Propriétés critiques et tricritiques du modèle de Blume-Capel étudiées à partir de simulations Monte-Carlo pour de petites tailles Dans la limite thermodynamique, les transitions de phase du second ordre sont caractérisées par des divergences de certaines quantités thermodynamiques, gouvernées par des lois de puissance faisant intervenir des exposants critiques. Ces exposants définissent des classes d'universalité qui ne dépendent que de propriétés globales du système telles que la dimension, les symétries et la portée des interactions. Cette thèse porte sur l'étude du comportement critique et tricritique du modèle de Blume-Capel en deux et trois dimensions, à l'aide de simulations Monte Carlo. Une attention particulière est portée à l'analyse des zéros de la fonction de partition — zéros de Fisher, du champ cristallin et de Lee-Yang — comme outil pour extraire les propriétés critiques, même pour de petites tailles de systèmes. Le diagramme de phase du modèle de Blume-Capel présente une ligne de transition du second ordre appartenant à la classe d'universalité d'Ising, un point tricritique associé à la classe tricritique, ainsi qu'une ligne de transition du premier ordre. En trois dimensions, le point tricritique se situe à la dimension critique supérieure de sa classe, où apparaissent des corrections logarithmiques. Nous déterminons numériquement ces corrections et montrons que le fait de fixer les exposants « hatted » à leurs valeurs théoriques permet une estimation plus précise du diagramme de phase. Ce travail montre que l'analyse des zéros de la fonction de partition constitue une méthode efficace et précise pour étudier les phénomènes critiques, tout en réduisant le besoin de simulations à grande échelle.
Propriétés critiques et tricritiques du modèle de Blume-Capel étudiées à partir de simulations Monte-Carlo pour de petites tailles Dans la limite thermodynamique, les transitions de phase du second ordre sont caractérisées par des divergences de certaines quantités thermodynamiques, gouvernées par des lois de puissance faisant intervenir des exposants critiques. Ces exposants définissent des classes d'universalité qui ne dépendent que de propriétés globales du système telles que la dimension, les symétries et la portée des interactions. Cette thèse porte sur l'étude du comportement critique et tricritique du modèle de Blume-Capel en deux et trois dimensions, à l'aide de simulations Monte Carlo. Une attention particulière est portée à l'analyse des zéros de la fonction de partition — zéros de Fisher, du champ cristallin et de Lee-Yang — comme outil pour extraire les propriétés critiques, même pour de petites tailles de systèmes. Le diagramme de phase du modèle de Blume-Capel présente une ligne de transition du second ordre appartenant à la classe d'universalité d'Ising, un point tricritique associé à la classe tricritique, ainsi qu'une ligne de transition du premier ordre. En trois dimensions, le point tricritique se situe à la dimension critique supérieure de sa classe, où apparaissent des corrections logarithmiques. Nous déterminons numériquement ces corrections et montrons que le fait de fixer les exposants « hatted » à leurs valeurs théoriques permet une estimation plus précise du diagramme de phase. Ce travail montre que l'analyse des zéros de la fonction de partition constitue une méthode efficace et précise pour étudier les phénomènes critiques, tout en réduisant le besoin de simulations à grande échelle.
Dans la limite thermodynamique, les transitions de phase du second ordre sont caractérisées par des divergences de certaines quantités thermodynamiques, gouvernées par des lois de puissance faisant intervenir des exposants critiques. Ces exposants définissent des classes d'universalité qui ne dépendent que de propriétés globales du système telles que la dimension, les symétries et la portée des interactions. Cette thèse porte sur l'étude du comportement critique et tricritique du modèle de Blume-Capel en deux et trois dimensions, à l'aide de simulations Monte Carlo. Une attention particulière est portée à l'analyse des zéros de la fonction de partition — zéros de Fisher, du champ cristallin et de Lee-Yang — comme outil pour extraire les propriétés critiques, même pour de petites tailles de systèmes. Le diagramme de phase du modèle de Blume-Capel présente une ligne de transition du second ordre appartenant à la classe d'universalité d'Ising, un point tricritique associé à la classe tricritique, ainsi qu'une ligne de transition du premier ordre. En trois dimensions, le point tricritique se situe à la dimension critique supérieure de sa classe, où apparaissent des corrections logarithmiques. Nous déterminons numériquement ces corrections et montrons que le fait de fixer les exposants « hatted » à leurs valeurs théoriques permet une estimation plus précise du diagramme de phase. Ce travail montre que l'analyse des zéros de la fonction de partition constitue une méthode efficace et précise pour étudier les phénomènes critiques, tout en réduisant le besoin de simulations à grande échelle.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
D ans cette présente thèse de doctorat et dans le but de découvrir le comportement magnétique des matériaux en fonction de di érents paramètres extérieurs, nous avons proposé quelques modèles de spin sur réseaux pour l’étude. Pour ce fait, nous avons donné en détails, dans le premier chapitre, l’origine du magnétisme dans les di érents matériaux et leur comportement en fonction du changement des paramètres. Dans le second chapitre, nous avons mis l’accent sur un phénomène extraordinaire qui se manifeste au niveau des matériaux qui est la transition de phase. Cette dernière n’est qu’un changement d’état subi à cause des modifications au niveau des paramètres. Nous avons cité les di érentes classifications des transitions de phase notamment la théorie d’Ehrenfest et celle de Landau. Nous avons donné un peu d’intérêt à la deuxième classification avec plus de détails. Nous avons présenté aussi les phénomènes tricritiques qui mènent au calcul des di érents exposants critiques. Nous avons expliqué aussi la notion des classes d’universalité auxquelles appartiennent les di érents systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nous avons présenté notre travail de fond. Nous avons défini le modèle à étudier à savoir le modèle de Blume-Emery-Gri ths. nous avons donné un aperçu sur les méthodes qu’on a utilisé à citer la méthode de Monte-Carlo et la méthode (finite size scaling) TMFSS basée sur la matrice de transfert. Ces méthodes ont montré leurs preuves dans plusieurs études antérieures. Le diagramme de phase obtenu, riche avec ses caractéristiques, exhibe une ligne de transition de second ordre. Nous avons justifié la présence des di érentes phases par étude numérique de l’évolution thermique de l’aimantation du système, du moment quadrupolaire et du moment octupolaire. Les résultats sont en accord avec ceux des états fondamentaux. En utilisant la méthode de la matrice de transfert, nous avons étudié le comportement critique du système. Nous avons calculé l’exposant critique pour quelques valeurs des constantes d’interaction. Le quatrième chapitre a été consacré à l’étude des états fondamentaux de deux modèles importants. Le premier est le modèle de Blume-Emery-Gri ths à spin-1. Les interactions sont antiferromagnétiques avec le premier plus proche voisin. Nous avons considéré un système triangulaire avec sa particularité de frustration. Nous avons fait une étude analytique qui nous a donné les énergies des di érentes configurations. Une étude numérique nous a montré les phases les plus stables qu’on a représenté sur un diagramme de phase. Le deuxième modèle était le modele de Blume-Capel à spin-3/2 sur un réseau carré. Nous avons suivi les mêmes étapes d’étude. Comme perspective, il serait intéressant de compléter les deux derniers travaux par des études numériques. Nous prévoyons utiliser les deux méthodes exactes à savoir la méthode de Monte-Carlo et celle de la matrice de transfert. Nous essayerons de calculer les di érents exposants critiques et de déterminer leur classe d’universalité.
Cette thèse est consacrée à l'étude de l'influence de différentes perturbations sur le comportement critique de systèmes bidimensionnels. Dans une première partie nous considérons le modèle d'Ising 2D placé dans un champ de surface aléatoire qui constitue une perturbation marginalement non-pertinente au point critique. Nous étudions le problème à l'aide de simulations Monte Carlo pour différentes amplitudes de désordre. Nous déterminouns des exposants critiques effectifs dont la dépendance en température ou en taille est en accord avec les résultats de théorie des champs et interprétable en termes de corrections logarithmiques au comportement du système pur. Dans la seconde partie, nous étudions le modèle d'Ising sur le réseau carré avec un désordre corrélé biaxial qui constitue une perturbation pertinente d'après le critère de Harris étendu. Le problème est abordé par simulations Monte Carlo extensives. L'exposant n prend la valeur attendue dans un système avec désordre corrélé isotrope tandis que la densité d'aimantation a une dimension supérieure à celle du système pur. Les propriétés conformes des densités d'énergie et d'aimantation sont aussi examinées. Finalement, nous considérons le comportement critique à l'interface entre deux sous-systèmes appartenant à des classes d'universalité différentes mais ayant la même température critique. Le problème est étudié dans le cadre d'une théorie de champ moyen et en utilisant des arguments d'échelle. La grande variété de comportements d'interface obtenue est confrontée à une étude numériques sur des interfaces de Potts 2D à q états (2< q<4).
Cette thèse présente une étude détaillée sur les transitions de phase, se concentrant principalement sur le modèle q-Potts. Elle utilise une combinaison de méthodologies numériques et analytiques pour explorer un large spectre de sujets en mécanique statistique, incluant la dynamique associée aux transitions de phase du premier ordre, les impacts de la topologie du réseau sur les processus d’équilibrage, et l’évolution des systèmes désordonnés corrélés à longue portée critique sous le flot du groupe de renormalisation. La première partie de l’étude aborde la dynamique vers l'équilibre au travers d'une transition de phase de premier ordre, en exploitant la limite de grand q du modèle Potts en dimension d = {2, 3} après un refroidissement instantané. En utilisant l’algorithme de Monte Carlo de "heat bath", l'existence d'états quasi stable, le phénomène de "freezing" du système et le mécanisme de "coarsening" ultérieur sont minutieusement explorés. De plus, le rôle de la topologie du réseau dans la dynamique du système, et notamment son effet sur les tendances à la congélation, est analysé. La deuxième partie de la thèse examine le modèle (q ≤ 4)-Potts critique en deux dimensions avec du désordre corrélé à longue distance via des calculs de Monte Carlo et en tenant compte de différentes distributions de désordre. Un des principaux résultats est l'obtention et l’exploration d’un diagramme de phase avec la description d'un point fixe du flux du groupe de renormalisation du modèle pour q ∈ [1, 4]. Ce diagramme de phase est obtenu en mesurant la dimension fractale des amas FK du modèle de q-Potts au point auto-dual pour différentes valeurs de l’exposant de la loi de puissance a et intensités de désordre r. Les dernières sections de l’étude étendent l’analyse pour englober des calculs perturbatifs dans le cadre du groupe de renormalisation, générant de nouvelles valeurs pour les exposants critiques à longue portée. L’application de la méthode du groupe de renormalisation valide les études numériques, confirmant notamment l’existence d’un nouveau point fixe attractif "à longue portée". Un des résultats principaux est le calcul de l’exposant thermique νLR pour les modèles Potts et Ising, et les déterminations des conditions sous lesquelles la conjecture de Weinrib-Halperin peut être violée pour les distributions de désordre non-Gaussiennes au point fixe. En résumé, cette recherche contribue à une compréhension plus profonde des comportements du modèle q-Potts avec ou sans désordre. Ces conclusions ouvrent de nouvelles voies pour explorer les transitions de phase et les phénomènes critiques en mécanique statistique.
Nous avons aborde au cours de ce travail de these differents aspects du desordre et de la frustration dans les systemes de spins. La premiere partie est dediee aux effets de la frustration sur le comportement critique du modele de potts bidimensionnel a q = 3 etats sur le reseau dit de villain. Utilisant des variables grassmaniennes et une analogie avec le modele des dimeres, nous analysons l'etat fondamental du systeme en fonction de x = j a n t i f e r r o/j f e r r o. Nous trouvons que malgre la degenerescence infinie du fondamental et le fait que l'entropie residuelle soit finie, l'ordre a longue portee emerge dans le systeme completement frustre (x = 1) a temperature critique finie, contrairement au cas q = 2. La technique des matrices de transfert est utilisee afin d'acceder au diagramme de phase du systeme. L'evolution des exposants critiques en fonction de x dans l'intervalle 1, 1 conduit a la conclusion que le systeme evolue dans la meme classe d'universalite que son homologue non-frustre. Le diagramme de phase est verifie utilisant la simulation monte-carlo. Les exposants critiques au point x = 1 sont obtenus utilisant la methode et l'analyse en taille finie. Le deuxieme aspect aborde dans cette these est l'influence du faible desordre sur le point tricritique du modele blume-capel (nomme bc par la suite) en trois dimensions. Par l'intermediaire des simulations monte-carlo intensives, nous suivons la trajectoire du point tricritique du modele de bc en fonction du desordre gele de liens. Nos simulations verifient que la transition de premier ordre est presente dans ce systeme jusqu'a un seuil de desordre des liens. Les techniques des histogrammes et l'analyse en taille finie donnent acces aux exposants critiques du modele desordonne. Nous verifions ainsi que la classe d'universalite change suite a la presence du desordre gele dans le systeme. Les memes conclusions sont retrouvees dans le cas d'un potentiel d'anisotropie variant selon une distribution bimodale.