Une histoire d’échelles : groupe de renormalisation, ondelettes et théories effectives pour explorer la physique loin de l’équilibre L’émergence de la complexité à partir du comportement collectif de nombreux éléments en interaction est une question centrale en physique statistique. Cette thèse étudie les systèmes physiques à l’équilibre et hors équilibre en utilisant des théories effectives et en exploitant des concepts du Groupe de Renormalisation (RG) et de la théorie des ondelettes. Comprendre comment les différentes échelles d’un système interagissent est crucial, car des phénomènes collectifs se produisent lorsque le découplage entre les échelles disparait. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle approche pour implémenter le RG basée sur la décomposition d’un champs sur une base d’ondelettes. En raison des fortes propriétés de localisation des ondelettes dans l’espace réel et dans l’espace de Fourier, cette décomposition permet une factorisation approximative de l’Hamiltonien. La formulation fonctionnelle du RG obtenue conduit naturellement à une approximation diagonale, dans laquelle les couplages entre les cellules distinctes de l’espace des phases sont négligés. Nous appliquons cette méthode analytiquement et numériquement à la théorie des champs phi-4. La deuxième partie examine l’émergence d’interactions à longue portée dans un modèle de matière active scalaire, connu sous le nom de Modèle Actif B₊ (AMB₊). Nous utilisons une technique utilisant des réalisations du système, le Wavelet Conditional Renormalization Group, qui combine la décomposition en ondelettes avec un flot RG inversé pour inférer efficacement un modèle d’énergie effective pour le AMB₊. En outre, nous développons une méthode basée sur le Malliavin weight sampling pour analyser les violations du théorème de fluctuation-dissipation à différentes échelles. Nous expliquons également comment utiliser le modèle inféré de l’énergie effective pour calculer le taux de production d’entropie locale. En comparant ces résultats, nous montrons que les écarts significatifs par rapport à l’équilibre thermique et la brisure de symétrie par renversement dans le temps sont étroitement liés à l’émergence d’interactions à longue portée dans l’énergie effective. Dans la troisième partie, nous montrons comment le taux de production d’entropie des systèmes de particules en interaction est accessible directement dans le cadre de la théorie du champ de densité. Ceci est particulièrement utile, car ces théories offrent une description simplifiée et à gros grain des systèmes à plusieurs corps en termes de champ de densité scalaire. Nous construisons soigneusement l’intégrale de chemin associée en utilisant des discrétisations spatiales et temporelles appropriées pour préserver la structure du bruit stochastique. Cela nous permet de retrouver des résultats connus - par exemple, ceux obtenus à partir de la théorie des champs de Doi-Peliti - et d’étendre le formalisme à des modèles dont les diffusivités dépendent fonctionnellement de la densité, comme cela est nécessaire pour décrire les systèmes de particules actives.
Une histoire d’échelles : groupe de renormalisation, ondelettes et théories effectives pour explorer la physique loin de l’équilibre L’émergence de la complexité à partir du comportement collectif de nombreux éléments en interaction est une question centrale en physique statistique. Cette thèse étudie les systèmes physiques à l’équilibre et hors équilibre en utilisant des théories effectives et en exploitant des concepts du Groupe de Renormalisation (RG) et de la théorie des ondelettes. Comprendre comment les différentes échelles d’un système interagissent est crucial, car des phénomènes collectifs se produisent lorsque le découplage entre les échelles disparait. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle approche pour implémenter le RG basée sur la décomposition d’un champs sur une base d’ondelettes. En raison des fortes propriétés de localisation des ondelettes dans l’espace réel et dans l’espace de Fourier, cette décomposition permet une factorisation approximative de l’Hamiltonien. La formulation fonctionnelle du RG obtenue conduit naturellement à une approximation diagonale, dans laquelle les couplages entre les cellules distinctes de l’espace des phases sont négligés. Nous appliquons cette méthode analytiquement et numériquement à la théorie des champs phi-4. La deuxième partie examine l’émergence d’interactions à longue portée dans un modèle de matière active scalaire, connu sous le nom de Modèle Actif B₊ (AMB₊). Nous utilisons une technique utilisant des réalisations du système, le Wavelet Conditional Renormalization Group, qui combine la décomposition en ondelettes avec un flot RG inversé pour inférer efficacement un modèle d’énergie effective pour le AMB₊. En outre, nous développons une méthode basée sur le Malliavin weight sampling pour analyser les violations du théorème de fluctuation-dissipation à différentes échelles. Nous expliquons également comment utiliser le modèle inféré de l’énergie effective pour calculer le taux de production d’entropie locale. En comparant ces résultats, nous montrons que les écarts significatifs par rapport à l’équilibre thermique et la brisure de symétrie par renversement dans le temps sont étroitement liés à l’émergence d’interactions à longue portée dans l’énergie effective. Dans la troisième partie, nous montrons comment le taux de production d’entropie des systèmes de particules en interaction est accessible directement dans le cadre de la théorie du champ de densité. Ceci est particulièrement utile, car ces théories offrent une description simplifiée et à gros grain des systèmes à plusieurs corps en termes de champ de densité scalaire. Nous construisons soigneusement l’intégrale de chemin associée en utilisant des discrétisations spatiales et temporelles appropriées pour préserver la structure du bruit stochastique. Cela nous permet de retrouver des résultats connus - par exemple, ceux obtenus à partir de la théorie des champs de Doi-Peliti - et d’étendre le formalisme à des modèles dont les diffusivités dépendent fonctionnellement de la densité, comme cela est nécessaire pour décrire les systèmes de particules actives.
L’émergence de la complexité à partir du comportement collectif de nombreux éléments en interaction est une question centrale en physique statistique. Cette thèse étudie les systèmes physiques à l’équilibre et hors équilibre en utilisant des théories effectives et en exploitant des concepts du Groupe de Renormalisation (RG) et de la théorie des ondelettes. Comprendre comment les différentes échelles d’un système interagissent est crucial, car des phénomènes collectifs se produisent lorsque le découplage entre les échelles disparait. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle approche pour implémenter le RG basée sur la décomposition d’un champs sur une base d’ondelettes. En raison des fortes propriétés de localisation des ondelettes dans l’espace réel et dans l’espace de Fourier, cette décomposition permet une factorisation approximative de l’Hamiltonien. La formulation fonctionnelle du RG obtenue conduit naturellement à une approximation diagonale, dans laquelle les couplages entre les cellules distinctes de l’espace des phases sont négligés. Nous appliquons cette méthode analytiquement et numériquement à la théorie des champs phi-4. La deuxième partie examine l’émergence d’interactions à longue portée dans un modèle de matière active scalaire, connu sous le nom de Modèle Actif B₊ (AMB₊). Nous utilisons une technique utilisant des réalisations du système, le Wavelet Conditional Renormalization Group, qui combine la décomposition en ondelettes avec un flot RG inversé pour inférer efficacement un modèle d’énergie effective pour le AMB₊. En outre, nous développons une méthode basée sur le Malliavin weight sampling pour analyser les violations du théorème de fluctuation-dissipation à différentes échelles. Nous expliquons également comment utiliser le modèle inféré de l’énergie effective pour calculer le taux de production d’entropie locale. En comparant ces résultats, nous montrons que les écarts significatifs par rapport à l’équilibre thermique et la brisure de symétrie par renversement dans le temps sont étroitement liés à l’émergence d’interactions à longue portée dans l’énergie effective. Dans la troisième partie, nous montrons comment le taux de production d’entropie des systèmes de particules en interaction est accessible directement dans le cadre de la théorie du champ de densité. Ceci est particulièrement utile, car ces théories offrent une description simplifiée et à gros grain des systèmes à plusieurs corps en termes de champ de densité scalaire. Nous construisons soigneusement l’intégrale de chemin associée en utilisant des discrétisations spatiales et temporelles appropriées pour préserver la structure du bruit stochastique. Cela nous permet de retrouver des résultats connus - par exemple, ceux obtenus à partir de la théorie des champs de Doi-Peliti - et d’étendre le formalisme à des modèles dont les diffusivités dépendent fonctionnellement de la densité, comme cela est nécessaire pour décrire les systèmes de particules actives.
Nous nous proposons d’etudier le modele de Luttinger en utilisant le groupe de renormalisation dans l’espace interne. Cette extension du groupe de renormalisation permet la construction de la fonctionnelle action effective en resommant les modes selon leur importance dans l’espace interne, caracteristique de l’amplitude des champs de la theorie. Elle s’effectue a l’ordre une boucle et semble indiquer clairement qu’au voisinage des points de Fermi, le systeme est fortement couple. Nous mettons aussi en evidence quelques problemes potentiels lies a la bosonisation du hamiltonien de Luttinger. L’etude des systemes dissipatifs est un autre probleme fondamental en physique. La description la plus simple de ces phenomenes consiste a faire l’hypothese que le systeme et son environnement une fois regroupes forment un systeme isole, et l’on procede alors a l’etude du systeme etendu. Nous nous evertuerons a construire une methode systematique qui permet de d’obtenir l’action effective, comme fonctionnelle de la densite, d’un tel systeme. Nous procedons a une etude classique qui montre alors l’apparition d’une derivee temporelle symetrisee, qui se traduit au niveau quantique par l’utilisation des fonctions de Green causales. Nous travaillons ensuite sur un modele de theorie des champs qui decrit la dynamique d’un systeme a deux niveaux en contact avec un bain d’oscillateurs harmoniques. Le developpement des structures de communication comme le reseau Internet revele que les reseaux complexes presentent de proprietes tres interessantes. Nous avons realise un modele susceptible de decrire ce comportement particulier comme une consequence de correlations subtiles entre les relations physiques qu’ont les individus de tels reseaux et un effet memoire a court-terme. Nous conduisons cette etude numeriquement et observons alors le comportement scale-free caracteristique de ces systemes.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.