Renormalisation en théorie des champs tensoriels et le point fixe melonique Cette thèse étudie le flux du groupe de renormalisation en théorie des champs tensoriels. La première partie se concentre sur un modèle de tenseur quartique avec symétrie O(N)3 et un propagateur à longue portée. L'existence d'un point fixe non perturbatif pour tout d à grand N est établie. Nous trouvons quatre lignes de points fixes paramétrées par le couplage tétraédrique dont une attractive dans l'infrarouge et fortement interactive. Cela donne naissance à une nouvelle sorte de théorie conforme des champs au point fixe, que l'on nomme TCC melonique. Cette TCC melonique est ensuite étudiée plus en détails. Nous calculons tout d'abord les dimensions des opérateurs bilinéaires ainsi que les coefficients de l'expansion en produits d'opérateurs. Les résultats sont cohérents avec une TCC unitaire à grand N. Nous calculons ensuite les corrections en 1/N: la ligne de points fixes se réduit à un unique point fixe. Cependant, les corrections sont imaginaires et l'unitarité est brisée. Finalement, le théorème F est étudié pour ce modèle. D'après ce théorème, l'énergie libre d'une TCC sur la sphère en dimension 3 doit décroître le long du flux du groupe de renormalisation. Nous prouvons que ce théorème est en effet vérifié par notre modèle.La partie suivante de la thèse porte sur des théories des champs tensoriels sextiques en rangs 3 et 5. En rang 3, nous trouvons deux points fixes infrarouges stables et réels pour le modèle à courte portée et une ligne de points fixes infrarouges stables et réels pour le modèle à longue portée. Étonnamment, en rang 5, le seul point fixe est le point fixe Gaussien. En rang 3, pour le modèle à courte portée, nous trouvons toujours deux points fixes infrarouges stables au premier ordre en correction. Cependant, pour le cas à longue portée, les corrections aux points fixes ne sont pas perturbatives et ne sont donc pas fiables. Il n'y a pas de précurseur au point fixe à grand N. La dernière partie de la thèse étudie la classe de modèles présentant une limite melonique à grand N. En effet, cette limite manquait pour les modèles avec une représentation tensorielle ordinaire de O(N) ou Sp(N). Récemment, il a été prouvé que les modèles de tenseurs dans une représentation irréductible de O(N) ou Sp(N) en rang 3 admettaient en effet une limite melonique à grand N. Cette preuve est ici étendue au rang 5. Cette généralisation repose sur des bornes récursives dérivées d'une analyse combinatoire détaillée des graphes de Feynman impliqués dans l'expansion perturbative du modèle.
Renormalisation en théorie des champs tensoriels et le point fixe melonique Cette thèse étudie le flux du groupe de renormalisation en théorie des champs tensoriels. La première partie se concentre sur un modèle de tenseur quartique avec symétrie O(N)3 et un propagateur à longue portée. L'existence d'un point fixe non perturbatif pour tout d à grand N est établie. Nous trouvons quatre lignes de points fixes paramétrées par le couplage tétraédrique dont une attractive dans l'infrarouge et fortement interactive. Cela donne naissance à une nouvelle sorte de théorie conforme des champs au point fixe, que l'on nomme TCC melonique. Cette TCC melonique est ensuite étudiée plus en détails. Nous calculons tout d'abord les dimensions des opérateurs bilinéaires ainsi que les coefficients de l'expansion en produits d'opérateurs. Les résultats sont cohérents avec une TCC unitaire à grand N. Nous calculons ensuite les corrections en 1/N: la ligne de points fixes se réduit à un unique point fixe. Cependant, les corrections sont imaginaires et l'unitarité est brisée. Finalement, le théorème F est étudié pour ce modèle. D'après ce théorème, l'énergie libre d'une TCC sur la sphère en dimension 3 doit décroître le long du flux du groupe de renormalisation. Nous prouvons que ce théorème est en effet vérifié par notre modèle.La partie suivante de la thèse porte sur des théories des champs tensoriels sextiques en rangs 3 et 5. En rang 3, nous trouvons deux points fixes infrarouges stables et réels pour le modèle à courte portée et une ligne de points fixes infrarouges stables et réels pour le modèle à longue portée. Étonnamment, en rang 5, le seul point fixe est le point fixe Gaussien. En rang 3, pour le modèle à courte portée, nous trouvons toujours deux points fixes infrarouges stables au premier ordre en correction. Cependant, pour le cas à longue portée, les corrections aux points fixes ne sont pas perturbatives et ne sont donc pas fiables. Il n'y a pas de précurseur au point fixe à grand N. La dernière partie de la thèse étudie la classe de modèles présentant une limite melonique à grand N. En effet, cette limite manquait pour les modèles avec une représentation tensorielle ordinaire de O(N) ou Sp(N). Récemment, il a été prouvé que les modèles de tenseurs dans une représentation irréductible de O(N) ou Sp(N) en rang 3 admettaient en effet une limite melonique à grand N. Cette preuve est ici étendue au rang 5. Cette généralisation repose sur des bornes récursives dérivées d'une analyse combinatoire détaillée des graphes de Feynman impliqués dans l'expansion perturbative du modèle.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.
Tenseurs aléatoires et modèle de Sachdev-Ye-Kitaev Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.
Fluctuations fortement non uniformes au sein du Groupe de Renormalisation Fonctionnelle Depuis son introduction, le Groupe de Renormalisation est devenu l'outil théorique de prédilection pour comprendre et décrire le comportement collectif caractérisé par une invariance d'échelle émergente à proximité d'une transition de phase continue. Il offre un cadre conceptuel puissant, mais les résultats exacts étant rares, la recherche de schémas d'approximation génériques et efficaces a été très active dès le départ. Une ligne de recherche récente part d'une formulation exacte du Groupe de Renormalisation, sous la forme d'un Groupe de Renormalisation Fonctionnelle (GRF) pour les fonctionnelles génératrices dépendantes d'échelle, et introduit des approximations potentiellement non perturbatives via des ansatzes pour la fonctionnelle génératrice dépendante d'échelle étudiée. La question que nous abordons est de savoir dans quelle mesure de tels schémas d'approximation génériques sont capables de décrire des problèmes spécifiques où le comportement à longue distance implique des configurations fortement non uniformes avec, par exemple, des excitations localisées. Un exemple d'un tel schéma d'approximation au sein du GRF est l'expansion dérivée de l'action moyenne effective (énergie libre de Gibbs moyenne à gros grain ("coarse-grained") dans le langage des systèmes magnétiques) qui consiste à tronquer la forme fonctionnelle de cette dernière en puissances des moments extérieurs ou, de manière équivalente, en gradients des champs. L'approximation par expansion dérivée se concentre sur les propriétés à grande longueur d'onde et, en termes de configurations "coarse-grained" du système, fonctionne comme une expansion autour de configurations uniformes. On peut donc se demander si un tel schéma est capable de saisir la physique associée à des configurations non uniformes contenant, par exemple, des parois de domaine, des ondes de spin ou des défauts localisés comme les créneaux et les anti-créneaux trouvés dans l'analyse des instantons du modèle d'Ising en 1 dimension. Dans ce travail, nous évaluons la capacité de l'expansion dérivée du GRF à décrire quantitativement la physique à longue distance d'un modèle sur toute la gamme des dimensions spatiales sans connaissance a priori des configurations "coarse-grained" pertinentes dans l'espace réel. Pour ce faire, nous examinons d'abord comment les ordres inférieurs de l'expansion dérivée décrivent l'approche de la dimension critique inférieure dlcdlc de la théorie scalaire de type Ising φ4 qui est censée être contrôlée par la prolifération d'excitations localisées (instantons). Nous montrons que la convergence du potentiel effectif du point fixe décrivant le point critique du modèle est non uniforme dans le champ lorsque la dimension dd s'approche de dlcdlc, avec l'émergence d'une couche limite autour du minimum du potentiel. Au niveau d'approximation non trivial le plus bas (connu sous le nom de LPA’), cela nous permet de faire des prédictions analytiques pour la valeur de la dimension critique inférieure dlcdlc et pour le comportement de la température critique à mesure que d→dlc, qui sont tous deux en assez bon accord avec les résultats exacts connus. Nous considérons également pour le même modèle scalaire de type Ising φ4 la phase ordonnée dans la limite où d→dlc. Nous nous concentrons sur la manière dont le potentiel effectif dans le GRF devient convexe à mesure que les fluctuations spatiales appropriées, qui impliquent maintenant des configurations non uniformes avec une paroi de domaine séparant deux phases, sont incluses dans le calcul.
Modèles géométriques sur réseau et théories conformes irrationnelles Dans cette thèse nous étudions différents aspects des modèles critiques non-unitaires de physique statistique en deux dimensions. Notre approche, partant de modèles discrets sur le réseau, permet d'en apprendre plus sur les théories conformes associées. Celles-ci sont non-unitaires et souvent irrationnelles, logarithmiques ou encore non-compactes. Pour commencer, le problème de l'entropie d'intrication dans des chaînes de spin non-unitaires et son interprétation dans les modèles de boucles sont considérés. Le rôle de la charge centrale effective, une quantité pertinente pour étudier aussi d'autres problèmes de ce manuscrit, y est discuté. Ensuite, nous regardons deux problèmes liés au modèle de Chalker-Coddington, une chaîne de spin supersymétrique de dimension infinie, importante pour l'étude de la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier. Puisque ce modèle a un nombre infini de degrés de liberté, il a été proposé de considérer une série de troncations. Nous présentons de nouveaux résultats basés sur cette approche et développons cette méthode dans le cadre du mouvement Brownien dans sa formulation supersymétrique. Ensuite, un nouveau modèle est proposé pour interpoler la classe A et la classe C de l'effet Hall quantique. Le modèle de Chalker-Coddington est une réalisation particulière de la classe A tandis que la classe C, qui décrit la physique de l'effet Hall quantique de spin, est relié à un modèle de percolation. Ce modèle donne un exemple de flot sous l'action du groupe de renormalisation entre une théorie conforme compacte et non-compacte. La dernière partie de cette thèse discute la classification des observables sur réseau avec une symétrie discrète. Le processus est illustré sur le modèle de Potts avec sa symétrie sous l'action du groupe des permutations et des résultats déjà connus sont étendus au cas des opérateurs non-scalaires. Cette approche est importante dans l'étude de l'indécomposabilité des modèles non-unitaires et peut être utilisée pour étudier la percolation en dimension supérieure.