Décodage de codes quantiques LDPC Afin de pouvoir réaliser des calculs utiles grâce à des ordinateurs quantiques nous devons rendre l’information quantique plus robuste contre le bruit. Une approche prometteuse repose sur l’utilisation de code quantiques LDPC, qui nécessitent d’être associés à un décodeur. Dans cette thèse nous étudions le décodage de codes quantiques LDPC, et en particulier de codes produits d’hypergraphes, par diverse décodeurs. Nous commençons par étudier un décodeur focalisé sur les performances et obtenus en combinant deux décodeurs existants, BP et SSF. Nous montrons par des simulations que ses performances sont meilleurs que celles de chacun des deux décodeurs seuls sur des codes produits d’hypergraphes aléatoires. Nous nous concentrons ensuite sur un décodeur plus simple à analyser et ayant des garanties théoriques intéressantes, en continuant l’importation du décodeur LP qu cas quantiques, travail entamé par Li et Vontobel. Nous réussissons à prouver des résultats négatifs limitant les performances asymptotiques du décodeur sur plusieurs codes quantiques LDPC, tout en obtenant de bons résultats sur des codes produits d’hypergraphes de tailles réalistes. Enfin nous étudions le décodage local de codes quantiques LDPC, et plus particulièrement nous analysons par des simulations les performances de l’implémentation la plus rapide et la plus locale de SSF.
Décodage de codes quantiques LDPC Afin de pouvoir réaliser des calculs utiles grâce à des ordinateurs quantiques nous devons rendre l’information quantique plus robuste contre le bruit. Une approche prometteuse repose sur l’utilisation de code quantiques LDPC, qui nécessitent d’être associés à un décodeur. Dans cette thèse nous étudions le décodage de codes quantiques LDPC, et en particulier de codes produits d’hypergraphes, par diverse décodeurs. Nous commençons par étudier un décodeur focalisé sur les performances et obtenus en combinant deux décodeurs existants, BP et SSF. Nous montrons par des simulations que ses performances sont meilleurs que celles de chacun des deux décodeurs seuls sur des codes produits d’hypergraphes aléatoires. Nous nous concentrons ensuite sur un décodeur plus simple à analyser et ayant des garanties théoriques intéressantes, en continuant l’importation du décodeur LP qu cas quantiques, travail entamé par Li et Vontobel. Nous réussissons à prouver des résultats négatifs limitant les performances asymptotiques du décodeur sur plusieurs codes quantiques LDPC, tout en obtenant de bons résultats sur des codes produits d’hypergraphes de tailles réalistes. Enfin nous étudions le décodage local de codes quantiques LDPC, et plus particulièrement nous analysons par des simulations les performances de l’implémentation la plus rapide et la plus locale de SSF.
Afin de pouvoir réaliser des calculs utiles grâce à des ordinateurs quantiques nous devons rendre l’information quantique plus robuste contre le bruit. Une approche prometteuse repose sur l’utilisation de code quantiques LDPC, qui nécessitent d’être associés à un décodeur. Dans cette thèse nous étudions le décodage de codes quantiques LDPC, et en particulier de codes produits d’hypergraphes, par diverse décodeurs. Nous commençons par étudier un décodeur focalisé sur les performances et obtenus en combinant deux décodeurs existants, BP et SSF. Nous montrons par des simulations que ses performances sont meilleurs que celles de chacun des deux décodeurs seuls sur des codes produits d’hypergraphes aléatoires. Nous nous concentrons ensuite sur un décodeur plus simple à analyser et ayant des garanties théoriques intéressantes, en continuant l’importation du décodeur LP qu cas quantiques, travail entamé par Li et Vontobel. Nous réussissons à prouver des résultats négatifs limitant les performances asymptotiques du décodeur sur plusieurs codes quantiques LDPC, tout en obtenant de bons résultats sur des codes produits d’hypergraphes de tailles réalistes. Enfin nous étudions le décodage local de codes quantiques LDPC, et plus particulièrement nous analysons par des simulations les performances de l’implémentation la plus rapide et la plus locale de SSF.
Étude de codes LDPC quantiques et de leur décodage Les codes quantiques de type LDPC (Low-Density Parity-Check, à matrice de parité creuse) offrent une solution prometteuse pour protéger l’information quantique contre les erreurs et sont donc considérés comme une étape importante dans la réalisation à grande échelle d’un ordinateur quantique tolérant aux fautes. Dans cette thèse, nous étudions les codes LDPC quantiques selon trois approches différentes, en analysant le décodage par renormalisation du code torique de Kitaev, en établissant des limites sur la distance minimale des codes géométriquement locaux et en construisant de petits exemples de codes de Tanner quantiques. Le code torique de Kitaev est un code LDPC quantique remarquable et est actuellement le plus largement considéré pour une mise en œuvre expérimentale. Nous examinons les décodeurs par renormalisation probabiliste introduits par Duclos-Cianci et Poulin, une famille de décodeurs qui offrent l’un des meilleurs compromis entre précision et rapidité. Nous étudions la manière dont ils gèrent les erreurs adverses en introduisant un décodeur par renormalisation déterministe, n’utilisant pas les probabilités a priori du modèle d’erreur. Nous constatons que ce décodeur par renormalisation admet des motifs d’erreurs incorrigibles de type fractal et nous obtenons une borne inférieure sur le poids de ces erreurs. En raison de contraintes physiques, une grande attention a été accordée aux codes LDPC quantiques dont les stabilisateurs n’agissent que sur un nombre limité de qubits voisins. Nous étendons la fameuse borne de Bravyi-Terhal aux codes quantiques définis par des contraintes locales sur un quotient de réseau, fournissant ainsi un aperçu essentiel des limites des codes stabilisateurs géométriquement locaux. En guise d’application, nous fournissons des bornes supérieures sur la distance minimale de codes à deux blocs construits à l’aide d’une algèbre d’un groupe abélien, une famille de codes LDPC quantiques pour laquelle la distance minimale est actuellement inconnue. Ces dernières années, des codes LDPC quantiques asymptotiquement bons ont été construits, mais les résultats démontrables concernant leurs distances minimales ne s’appliquent qu’à des codes trop longs pour être utilisables. Dans le cadre des efforts visant à concevoir des codes pouvant être mis en œuvre à court terme, nous construisons des instances courtes de codes quantiques de Tanner à l’aide de complexes carrés obtenus à partir de produits liftés de graphes réguliers. Plusieurs instances explicites de ces codes présentent des distances minimales dépassant la racine carrée de la longueur du code.
Décodage efficace de codes quantiques LDPC par passage de messages Pour construire un ordinateur quantique, il est nécessaire de corriger au fur et a mesure les erreurs qui se produisent au cours du calcul, qui, si elles s’accumulent, risquent de biaiser le résultat. Ces erreurs s’accumulent pour deux raisons, premièrement car les technologies utilisées aujourd’hui et dans un futur proche sont encore immatures, et deuxièmement, a cause d’un principe fondamental de la physique quantique, le principe d’incertitude de Hilbert. A cause des contraintes liées aux lois de la physique quantique, les méthodes utilisées pour protéger l’information quantique du bruit sont différentes en quantique comparé au classique. Par exemple, il n’est pas possible de faire des “sauvegardes” régulières sur un ordinateur quantique, a cause du Théorème de non-clonage qui stipule qu’il est impossible de copier parfaitement un état quantique.Par chance, il s’avère que la théorie de la correction d’erreur, utilisée de manière classique surtout dans les communications et le stockage d’information, trouve ici une application pour le calcul tolérant aux fautes.Parmi les nombreux problèmes liés a l’utilisation de cette belle et riche théorie pour le calcul tolérant aux fautes en quantique, dans la suite, nous nous intéresserons seulement à la question du décodage par passage de messages des codes LDPC. Dans la suite, je discuterai d’abord les limitations théoriques et pratique d’un certain type de décodeur par passage de message, le Min-Sum appliqué au code torique, un code pressenti pour être utilisé dans la première génération d’ordinateurs quantiques. Ensuite, je montrerai comment les performances pratiques des décodeurs par passage de message peuvent être grandement améliorées en utilisant des post-processings spécifiques aux codes quantiques.
Les communications sans fil, déjà très présentes dans notre société, soulèvent de nouveaux défis dans le cadre du déploiement de l'Internet des Objets (IoT) tels que le développement de nouvelles méthodes de décodage au niveau de la couche physique permettant d'assurer de bonnes performances pour la transmission de messages courts. En particulier, les codes LDPC (Low Density Parity Check) sont une famille de codes correcteurs d'erreurs très connus pour leurs excellentes performances asymptotiques lorsqu'ils sont décodés par l'algorithme de propagation de croyance (BP, pour Belief Propagation, en anglais). Cependant, la capacité de correction de l'algorithme BP se retrouve fortement dégradée pour les codes LDPC courts. Ainsi, cette thèse porte sur l'amélioration du décodage des codes LDPC courts, grâce notamment à des outils d'apprentissage automatique, tels que les réseaux de neurones.Après avoir introduit les notions et caractéristiques des codes LDPC et du décodage BP,ainsi que la modélisation du BP par un réseau de neurones récurrent (BP-Recurrent NeuralNetwork ou BP-RNN), nous développons de nouvelles méthodes d'entraînement afin de spécialiser le décodeur BP-RNN sur des motifs d'erreurs partageant des propriétés structurelles similaires. Ces approches de spécialisation sont associées à des architectures de décodage composées de plusieurs BP-RNNs spécialisés, où chaque BP-RNN est entraîné à corriger un type différent de motif d'erreurs (diversité de décodage). Nous nous intéressons ensuite au post-traitement du BP (ou du BP-RNN) avec un décodage par statistiques ordonnées (Ordered Statistics Decoding ou OSD) afin de se rapprocher de la performance du décodage par maximum de vraisemblance. Pour améliorer les performances du post-traitement, nous optimisons son entrée grâce à un neurone simple, puis nous introduisons une stratégie de décodage pour un post-traitement par OSD multiples. Il est alors montré que cette stratégie tire efficacement partie de la diversité de ses entrées, fournissant ainsi un moyen efficace de combler l'écart avec le décodage par maximum de vraisemblance.
Manipulation résiliente aux erreurs de l'information quantique avec des codes stabilisateurs LDPC Les codes stabilisateurs, et en particulier les codes quantiques LDPC, sont les principaux candidats qui permettraient la correction d'erreurs quantiques, nécessaire à moyen terme pour rendre l'ordinateur quantique utilisable. Trouver des codes stabilisateurs ayant de bons taux d'encodage n'est cependant pas suffisant puisqu'il est nécessaire d'être capable de leur appliquer un ensemble de portes quantiques universel ainsi que de pouvoir les décoder efficacement. Dans cette thèse, nous tentons de résoudre les difficultés soulevées par la conciliation de ces deux nécessités omise par l'état de l'art, via la formulation d'une nouvelle heuristique pour l'algorithme de décodage existant. Les dernières avancées matérielles pour la conception d'ordinateurs quantiques rendent cette question d'autant plus fondamentale. Armés de ce décodeur, nous simulons un ensemble de portes logiques de Clifford tolérantes aux fautes pour le code torique. Un protocole de simulation exploitant des états de Bell a dû être créé pour y parvenir. Nous espérons ainsi ouvrir la voie vers de nouvelles implémentations de portes logiques pour les codes stabilisateurs encodant plusieurs qubits logiques. Enfin, nous étendons nos résultats jusqu'à trouver de nouvelles implémentations de portes logiques pour le code couleur torique, en exploitant le lien intime le reliant aux codes de surface toriques. Nous définissons également une nouvelle classe de codes couleurs dont nous pensons qu'ils pourraient apporter certains avantages par rapport aux codes couleurs concaténés.
La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisees pour stocker, processer et transmettre de l'information de facon fiable dans un environnement bruite. La theorie de la correction d'erreur classique est fondee sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette theorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolerance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La theorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schemas redondants de la theorie classique parce qu'elle doit faire avec le theoreme de non-clonage: l'information quantique ne peut pas etre copiee. La correction d'erreur quantique est neanmoins possible en repartissant l'information sur un plus grand nombre d'elements de memoire quantique que necessaire. Dans la theorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mecanique quantique.
Au dela de cette difference conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup herite de son equivalent classique. Dans cette these nous nous interessons a une classe de codes correcteurs quantiques dont l'equivalent classique a ete definie en 1961 par Gallager. A cette epoque l'information quantique n'etait meme pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De facon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposees pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus precisement cette these se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathematique de l'homologie, dont les objets d'etude sont des suites d'applications lineaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour etudier la topologie de formes geometriques, la theorie de l'homologie comprend maintenant egalement des branches plus algebriques, dont le centre d'interet est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la meme trajectoire: ils ont ete introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspires de formes geometriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont ete construits a partir de geometries spheriques, euclidiennes et hyperboliques, a partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, a partir d'objets de dimension croissante et non bornee et a partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Apres avoir introduit des concepts generaux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette these, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondee sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur cote geometrique, donne par des varietes, et leur cote cote combinatoire, donne par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrieme et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondee sur des objets spheriques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilite dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui realisent cette geometrie spherique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique ou des codes classiques sont utilises pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.