Contrôlabilité et conception du contrôle d’ensemble pour les systèmes quantiques Dans cette thèse, nous développons des garanties théoriques et des algorithmes constructifs pour le contrôle de systèmes quantiques bilinéaires ainsi que de leurs ensembles, sous des conditions spectrales appropriées. Dans la première partie, nous introduisons une condition spectrale, appelée connexion faiblement conique, qui assure la contrôlabilité exacte pour des systèmes de dimension finie et la contrôlabilité approchée pour des systèmes de dimension infinie. Cette condition généralise les résultats existants pour des systèmes dont les spectres sont connectés par des intersections coniques et non empilées. Nous démontrons également que, pour des systèmes quantiques à deux entrées dont le spectre est faiblement coniquement connecté, fixer l'un des deux contrôles à une valeur constante permet d'obtenir presque sûrement un système à une entrée contrôlable, comme l'illustrent les exemples des molécules chirales et du modèle de Jaynes-Cummings. Dans la seconde partie, nous étudions le contrôle d'ensembles de systèmes quantiques de dimension finie présentant une dispersion des paramètres. Sous l'hypothèse que la dispersion spectrale est bornée, une combinaison de l'approximation de l'onde tournante et de l'approximation adiabatique permet de réaliser une inversion robuste de population. Nous construisons explicitement une loi de contrôle et en validons la performance par des simulations numériques. Par ailleurs, pour des ensembles sans dérive de systèmes à deux niveaux sur SU(2), nous proposons un schéma de contrôle entièrement implémentable qui garantit la contrôlabilité complète de l'ensemble. Ses propriétés de convergence sont établies analytiquement et confirmées par des expériences numériques.
Contrôlabilité et conception du contrôle d’ensemble pour les systèmes quantiques Dans cette thèse, nous développons des garanties théoriques et des algorithmes constructifs pour le contrôle de systèmes quantiques bilinéaires ainsi que de leurs ensembles, sous des conditions spectrales appropriées. Dans la première partie, nous introduisons une condition spectrale, appelée connexion faiblement conique, qui assure la contrôlabilité exacte pour des systèmes de dimension finie et la contrôlabilité approchée pour des systèmes de dimension infinie. Cette condition généralise les résultats existants pour des systèmes dont les spectres sont connectés par des intersections coniques et non empilées. Nous démontrons également que, pour des systèmes quantiques à deux entrées dont le spectre est faiblement coniquement connecté, fixer l'un des deux contrôles à une valeur constante permet d'obtenir presque sûrement un système à une entrée contrôlable, comme l'illustrent les exemples des molécules chirales et du modèle de Jaynes-Cummings. Dans la seconde partie, nous étudions le contrôle d'ensembles de systèmes quantiques de dimension finie présentant une dispersion des paramètres. Sous l'hypothèse que la dispersion spectrale est bornée, une combinaison de l'approximation de l'onde tournante et de l'approximation adiabatique permet de réaliser une inversion robuste de population. Nous construisons explicitement une loi de contrôle et en validons la performance par des simulations numériques. Par ailleurs, pour des ensembles sans dérive de systèmes à deux niveaux sur SU(2), nous proposons un schéma de contrôle entièrement implémentable qui garantit la contrôlabilité complète de l'ensemble. Ses propriétés de convergence sont établies analytiquement et confirmées par des expériences numériques.
Sur la contrôlabilité de la dynamique quantique des systèmes fermés et ouverts On etudie la contrôlabilité des systèmes quantiques dans deux contextes différents: le cadre standard fermé, dans lequel un système quantique est considéré comme isolé et le problème de contrôle est formulé sur l'équation de Schrödinger; le cadre ouvert qui décrit un système quantique en interaction avec un plus grand, dont seuls les paramètres qualitatifs sont connus, au moyen de l'équation de Lindblad sur les états.Dans le contexte des systèmes fermés on se focalise sur la classe intéressante des systèmes spin-boson, qui décrivent l'interaction entre un système quantique à deux niveaux et un nombre fini de modes distingués d'un champ bosonique. On considère deux exemples prototypiques, le modèle de Rabi et le modèle de Jaynes-Cummings qui sont encore très populaires dans plusieurs domaines de la physique quantique. Notamment, dans le contexte de la Cavity Quantum Electro Dynamics (C-QED), ils fournissent une description précise de la dynamique d'un atome à deux niveaux dans une cavité micro-onde en résonance, comme dans les expériences récentes de S. Haroche. Nous étudions les propriétés de contrôlabilité de ces modèles avec deux types différents d'opérateurs de contrôle agissant sur la partie bosonique, correspondant respectivement – dans l'application à la C-QED – à un champ électrique et magnétique externe. On passe en revue quelques résultats récents et prouvons la contrôlabilité approximative du modèle de Jaynes-Cummings avec ces contrôles. Ce résultat est basé sur une analyse spectrale exploitant les non-résonances du spectre. En ce qui concerne la relation entre l'Hamiltonien de Rabi et Jaynes-Cummings nous traitons dans un cadre rigoureux l'approximation appelée d'onde tournante. On formule le problème comme une limite adiabatique dans lequel la fréquence de detuning et le paramètre de force d'interaction tombent à zero, ce cas est connu sous le nom de régime de weak-coupling. On prouve que, sous certaines hypothèses sur le rapport entre le detuning et le couplage, la dynamique de Jaynes-Cumming et Rabi montrent le même comportement, plus précisément les opérateurs d'évolution qu'ils génèrent sont proches à la norme.Dans le cadre des systèmes quantiques ouverts nous étudions la contrôlabilité de l'équation de Lindblad. Nous considérons un contrôle agissant adiabatiquement sur la partie interne du système, que nous voyons comme un degré de liberté qui peut être utilisé pour contraster l'action de l'environnement. L'action adiabatique du contrôle est choisie pour produire une transition robuste. On prouve, dans le cas prototype d'un système à deux niveaux, que le système approche un ensemble de points d'équilibre déterminés par l'environnement, plus précisément les paramètres qui spécifient l'opérateur de Lindblad. Sur cet ensemble, le système peut être piloté adiabatiquement en choisissant un contrôle approprié. L'analyse est fondée sur l'application de méthodes de perturbation géométrique singulière.
Contrôlabilité indirecte des systèmes quantiques ouverts Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de contrôlabilité et d’accessibilité des systèmes quantiques. Nous donnons d’abord une nouvelle démonstration du fait que, de manière générale, les systèmes quantiques ouverts ne sont pas contrôlables. Par contrôlabilité, on entend que, pour toute paire d’états initial et cible du système, il existe un temps fini T>0 et un contrôle u tels qu’en ajoutant u dans l’évolution du système, l’état cible puisse être atteint à partir de l’état initial en un temps T. Nous considérons ensuite un système ouvert bipartite A+B constitué de deux qubits en interaction, A et B, en supposant que seul A est directement affecté par le contrôle u et que seul A interagit avec l’environnement. Nous nous intéressons à la contrôlabilité de B. Nous montrons que les états purs cibles de B ne peuvent pas être atteints en temps fini à partir d’états mixtes initiaux de B lorsque l’état initial de A+B se trouve à l’intérieur de l’ensemble des états. Ensuite, nous étudions s’il est possible de maintenir l’état de B pur pendant un temps positif. Pour trois couplages spécifiques entre A et B, nous trouvons que les seules trajectoires admissibles sont soit constantes, soit non affectées par le contrôle u. Ces résultats apportent une première réponse négative à la question de la manipulation indirecte de B. Enfin, nous étudions l’accessibilité de B, c’est-à-dire la question de savoir si, pour tout état initial de B, l’ensemble des états atteignables contient un sous-ensemble ouvert de l’ensemble des états de B. Pour cette propriété, nous donnons une condition suffisante qui peut également s’appliquer à des cadres plus généraux, tels que ceux rencontrés en théorie du contrôle géométrique.
Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.
Contrôle quantique optimal et robuste dans des systèmes de petite dimension La théorie du contrôle optimal (OCT) est une méthode pour obtenir les solutions optimales de systèmes quantiques contrôlés par des champs externes, fournissant un ensemble puissant d'outils et de concepts. L'un des objectifs de la thèse est d'adapter la technique OCT dans des systèmes quantiques à deux et trois états en tenant compte des pertes et de la robustesse, ce qui est primordial pour la mise en œuvre de techniques de contrôle dans une large classe de plateformes.Sur la base de techniques d'ingénierie inverse et du principe du maximum de Pontryagin (PMP), nous établissons et testons les différentes stratégies optimales montrant comment contrôler le transfert dans des systèmes quantiques à trois niveaux en considérant des solutions optimales en énergie et en temps minimum en tenant compte des pertes. Ces résultats montrent en particulier que le passage adiabatique habituel dans de tels systèmes, connu sous le nom de passage adiabatique Raman stimulé (STIRAP), qui conduit à un transfert imparfait, peut être rendu exact, réalisant ainsi le passage exact de Raman stimulé (STIREP) tout en réduisant l'énergie et la durée des contrôles.Un des objectifs consiste à développer une nouvelle technique qui permet de combiner robustesse et optimisation. Plutôt que d'utiliser une procédure d'optimisation directe comme la technique OCT, nous développons une technique d'optimisation géométrique qui permet de dériver des solutions optimales et robustes à partir d'une optimisation inverse. La méthode appelée optimisation inverse robuste (RIO) permet d'obtenir des trajectoires numériques qui peuvent être rendues aussi précises que nécessaire. La méthode est polyvalente et peut être appliquée à divers types d'erreurs et de problèmes de contrôle quantique.