματα σε συστήματα υψηλότερης πολυπλοκότητας. Ξεκινάμε λύνοντας το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου ελάχιστου χρόνου για τη δημιουργία μιας ομοιόμορφης υπέρθεσης σε ένα κβαντικό σύστημα δύο επιπέδων, μια κατάσταση που χρησιμοποιείται εκτενώς στον αλγόριθμο κβαντικής αναζήτησης του Grover, χρησιμοποιώντας μόνο ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου περιορισμένου πλάτους. Εξάγουμε αυστηρά βέλτιστες ακολουθίες παλμών τύπου bang-bang για όλους τους λόγους μέγιστου πλάτους ελέγχου και σταθεράς αποσυντονισμού του κβαντικού ψηφίου. Στη συνέχεια, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα της αποτελεσματικής μεταφοράς πληθυσμού σε ένα ατομικό σύστημα τριών επιπέδων τύπου Λ με απώλειες, το οποίο είναι σημαντικό για την κβαντική ανίχνευση. Απεικονίζουμε αυτό το πρόβλημα στο απλούστερο πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου ενός κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, το οποίο μπορεί να λυθεί αναλυτικά, και στη συνέχεια επιβεβαιώνουμε αριθμητικά ότι αυτή η λύση μπορεί να επιτύχει σχεδόν βέλτιστη μεταφορά πληθυσμού στο αρχικό κβαντικό σύστημα, προσεγγίζοντας τη βέλτιστη απόδοση για μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες. Ακολούθως, στρέφουμε την προσοχή μας στο πρόβλημα της ταχείας φόρτισης κβαντικών μπαταριών, συσκευών που εκμεταλλεύονται τις αρχές της κβαντομηχανικής για την αποθήκευση ενέργειας, αποτελούμενες από συζευγμένα σπιν με αλληλεπίδραση Ising μεταξύ των πλησιέστερων γειτόνων. Μελετάμε δύο κβαντικές μπαταρίες, ένα ζεύγος σπιν και μια αλυσίδα τριών σπιν, στο συνηθισμένο πειραματικό πλαίσιο του πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού με σταθερό διαμήκες πεδίο και εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με χρονικά εξαρτώμενο πλάτος και φάση. Και για τα δύο συστήματα αναδεικνύουμε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει ο λόγος της σύζευξης Ising προς το σταθερό διαμήκες πεδίο στον προσδιορισμό της αρχικής θεμελιώδους κατάστασης και της βέλτιστης διαδικασίας φόρτισης. Για ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με φέρουσα συχνότητα που επιλέγεται για να φέρει σε συντονισμό την αρχική κατάσταση με την κατάσταση-στόχο της υψηλότερης ενέργειας, όπου όλα τα σπιν βρίσκονται στην άνω κατάσταση, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι αυτή με όλα τα σπιν κάτω, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου είναι σταθερά ίσο με τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή καθ' όλη τη διάρκεια και η φάση διαμορφώνεται κατάλληλα με τον χρόνο, ενώ η διάρκεια πλήρους φόρτισης τείνει προς το μηδέν καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι μια κατάσταση Bell για το ζεύγος σπιν και η κατάσταση Dicke |W> μίας διέγερσης για την αλυσίδα με τα τρία σπιν, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου μπορεί να περιέχει ιδιάζοντα διαστήματα κατά τα οποία μηδενίζεται, οπότε και η φάση του πεδίου σε αυτά δεν παίζει ρόλο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο χρόνος πλήρους φόρτισης φαίνεται να τείνει σε μια μη μηδενική τιμή καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους ελέγχου. Συνολικά, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από αυτή τη διατριβή ενοποιούν τις θεωρητικές γνώσεις από τον βέλτιστο έλεγχο με σημαντικές εφαρμογές στις κβαντικές τεχνολογίες.