Les méthodes de Monte Carlo sont largement employées dans de nombreux domaines pour leur capacité à explorer un espace configurationnel de haute dimensionnalité sans connaissances préalables. Cependant, pour des systèmes physico-chimiques extensifs, la croissance des fluctuations statistiques sur des propriétés extensives multiplie le coût de calcul par un facteur allant de O(N) à O(N³). Dans cette thèse, nous présentons une méthode générale pour réduire le scaling de ces fluctuations pour des propriétés extensives locales sans introduire de biais. Cette méthode, que nous appelons Monte Carlo Partitionnelle (PMC), se base sur le principe de "diviser pour régner", et met en jeu trois idées-clés : la partition de notre système en fragments ; des sous-échantillonnages sur ces fragments à faible coût (avec une méthode de réduction matricielle) ; ainsi qu’un estimateur amélioré se servant de ces sous-échantillonnages. Nous présentons l'application de cette méthode générale à la méthode de Monte-Carlo Variationnelle (VMC) sur le modèle de Hubbard. Nous obtenons un gain en efficacité en O(N) même pour une fonction d'onde métallique. Dans un second temps, nous étendons la méthode PMC de manière théorique pour le calcul de propriétés extensives plus complexes, en construisant des estimateurs améliorés pour des covariances généralisées.
Les méthodes de Monte Carlo sont largement employées dans de nombreux domaines pour leur capacité à explorer un espace configurationnel de haute dimensionnalité sans connaissances préalables. Cependant, pour des systèmes physico-chimiques extensifs, la croissance des fluctuations statistiques sur des propriétés extensives multiplie le coût de calcul par un facteur allant de O(N) à O(N³). Dans cette thèse, nous présentons une méthode générale pour réduire le scaling de ces fluctuations pour des propriétés extensives locales sans introduire de biais. Cette méthode, que nous appelons Monte Carlo Partitionnelle (PMC), se base sur le principe de "diviser pour régner", et met en jeu trois idées-clés : la partition de notre système en fragments ; des sous-échantillonnages sur ces fragments à faible coût (avec une méthode de réduction matricielle) ; ainsi qu’un estimateur amélioré se servant de ces sous-échantillonnages. Nous présentons l'application de cette méthode générale à la méthode de Monte-Carlo Variationnelle (VMC) sur le modèle de Hubbard. Nous obtenons un gain en efficacité en O(N) même pour une fonction d'onde métallique. Dans un second temps, nous étendons la méthode PMC de manière théorique pour le calcul de propriétés extensives plus complexes, en construisant des estimateurs améliorés pour des covariances généralisées.
Les méthodes de Monte Carlo sont largement employées dans de nombreux domaines pour leur capacité à explorer un espace configurationnel de haute dimensionnalité sans connaissances préalables. Cependant, pour des systèmes physico-chimiques extensifs, la croissance des fluctuations statistiques sur des propriétés extensives multiplie le coût de calcul par un facteur allant de O(N) à O(N³). Dans cette thèse, nous présentons une méthode générale pour réduire le scaling de ces fluctuations pour des propriétés extensives locales sans introduire de biais. Cette méthode, que nous appelons Monte Carlo Partitionnelle (PMC), se base sur le principe de "diviser pour régner", et met en jeu trois idées-clés : la partition de notre système en fragments ; des sous-échantillonnages sur ces fragments à faible coût (avec une méthode de réduction matricielle) ; ainsi qu’un estimateur amélioré se servant de ces sous-échantillonnages. Nous présentons l'application de cette méthode générale à la méthode de Monte-Carlo Variationnelle (VMC) sur le modèle de Hubbard. Nous obtenons un gain en efficacité en O(N) même pour une fonction d'onde métallique. Dans un second temps, nous étendons la méthode PMC de manière théorique pour le calcul de propriétés extensives plus complexes, en construisant des estimateurs améliorés pour des covariances généralisées.
Nous presentons plusieurs contributions methodologiques aux approches de type monte carlo quantique et quelques applications a des problemes de la matiere condensee et de la chimie theorique. Apres un expose general, nous presentons une demonstration originale de l'instabilite de l'algorithme sans biais le plus naturel (methode pure diffusion monte carlo). Tres recemment, des approches basees sur un processus de reconfiguration stochastique d'une population de marcheurs ont ete developpees pour y remedier. Nous proposons ici une optimisation substantielle de ce type de methode. Nous considerons ensuite une approche originale pour ameliorer l'echantillonnage de l'espace des configurations. Pour cela nous montrons qu'il est possible d'integrer exactement l'evolution temporelle des trajectoires stochastiques confinees dans un domaine donne. Un deuxieme type de developpement vise a reduire la variance des quantites moyennees : introduction de fonctions d'onde de qualite pour des modeles quantiques unidimensionnels et mise en place d'un principe de variance nulle pour le calcul de toute observable quantique. Notre application principale est la mise en evidence d'une transition de mott metal-isolant pour une generalisation tres simple du modele de hubbard unidimensionnel (modele su(n), n > 2). A cette occasion nous avons developpe une methodologie theorique et numerique efficace pour analyser les transitions de phase continues dans les modeles quantiques unidimensionnels. Utilisant le cadre theorique de la bosonisation, nous effectuons un controle non-perturbatif des predictions theoriques au moyen de resultats monte carlo quantique de grande precision. Nous presentons egalement d'autres applications (oscillateur quartique, atome d'helium, modele d'ising bidimensionnel) mettant en valeur les differentes ameliorations proposees.
Simulations de Monte Carlo quantique améliorées : de systèmes ouverts aux solides cristallins Dans cette thèse nous présentons des progrès algorithmiques ainsi que plusieurs applications des méthodes de Monte Carlo quantique (QMC) pour simulations à partir des premiers principes. Les améliorations que nous proposons permettent d'étudier par QMC des systèmes de plus grosse taille voire périodiques, avec l'ambition de faire du QMC une alternative valable à la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT). Tous les résultats ont été obtenus par le logiciel TurboRVB. D'abord, nous présentons une implémentation du QMC basée sur la fonction d'onde Jastrow-Geminale qui combine une grande flexibilité avec un traitement précis des corrélations électroniques. On a appliqué une technique originale de plongement pour réduire la taille de la base atomique à la molécule d'eau ainsi qu'à un modèle simplifié du transfert de protons (TP) dans l'eau. Nos résultats ouvrent la voie à l'étude des phénomènes microscopiques tels que le TP directement par QMC. Ensuite, on a amélioré notre méthode afin de simuler les solides cristallins. Grâce à une nouvelle procédure pour choisir de manière appropriée les conditions aux limites, nous avons pu réduire les erreurs de taille finie qui affectent les simulations QMC des solides. Sur la base des techniques développées, nous étudions enfin le supraconducteur FeSe. Le QMC fournit le meilleur résultat concernant sa structure cristalline; via une étude systématique du paysage énergétique à différentes configurations magnétiques, nous montrons un lien fort entre la structure, le magnétisme et les mouvements de charge dans ce matériau, prélude à une compréhension quantitative de la supraconductivité à haute température des premiers principes.
Dans cette thèse nous présentons des progrès algorithmiques ainsi que plusieurs applications des méthodes de Monte Carlo quantique (QMC) pour simulations à partir des premiers principes. Les améliorations que nous proposons permettent d'étudier par QMC des systèmes de plus grosse taille voire périodiques, avec l'ambition de faire du QMC une alternative valable à la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT). Tous les résultats ont été obtenus par le logiciel TurboRVB. D'abord, nous présentons une implémentation du QMC basée sur la fonction d'onde Jastrow-Geminale qui combine une grande flexibilité avec un traitement précis des corrélations électroniques. On a appliqué une technique originale de plongement pour réduire la taille de la base atomique à la molécule d'eau ainsi qu'à un modèle simplifié du transfert de protons (TP) dans l'eau. Nos résultats ouvrent la voie à l'étude des phénomènes microscopiques tels que le TP directement par QMC. Ensuite, on a amélioré notre méthode afin de simuler les solides cristallins. Grâce à une nouvelle procédure pour choisir de manière appropriée les conditions aux limites, nous avons pu réduire les erreurs de taille finie qui affectent les simulations QMC des solides. Sur la base des techniques développées, nous étudions enfin le supraconducteur FeSe. Le QMC fournit le meilleur résultat concernant sa structure cristalline; via une étude systématique du paysage énergétique à différentes configurations magnétiques, nous montrons un lien fort entre la structure, le magnétisme et les mouvements de charge dans ce matériau, prélude à une compréhension quantitative de la supraconductivité à haute température des premiers principes.
Le modèle en couches constitue aujourd'hui un cadre théorique de référence pour appréhender les propriétés des noyaux à basse énergie. Son applicabilité demeure toutefois limitée par une croissance rédhibitoire de la dimension de l'espace des états aussi bien avec le nombre de couches de valence qu'avec le nombre de nucléons. Les méthodes Monte-Carlo quantiques (QMC) permettent a priori de contourner une telle difficulté en offrant une alternative à la diagonalisation du hamiltonien. Elles reposent sur une reformulation stochastique de l'équation de Schrödinger qui ramène le problème à N-corps à un ensemble de problèmes à un corps, numériquement solubles, et décrivant des particules indépendantes évoluant chacune dans un champ extérieur fluctuant. L'originalité de l'échantillonnage QMC proposé dans ce mémoire réside dans l'utilisation d'une approche variationnelle, avec restauration des symétries avant variation, pour guider le mouvement brownien et pour le contraindre afin de contrôler le problème de phase inhérent aux schémas QMC pour des fermions en interaction. Dans les couches sd et fp et avec les interactions résiduelles réalistes, nous avons ainsi pu obtenir une spectroscopie " yrast " en excellent accord avec les résultats issus de la diagonalisation du hamiltonien. En outre, une ouverture vers les systèmes d'électrons fortement corrélés est présentée au travers de nouveaux schémas QMC récemment suggérés pour le modèle de Hubbard en géométrie bidimensionnelle. Contrairement aux échantillonnages traditionnels, ils garantissent des trajectoires à poids positifs quel que soit le régime considéré. Nous avons prouvé que ces méthodes sont en réalité reliées à l'approche stochastique mise en oeuvre pour le modèle en couches. L'origine des erreurs systématiques qu'exhibent ces schémas, pourtant exempts de problème de signe avec le hamiltonien de Hubbard, est par ailleurs élucidée.
La méthode de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie est un outil largement utilisé pour traiter un ensemble de particules en interaction. Cette méthode permet souvent d'améliorer l'approximation de l'énergie de l'état fondamental d'un Hamiltonien dans un cadre variationnel. Dans cette technique, certaines symétries du système sont brisées intentionnellement dans la fonction d'onde utilisée lors de la recherche de l'état fondamental. Ce processus permet de capturer des corrélations complexes entre les particules à un coût numérique plus faible par rapport à un cadre qui préserve ces symétries. Étant donné que le véritable état fondamental doit respecter les symétries du problème, une étape de restauration de symétrie est a priori nécessaire pour revenir dans le sous-espace approprié de l'espace de Hilbert total.Cette thèse examine comment mettre en œuvre le schéma de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie à l'aide d'ordinateurs quantiques. L'algorithme quantique que nous utilisons pour la composante variationnelle est la méthode de ``Variational Quantum Eigensolver (VQE)". Son but est de préparer une approximation de l'état fondamental en utilisant une fonction d'onde paramétrisée afin de minimiser l'énergie associée au Hamiltonien. L'ansatz quantique de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) a été utilisé comme ansatz brisant les symétries, et les techniques développées ont été testées en utilisant les Hamiltoniens d'appariement et le modèle de Hubbard. Nous avons également utilisé la transformation de Jordan-Wigner pour encoder les opérateurs présents dans le Hamiltonien. Avec ces outils, à l'instar des calculs sur ordinateurs classiques, deux manières d'utiliser le processus de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie en conjonction avec la méthode VQE sont développés : nous pouvons varier les paramètres d'un ansatz de Brisure de Symétrie avant ou après la restauration de symétrie. La première approche est identifiée comme Projection Quantique Après Variation, tandis que la dernière est nommée Variation Quantique Après Projection.L'un des aboutissements de cette thèse est le développement de diverses techniques pour la restauration de symétrie. Certaines d'entre elles sont basées sur l'algorithme d'Estimation de Phase Quantique (QPE), ce qui comprend les méthodes de QPE itérative et de Rodéo. Nous avons également étudié d'autres techniques basées sur le concept ``d'Oracles quantiques", telles que les méthodes Oracle+Hadamard et Grover-Hoyer. L'algorithme de Combinaison Linéaire d'opérateurs Unitaires a été utilisé pour implémenter directement soit la projection, soit l'oracle. Nous avons également adapté le formalisme de ``Classical Shadows" pour la restauration de symétries dans le but d'optimiser les ressources quantiques nécessaires. Les différentes méthodes de restauration de symétrie sont illustrées à travers la thèse pour les symétries associées au nombre de particules et au spin total.Dans la dernière partie de la thèse, des techniques dites hybrides quantiques-classiques sont présentées, qui peuvent aider à extraire des informations précieuses sur le spectre de basse énergie du Hamiltonien. En supposant qu'il est possible d'extraire avec précision les moments du Hamiltonien à partir de leur fonction génératrice à l'aide d'un ordinateur quantique, nous introduisons deux méthodes d'analyse des spectres : la méthode de t-expansion, qui combine l'évolution en temps imaginaire et l'approximation de Padé, et la méthode de Krylov, une méthode d'expansion du sous-espace quantique qui peut fournir des informations sur les valeurs propres du Hamiltonien et sur l'évolution de la probabilité de survie. De plus, nous présentons également des résultats de la méthode Krylov Quantique. Cette technique donne des informations similaires à la méthode de Krylov, mais sans avoir besoin d'estimer les moments du Hamiltonien, une tâche qui reste difficile sur un ordinateur quantique actuellement.