Théorèmes limite pour trajectoires quantiques et analyticité de la pression via la quasi-compacité d'opérateurs de Markov Cette thèse étudie les théorèmes limite pour les trajectoires quantiques et l'analyticité de la fonction pression pour des produits aléatoires de matrice.Les trajectoires quantiques sont des chaînes de Markov modélisant l'état d'un système quantique soumis à des mesures indirectes répétées. On étudie le comportement long de ces chaînes de Markov en étudiant les propriétés spectrales de l'opérateur de Markov associé. Plus précisément, on montre que celui-ci est quasi-compact, ce qui implique l'existence d'un trou spectral. En perturbant analytiquement cet opérateur, la propriété de quasi-compacité est conservée ce qui permet d'obtenir un théorème central limite, des bornes de Berry-Eessen et un principe de grande déviation.Nous montrons également dans cette thèse que la fonction pression pour un produit de matrices est analytique sous des conditions de contractivité et d'irréductibilité. L'étude s'appuie à nouveau sur la quasi-compacité d'opérateurs de Markov. Nous montrons également un principe variationnel pour la pression.La thèse possède trois chapitres introductifs. Le premier porte sur la quasi-compacité, le second introduit le formalisme des trajectoires quantiques et leur lien avec les produits de matrice et le troisième introduit des éléments de mécanique statistique pour inroduire la pression. Le chapitre 4 a pour but de présenter les théorèmes limite obtenus pour les trajectoires quantiques et le chapitre 5 la preuve de l'analyticité de la pression.
Théorèmes limite pour trajectoires quantiques et analyticité de la pression via la quasi-compacité d'opérateurs de Markov Cette thèse étudie les théorèmes limite pour les trajectoires quantiques et l'analyticité de la fonction pression pour des produits aléatoires de matrice.Les trajectoires quantiques sont des chaînes de Markov modélisant l'état d'un système quantique soumis à des mesures indirectes répétées. On étudie le comportement long de ces chaînes de Markov en étudiant les propriétés spectrales de l'opérateur de Markov associé. Plus précisément, on montre que celui-ci est quasi-compact, ce qui implique l'existence d'un trou spectral. En perturbant analytiquement cet opérateur, la propriété de quasi-compacité est conservée ce qui permet d'obtenir un théorème central limite, des bornes de Berry-Eessen et un principe de grande déviation.Nous montrons également dans cette thèse que la fonction pression pour un produit de matrices est analytique sous des conditions de contractivité et d'irréductibilité. L'étude s'appuie à nouveau sur la quasi-compacité d'opérateurs de Markov. Nous montrons également un principe variationnel pour la pression.La thèse possède trois chapitres introductifs. Le premier porte sur la quasi-compacité, le second introduit le formalisme des trajectoires quantiques et leur lien avec les produits de matrice et le troisième introduit des éléments de mécanique statistique pour inroduire la pression. Le chapitre 4 a pour but de présenter les théorèmes limite obtenus pour les trajectoires quantiques et le chapitre 5 la preuve de l'analyticité de la pression.
Stabilité asymptotique et stabilisation par rétroaction des trajectoires quantiques Cette thèse se concentre sur l'étude des systèmes quantiques ouverts sujets à des mesures indirectes répétées. L'évolution temporelle de tels systèmes est décrite par des chaînes de Markov à valeurs dans l'espace des états, appelées trajectoires quantiques. Dans un premier temps, nous justifions la dynamique des trajectoires à partir des postulats de la mécanique quantique et introduisons les imperfections de mesure. Deuxièmement, nous considérons que l'état initial est inconnu et étudions la convergence de la trajectoire partant d'un état initial estimé vers la vraie trajectoire. Nous montrons que sous l'hypothèse de purification, la convergence est assurée. Troisièmement, nous nous penchons sur le comportement asymptotique des trajectoires quantiques. Nous démontrons la sélection d'un sous-espace invariant minimal du canal quantique et discutons de la mesure invariante dans le cas irréductible. Quatrièmement, nous nous attachons à la question d'estimation de paramètres inconnus en jeu dans la dynamique. Nous étudions une méthode qui permet d'approximer un paramètre inconnu et prouvons son efficacité. Cinquièmement, nous montrons la convergence exponentielle en espérance vers un sous-espace minimal et concevons une stratégie de contrôle par rétroaction qui permet la stabilisation exponentielle d'un sous-espace souhaité.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.
Cette thèse se concentre sur l'étude des systèmes quantiques ouverts sujets à des mesures indirectes répétées. L'évolution temporelle de tels systèmes est décrite par des chaînes de Markov à valeurs dans l'espace des états, appelées trajectoires quantiques. Dans un premier temps, nous justifions la dynamique des trajectoires à partir des postulats de la mécanique quantique et introduisons les imperfections de mesure. Deuxièmement, nous considérons que l'état initial est inconnu et étudions la convergence de la trajectoire partant d'un état initial estimé vers la vraie trajectoire. Nous montrons que sous l'hypothèse de purification, la convergence est assurée. Troisièmement, nous nous penchons sur le comportement asymptotique des trajectoires quantiques. Nous démontrons la sélection d'un sous-espace invariant minimal du canal quantique et discutons de la mesure invariante dans le cas irréductible. Quatrièmement, nous nous attachons à la question d'estimation de paramètres inconnus en jeu dans la dynamique. Nous étudions une méthode qui permet d'approximer un paramètre inconnu et prouvons son efficacité. Cinquièmement, nous montrons la convergence exponentielle en espérance vers un sous-espace minimal et concevons une stratégie de contrôle par rétroaction qui permet la stabilisation exponentielle d'un sous-espace souhaité.
Cette thèse est consacrée à l'étude de modèles stochastiques associés aux systèmes quantiques ouverts. Plus particulièrement, nous étudions les marches quantiques ouvertes qui sont les analogues quantiques des marches aléatoires classiques. La première partie consiste en une présentation générale des marches quantiques ouvertes. Nous présentons les outils mathématiques nécessaires afin d'étudier les systèmes quantiques ouverts, puis nous exposons les modèles discrets et continus des marches quantiques ouvertes. Ces marches sont respectivement régies par des canaux quantiques et des opérateurs de Lindblad. Les trajectoires quantiques associées sont quant à elles données par des chaînes de Markov et des équations différentielles stochastiques avec sauts. La première partie s'achève avec la présentation de quelques pistes de recherche qui sont le problème de Dirichlet pour les marches quantiques ouvertes et les théorèmes asymptotiques pour les mesures quantiques non destructives. La seconde partie rassemble les articles rédigés durant cette thèse. Ces articles traîtent les sujets associés à l'irréductibilité, à la dualité récurrence-transience, au théorème central limite et au principe de grandes déviations pour les marches quantiques ouvertes à temps continu.
On commence dans le chapitre d'introduction par rappeler les résultats majeurs sur l'intrication et les systèmes quantiques ouverts. Puis en particulier on prouve la désintrication en temps fini pour deux qubits (systèmes quantiques à deux niveaux d'énergie) en interaction avec des bains thermiques distincts à température positive. On propose dans le premier chapitre de cette thèse une méthode pour empêcher la désintrication en temps fini basée sur des mesures continues sur les bains et utilisant la théorie des sauts quantiques et celle des équations différentielles stochastiques. Dans le deuxième chapitre on étudie un sous-ensemble des états de deux qubits : celui des états qu'on peut représenter dans la base canonique pour une matrice ayant une forme de X. Cela nous permet d'obtenir des formules explicites pour la décomposition d'un état X séparable en au plus cinq états purs produits. On généralise ensuite cette étude à l'ensemble des états obtenus à partir d'états X par conjugaison avec des unitaires locaux. Puis on donne un algorithme pour décomposer tout état séparable de cet ensemble en une combinaison convexe de cinq états purs produits. Le troisième chapitre de cette thèse propose l'étude de l'évolution de l'intrication de deux qubits dans un modèle d'interactions répétées avec la même chaîne de spins dans les limites de van Hove et de couplage singulier. En particulier on observe une intrication asymptotique non nulle quand la chaîne est à température infinie et des phénomènes de création d'intrication quand la chaîne est à température nulle.
Analyse et techniques avancées d'intégrabilité pour l'étude de chaînes quantiques de spins Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.