Calcul numérique exact des diagrammes de Feynman pour la physique de Kondo hors équilibre en utilisant l'Interpolation de Tenseur par produit de Croix La physique des systèmes quantiques à N-corps révèle l’émergence de nombreux phénomènes collectifs inattendus, tels que l'anomalie 0.7, l'effet Kondo ou la supraconductivité à haute température critique. D'un point de vue théorique, la description de ces systèmes est complexe en raison de l’augmentation exponentielle de la taille de l’espace des états en fonction du nombre de particules. Par exemple, la compréhension quantitative de l’effet Kondo a nécessité le développement de nouveaux concepts et outils mathématiques, dont le groupe de renormalisation (numérique). Ce travail pionnier, qui valut à Wilson le prix Nobel en 1978, a ouvert la voie à de nombreuses avancées.Dans cette thèse, nous nous intéressons à la physique des boîtes quantiques, décrites par le modèle d’Anderson. Ce modèle présente une riche phénoménologie, tant dans le domaine de la charge (blocage de Coulomb) que dans celui du spin (effet Kondo). Si ce modèle est bien compris en régime d'équilibre, nous proposons ici une technique novatrice pour étudier ses propriétés dans le régime hors équilibre, un domaine historiquement difficile à traiter. Notre approche permet un calcul exact avec des erreurs contrôlées.Cette méthode est une évolution du « Monte Carlo diagrammatique », qui permet de calculer de manière systématique un très grand nombre de diagrammes de Feynman. Traditionnellement, cette technique échantillonne l’espace des diagrammes de façon stochastique. Dans notre travail, nous avons remplacé cette approche par une méthode d’apprentissage machine, basée sur les réseaux de tenseurs et l'algorithme d'interpolation par produit de croix. Ce dernier détecte et exploite la structure spécifique de l’espace des diagrammes, accélérant ainsi considérablement les calculs. Il présente l’avantage majeur d’être insensible au problème de signe qui limite les approches stochastiques.Grâce à cette nouvelle technique, nous avons pu calculer l’ensemble des diagrammes jusqu’à des ordres bien plus élevés qu’auparavant (<30), ce qui nous a permis de dévoiler la physique des boîtes quantiques hors équilibre avec une précision inégalée.
Calcul numérique exact des diagrammes de Feynman pour la physique de Kondo hors équilibre en utilisant l'Interpolation de Tenseur par produit de Croix La physique des systèmes quantiques à N-corps révèle l’émergence de nombreux phénomènes collectifs inattendus, tels que l'anomalie 0.7, l'effet Kondo ou la supraconductivité à haute température critique. D'un point de vue théorique, la description de ces systèmes est complexe en raison de l’augmentation exponentielle de la taille de l’espace des états en fonction du nombre de particules. Par exemple, la compréhension quantitative de l’effet Kondo a nécessité le développement de nouveaux concepts et outils mathématiques, dont le groupe de renormalisation (numérique). Ce travail pionnier, qui valut à Wilson le prix Nobel en 1978, a ouvert la voie à de nombreuses avancées.Dans cette thèse, nous nous intéressons à la physique des boîtes quantiques, décrites par le modèle d’Anderson. Ce modèle présente une riche phénoménologie, tant dans le domaine de la charge (blocage de Coulomb) que dans celui du spin (effet Kondo). Si ce modèle est bien compris en régime d'équilibre, nous proposons ici une technique novatrice pour étudier ses propriétés dans le régime hors équilibre, un domaine historiquement difficile à traiter. Notre approche permet un calcul exact avec des erreurs contrôlées.Cette méthode est une évolution du « Monte Carlo diagrammatique », qui permet de calculer de manière systématique un très grand nombre de diagrammes de Feynman. Traditionnellement, cette technique échantillonne l’espace des diagrammes de façon stochastique. Dans notre travail, nous avons remplacé cette approche par une méthode d’apprentissage machine, basée sur les réseaux de tenseurs et l'algorithme d'interpolation par produit de croix. Ce dernier détecte et exploite la structure spécifique de l’espace des diagrammes, accélérant ainsi considérablement les calculs. Il présente l’avantage majeur d’être insensible au problème de signe qui limite les approches stochastiques.Grâce à cette nouvelle technique, nous avons pu calculer l’ensemble des diagrammes jusqu’à des ordres bien plus élevés qu’auparavant (<30), ce qui nous a permis de dévoiler la physique des boîtes quantiques hors équilibre avec une précision inégalée.
Des calculs stochastiques aux calculs déterministes des diagrammes de Feynman pour la nanoélectronique quantique Nous étudions le modèle d'impureté d'Anderson, un modèle pour les points quantiques, qui capture théoriquement la physique de l'effet Kondo. L'effet Kondo a été initialement étudié dans des métaux avec des impuretés magnétiques. De telles impuretés magnétiques peuvent être construites en nanoélectronique comme des points quantiques en interaction couplés aux fils.Bien que le modèle d'impureté d'Anderson soit simple, les solutions analytiques sont rares et seules quelques méthodes numériques peuvent le traiter hors équilibre. L'une d'entre elles est la méthode de Monte Carlo quantique diagrammatique en temps réel, où le problème d'interaction entre plusieurs corps est exprimé sous la forme d'une série de perturbations aux puissances de la force d'interaction. Chaque terme est une somme de tous les diagrammes de Feynman d'ordre n, qui sont eux-mêmes des intégrales à n dimensions [Phys. Rev. B 91, 245154 (2015)]. L'intégration est réalisée avec un algorithme de Metropolis-Hastings. Elle est entravée par un taux de convergence 1/√N, où N est le nombre de points calculés.Dans ce travail, nous avons remplacé l'algorithme de Metropolis-Hastings par la méthode d'intégration quasi-Monte-Carlo, où l'intégrande est échantillonné directement avec des points déterministes à faible écart conçus pour être aussi uniformes que possible. Le taux de convergence est de 1/N si la fonction est suffisamment lisse. L'étape cruciale de cette approche est le warping : transformer l'intégrale dans une forme plus lisse (plus plate) avec une fonction modèle. Nous basons la fonction modèle sur la propriété de clusterisation discutée dans Phys. Rev. B 91, 245154 (2015).Nous avons vérifié la méthode avec une solution d'ansatz de Bethe pour la charge sur le point quantique. Ce cas est favorable et l'accélération obtenue est de plusieurs ordres de grandeur. L'accélération nous a permis d'explorer la caractéristique courant-tension à travers le point quantique. Nous avons également appliqué la nouvelle méthode au calcul d'une dépendance complète en fréquence des fonctions de Green [Phys. Rev. B 100, 125129 (2019)]. Lorsque les paramètres sont moins favorables (présence du problème du signe), le taux de convergence obtenue est compris entre 1/√N et 1/N. L'accélération est comprise entre deux et trois ordres de grandeur. Enfin, nous avons étudié des exemples où l'intégrande n'est pas suffisamment lisse et le taux de convergence est de 1/√N. Nous avons identifié le problème du signe comme étant la cause du ralentissement.
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.
Dynamique hors d'équilibre dans un modèle d'impureté quantique Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Algorithme Monte-Carlo pour les systèmes quantiques à fortes interactions et hors d'équilibre en nanoélectronique Les problèmes quantiques à plusieurs corps hors d'équilibre concentrent de plus en plus d'attention en physique de la matière condensée. Par exemple, les systèmes d'électrons en interaction soumis à un champ électrique externe (constant ou variable) sont un sujet d'étude important en nanoélectronique, mais aussi plus récemment en science des matériaux, afin d'identifier de nouveaux états de la matière hors d'équilibre. Dans cette thèse, une nouvelle méthode numérique et générique a été conçue pour ces systèmes, et appliquée au modèle d'impureté d'Anderson. Ce modèle représente fidèlement un point quantique couplé à une ou plusieurs électrodes, et rends compte à l'équilibre de l'effet Kondo : une manifestation des interactions Coulombiennes au sein du point quantique. Cette méthode a permis d'observer la disparition de l'effet Kondo lorsque le point quantique est conduit hors d'équilibre par une différence de potentiel. Le cœur de la méthode utilise un algorithme Monte-Carlo Quantique diagrammatique. Il s'agit d'une version optimisée de l'algorithme de Profumo et al. [Phys. Rev. B 91, 245154 (2015)], qui calcule des observables dépendantes du temps ou des fonctions de corrélations à travers leurs séries de perturbation en puissances de la force de l'interaction U. Le problème de la divergence de ces séries à grand U est traité par une méthode de resommation robuste. Elle analyse la structure analytique des séries dans le plan complexe en U afin de proposer une régularisation sur mesure par transformation conforme du plan complexe. En post-traitement, une technique Bayésienne permet d'inclure des informations non perturbatives pour réduire les barres d'erreurs qui ont été exacerbées par la resommation. Cette méthode pourrait être appliquée à l'étude de matériaux hors d'équilibre grâce aux algorithmes de "quantum embedding", comme la théorie dynamique de champs moyen, qui permettent l'étude de modèles de réseaux par la résolution d'un problème d'impureté autocohérent.