Analysis of variational quantum algorithms for differential equations in the presence of quantum noise : application to the stationary Gross-Pitaevskii equation
Analyse d'algorithmes quantiques variationnels pour la résolution d'équations différentielles en présence de bruit quantique : application à l'équation de Gross-Pitaevskii stationnaire Les algorithmes quantiques variationnels (VQAs) ont été proposés pour la résolution d'équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques bruités. Cette thèse se concentre sur l'analyse des VQAs pour l'équation stationnaire de Gross-Pitaevskii (GPE), à la fois dans des conditions idéales (sans bruit) et en présence de bruit quantique, en fournissant des bornes d'erreur, des propriétés de convergence et des estimations du nombre d'échantillons nécessaires.Un concept central de cette thèse consiste en l'utilisation de la relation entre la représentation des fonctions et des opérateurs fonctionnels sur les rationnels dyadiques, via la base de Walsh, et l'encodage des fonctions et des opérateurs pour des systèmes quantiques à N qubits à travers les opérateurs de Pauli et leurs états propres.Dans le chapitre 1, nous relions les opérateurs de Pauli des systèmes quantiques à N qubits avec la base de Walsh sur les rationnels dyadiques à N bits, en présentant de nouvelles bornes d'erreur pour la convergence de la série de Walsh à N bits pour les fonctions dans H^1(0,1) et en présentant quelques résultats sur la représentation des fonctions de la base de Fourier dans la base de Walsh.Dans le chapitre 2, nous analysons les VQAs pour la GPE sans bruit, en détaillant le cadre mathématique, la discrétisation et l'analyse a priori de l'erreur. Nous introduisons de nouveaux estimateurs d'énergie, soit basés sur la décomposition de Walsh des opérateurs, soit obtenus par des méthodes inductives, et nous les comparons à l'échantillonnage direct, dans la base diagonale des opérateurs, et à la méthode du test de Hadamard. Nos résultats montrent qu'en l'absence de bruit, les méthodes les plus prometteuses pour l'estimation de l'énergie sont l'échantillonnage direct dans la base diagonale, offrant la plus faible variance et les besoins en échantillons les plus faibles.Dans le chapitre 3, nous examinons plus en détail l'impact du bruit quantique sur l'estimation de l'énergie. Le bruit dépolarisant introduit un biais et modifie la variance des estimateurs. Nous montrons que les estimateurs de Pauli sont les moins affectés par le bruit, en raison de la taille réduite des circuits nécessaires, surpassant les autres, à la fois sans mitigation, en raison d'un biais plus faible, et avec mitigation, car leur efficacité en termes d'échantillons est moins affectée.Cette recherche fournit une base pour l'utilisation des VQAs pour résoudre des équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques, offrant des estimations réalistes des coûts computationnels de la partie estimation de l'énergie des algorithmes. De plus, les connaissances acquises peuvent contribuer au développement d'algorithmes quantiques pratiques pour l'encodage en blocs des opérateurs différentiels et de leurs opérateurs d'évolution associés.
Analyse d'algorithmes quantiques variationnels pour la résolution d'équations différentielles en présence de bruit quantique : application à l'équation de Gross-Pitaevskii stationnaire Les algorithmes quantiques variationnels (VQAs) ont été proposés pour la résolution d'équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques bruités. Cette thèse se concentre sur l'analyse des VQAs pour l'équation stationnaire de Gross-Pitaevskii (GPE), à la fois dans des conditions idéales (sans bruit) et en présence de bruit quantique, en fournissant des bornes d'erreur, des propriétés de convergence et des estimations du nombre d'échantillons nécessaires.Un concept central de cette thèse consiste en l'utilisation de la relation entre la représentation des fonctions et des opérateurs fonctionnels sur les rationnels dyadiques, via la base de Walsh, et l'encodage des fonctions et des opérateurs pour des systèmes quantiques à N qubits à travers les opérateurs de Pauli et leurs états propres.Dans le chapitre 1, nous relions les opérateurs de Pauli des systèmes quantiques à N qubits avec la base de Walsh sur les rationnels dyadiques à N bits, en présentant de nouvelles bornes d'erreur pour la convergence de la série de Walsh à N bits pour les fonctions dans H^1(0,1) et en présentant quelques résultats sur la représentation des fonctions de la base de Fourier dans la base de Walsh.Dans le chapitre 2, nous analysons les VQAs pour la GPE sans bruit, en détaillant le cadre mathématique, la discrétisation et l'analyse a priori de l'erreur. Nous introduisons de nouveaux estimateurs d'énergie, soit basés sur la décomposition de Walsh des opérateurs, soit obtenus par des méthodes inductives, et nous les comparons à l'échantillonnage direct, dans la base diagonale des opérateurs, et à la méthode du test de Hadamard. Nos résultats montrent qu'en l'absence de bruit, les méthodes les plus prometteuses pour l'estimation de l'énergie sont l'échantillonnage direct dans la base diagonale, offrant la plus faible variance et les besoins en échantillons les plus faibles.Dans le chapitre 3, nous examinons plus en détail l'impact du bruit quantique sur l'estimation de l'énergie. Le bruit dépolarisant introduit un biais et modifie la variance des estimateurs. Nous montrons que les estimateurs de Pauli sont les moins affectés par le bruit, en raison de la taille réduite des circuits nécessaires, surpassant les autres, à la fois sans mitigation, en raison d'un biais plus faible, et avec mitigation, car leur efficacité en termes d'échantillons est moins affectée.Cette recherche fournit une base pour l'utilisation des VQAs pour résoudre des équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques, offrant des estimations réalistes des coûts computationnels de la partie estimation de l'énergie des algorithmes. De plus, les connaissances acquises peuvent contribuer au développement d'algorithmes quantiques pratiques pour l'encodage en blocs des opérateurs différentiels et de leurs opérateurs d'évolution associés.
Les algorithmes quantiques variationnels (VQAs) ont été proposés pour la résolution d'équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques bruités. Cette thèse se concentre sur l'analyse des VQAs pour l'équation stationnaire de Gross-Pitaevskii (GPE), à la fois dans des conditions idéales (sans bruit) et en présence de bruit quantique, en fournissant des bornes d'erreur, des propriétés de convergence et des estimations du nombre d'échantillons nécessaires.Un concept central de cette thèse consiste en l'utilisation de la relation entre la représentation des fonctions et des opérateurs fonctionnels sur les rationnels dyadiques, via la base de Walsh, et l'encodage des fonctions et des opérateurs pour des systèmes quantiques à N qubits à travers les opérateurs de Pauli et leurs états propres.Dans le chapitre 1, nous relions les opérateurs de Pauli des systèmes quantiques à N qubits avec la base de Walsh sur les rationnels dyadiques à N bits, en présentant de nouvelles bornes d'erreur pour la convergence de la série de Walsh à N bits pour les fonctions dans H^1(0,1) et en présentant quelques résultats sur la représentation des fonctions de la base de Fourier dans la base de Walsh.Dans le chapitre 2, nous analysons les VQAs pour la GPE sans bruit, en détaillant le cadre mathématique, la discrétisation et l'analyse a priori de l'erreur. Nous introduisons de nouveaux estimateurs d'énergie, soit basés sur la décomposition de Walsh des opérateurs, soit obtenus par des méthodes inductives, et nous les comparons à l'échantillonnage direct, dans la base diagonale des opérateurs, et à la méthode du test de Hadamard. Nos résultats montrent qu'en l'absence de bruit, les méthodes les plus prometteuses pour l'estimation de l'énergie sont l'échantillonnage direct dans la base diagonale, offrant la plus faible variance et les besoins en échantillons les plus faibles.Dans le chapitre 3, nous examinons plus en détail l'impact du bruit quantique sur l'estimation de l'énergie. Le bruit dépolarisant introduit un biais et modifie la variance des estimateurs. Nous montrons que les estimateurs de Pauli sont les moins affectés par le bruit, en raison de la taille réduite des circuits nécessaires, surpassant les autres, à la fois sans mitigation, en raison d'un biais plus faible, et avec mitigation, car leur efficacité en termes d'échantillons est moins affectée.Cette recherche fournit une base pour l'utilisation des VQAs pour résoudre des équations différentielles partielles sur des ordinateurs quantiques, offrant des estimations réalistes des coûts computationnels de la partie estimation de l'énergie des algorithmes. De plus, les connaissances acquises peuvent contribuer au développement d'algorithmes quantiques pratiques pour l'encodage en blocs des opérateurs différentiels et de leurs opérateurs d'évolution associés.
Circuits quantiques bruités pour l'optimisation combinatoire Alors que les ordinateurs quantiques croissent en taille tout en restant affectés par le bruit, un défi clé consiste à déterminer quand et comment ils peuvent surpasser les meilleurs algorithmes classiques sur des tâches pratiques. Cela nécessite le développement d'algorithmes de simulation de circuits quantiques hautement efficaces. Les algorithmes de rétropropagation de Pauli font partie des plus prometteurs, ayant montré leur efficacité dans la simulation de certaines classes de circuits quantiques paramétrés, candidats sérieux pour l'avantage quantique à court terme, sous des hypothèses de circuits aléatoires et de bruit de dépolarisation. Cependant, leur efficacité n'avait pas été démontrée pour des modèles de bruit nonunital plus réalistes, tels que l'amortissement d'amplitude, qui capturent mieux le comportement des ordinateurs quantiques actuels. Nous comblons cette lacune en adaptant la rétropropagation de Pauli à la plupart des canaux de bruit à un qubit, incluant le bruit nonunital, et en prouvant qu'elle reste efficace sous ces conditions. Notre algorithme est parallélisable, économe en mémoire, et ne requiert aucune hypothèse sur la localité de l'observable, la géométrie de la puce quantique, ou la profondeur du circuit. Bien que le bruit des ordinateurs quantiques puisse fortement affecter la puissance de calcul dans des circuits hautement structurés et tolérants aux erreurs, nos résultats indiquent peu de différence pour la plupart des architectures variationnelles. Ceci établit la rétropropagation de Pauli comme une méthode efficace pour simuler les dispositifs quantiques bruités sous des hypothèses de bruit réalistes. Bien que ces avancées améliorent notre capacité à simuler des observables bruités, de nombreuses applications pratiques, incluant l'optimisation combinatoire, nécessitent un accès direct aux chaînes de bits produites par les circuits quantiques, car celles-ci encodent les solutions souhaitées. La réplication classique de tels échantillons bruités a jusqu'à présent été limitée au-delà du cadre des circuits aléatoires. Pour combler cette lacune, nous nous concentrons d'abord sur les problèmes dont les fonctions objectif ne dépendent que des corrélations sur deux sites, tel que Max-Cut, et appliquons des techniques d'arrondissement aléatoire gaussien aux marginales à deux qubits du circuit. Ceci produit des échantillons classiques dont le coût espéré est prouvablement proche de celui du dispositif quantique bruité. Des simulations à grande échelle et des expériences sur les ordinateurs quantiques d'IBM confirment que les échantillons arrondis reproduisent la distribution d'énergie complète, avec un comportement similaire sous divers modèles de bruit. Couplé avec la rétropropagation de Pauli pour estimer efficacement les marginales bruitées, cela donne un échantillonneur classique de bout en bout opérant en temps polynomial pour une large classe de circuits variationnels bruités. Nos résultats montrent donc que des circuits quantiques suffisamment bruités pour l'optimisation combinatoire peuvent être échantillonnés classiquement, clarifiant où les ordinateurs quantiques à court terme peuvent ou ne peuvent pas surpasser les algorithmes classiques.Enfin, nous allons au-delà des marginales sur un et deux sites et présentons un algorithme qui échantillonne des chaînes de bits valides directement depuis une distribution d'entropie maximale avec des moments correspondant à ceux du circuit quantique. Cette méthode ne repose pas sur la localité ou la parcimonie de l'Hamiltonien du problème et fonctionne bien sur une variété de circuits quantiques, incluant des circuits profonds sur de nombreux qubits. Lorsqu'elle est combinée avec la propagation de Pauli ou la mitigation d'erreur, elle fournit un pipeline pratique pour obtenir des échantillons de circuits quantiques à court terme, où la correction d'erreur pourrait ne pas encore être disponible.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Algorithmes quantiques pour la méthode de Monte Carlo La méthode de Monte Carlo est un paradigme central de l'algorithmique basée sur l'analyse statistique et sur les techniques d'échantillonnage aléatoire appliquées aux problèmes ayant une interprétation probabiliste. Cette thèse explore les avantages qu'offrirait un ordinateur quantique pour augmenter l'efficacité de cette méthode. Nous étudions dans un premier temps le problème d'estimation de valeurs moyennes par des techniques à temps de calcul minimal. Nous développons de nouveaux algorithmes quantiques pour estimer l'espérance d'une variable aléatoire réelle produite en sortie d'un processus quantique. Les estimateurs que nous construisons procurent une accélération quadratique par rapport au nombre d'échantillons classiques nécessaires pour obtenir une borne d'erreur sous-gaussienne ou une (epsilon,delta)-approximation. Nous décrivons également un cadre théorique fournissant une notion de «temps d'arrêt» pour un processus quantique générant une variable aléatoire. Nous démontrons que le problème d'estimation de la moyenne peut être résolu plus efficacement lorsque le temps d'arrêt moyen du processus sous-jacent est court. Ces résultats sont appliqués au développement d'un algorithme de requête quantique quasi-optimal pour approximer le nombre de triangles dans un graphe. Dans un second temps, nous étudions le problème d'échantillonnage préférentiel et ses applications en optimisation stochastique. Nous construisons un algorithme quantique pour échantillonner plusieurs éléments d'une distribution finie spécifiée par un vecteur de probabilité. Notre approche résout le problème plus général consistant à préparer plusieurs copies d'un état quantique dont les amplitudes sont accessibles via un oracle. L'utilité de ce résultat est illustrée à travers le développement de deux algorithmes hybrides quantiques-classiques basés sur la méthode des poids multiplicatifs et sur l'algorithme du gradient stochastique. Ces deux applications concernent la prédiction en ligne avec conseil d'experts, et la minimisation des fonctions sous-modulaires. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des algorithmes quantiques à mémoire limitée. Nous étudions tout d'abord le problème d'approximation des moments de fréquence dans le modèle de flots de données à passes multiples. Nous construisons un algorithme quantique qui nécessite une quantité de mémoire moindre que les meilleurs algorithmes de streaming classiques possible. Notre méthode repose sur les estimateurs quantiques de moyenne susmentionnés et sur des techniques de simulation de calcul reversible. Nous explorons ensuite certaines limites des algorithmes à mémoire restreinte dans le modèle de requête quantique. Nous développons une nouvelle approche pour obtenir des bornes inférieures temps-mémoire, basée sur une technique récente d'enregistrement des requêtes quantiques. Ce résultat est appliqué au problème de la recherche de paires de collisions dans une fonction aléatoire. Nous démontrons que la complexité en requête quantique de cette tâche augmente lorsque la quantité de mémoire disponible diminue.
Résoudre le problème quantique à N-corps à l'aide de calculateurs quantiques Les calculateurs quantiques promettent de résoudre des problèmes insolvables pour les ordinateurs classiques. En particulier, manipuler des états superposés et intriqués de bits quantiques est une voie naturelle pour étudier la physique des systèmes quantiques à N particules. Avec les avancées rapides des technologies quantiques, nous avons pu voir émerger les premiers processeurs quantiques, nommés processeurs "NISQ" (de l'anglais "Noisy-Intermediate-Scale-Quantum"). Les progrès de ces machines ouvrent de nouveaux chemins aux physiciens pour simuler des systèmes quantiques. Cependant, leur taille limitée et les erreurs liées à la décohérence limitent fortement leur usage aujourd'hui. La conception d'algorithmes quantiques efficaces, résistant aux erreurs, est un défi considérable. Ce travail de thèse s'attelle à comprendre les capacités des processeurs quantiques à simuler des systèmes quantiques à N corps, avec une attention particulière aux applications pour la physique de la matière condensée. Dans un premier temps, nous abordons le sujet du calcul de l'état fondamental d'Hamiltoniens, à l'aide d'un algorithme variationnel quantique-classique (nommée l'algorithme VQE, de l'anglais « Variational Quantum Eigensolver »). Nous évaluons les performances de cette méthode sur le modèle de Hubbard, grâce à différentes métriques, comme la fidélité, l'énergie et les propriétés physiques des solutions obtenues. Nous démontrons, malgré des performances prometteuses en simulant un calculateur quantique sans bruit, que le niveau de bruit des machines contemporaines rend impossible la réalisation d'un calcul significatif. En revanche, certains états quantiques aux propriétés intéressantes peuvent avoir une forme simple. Leur préparation sur un calculateur quantique est un problème pertinent dans le but d'initialiser un calcul quantique avec ces états pour les amener vers des régimes où ils perdent leur forme simple. Pour illustrer ceci, nous prenons l'exemple du modèle Affleck-Lieb-Kennedy-Tasaki (AKLT), le premier modèle de chaîne de spin entier antiferromagnétique possédant une solution simple vérifiant la conjecture d'Haldane. Nous proposons deux schémas pour préparer les états AKLT, l'un suivant leur construction naturelle en projetant des paires de qubits sur leur sous-espace triplet, l'autre utilisant leur forme de réseaux de tenseurs. Nous analysons l'implémentation de ces méthodes en fonction de la taille du système, avec une réalisation expérimentale sur un processeur quantique. Enfin, nous explorons la synergie entre les méthodes de réseaux de tenseurs et les calculateurs quantiques bruités pour simuler la dynamique hors-équilibre de systèmes de spins. La simulation de dynamique quantique est une tâche naturelle pour les calculateurs quantiques, mais atteindre des temps longs est fortement limité par le bruit. D'autre part, les réseaux de tenseurs sont également limités aux temps courts, contraints par la quantité d'intrication qu'ils peuvent encoder. Nous proposons d'utiliser le meilleur des deux mondes : la dynamique à temps court est simulée efficacement par un réseau de tenseur, compilée vers des circuits quantiques de faible profondeur pour poursuivre l'évolution temporelle sur le calculateur quantique. Nous étudions les performances de ce schéma hybride quantique-classique en regardant la fidélité des états obtenus et la production d'intrication, avec une validation expérimentale. Finalement, nous proposons d'optimiser les circuits quantiques approximant l'opérateur évolution temporelle grâce à des réseaux de tenseurs, résultant en une simulation quantique classiquement améliorée utilisant moins de ressources quantiques.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.