Wave functions and scalar products in the Bethe ansatz

Benoît Vallet

Published Oct 10, 2019• 0 citations

Abstract

Fonctions d’onde et produits scalaires dans l’ansatz de Bethe Les modèles intégrables sont des modèles physiques pour lesquels certaines quantités peuvent être calculées de manière exacte, sans recours aux méthodes de perturbations. Ces modèles très particuliers suscitent un intérêt croissant en physique théorique. Les applications directes en physique de la matière condensée et les liens subtils plus récemment mis en évidence avec certaines théories de jauge supersymétriques ont motivé depuis des décennies l’élaboration d’outils mathématiques complexes. Parmi eux, l’ansatz de Bethe a joué un rôle central, et permis la diagonalisation de nombreux modèles de natures très différentes. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à une introduction aux deux approches de l’ansatz de Bethe, dites ”en coordonnée” et ”algébrique”, dans le cadre de la chaîne de spin de Heisenberg et d’un modèle stochastique généralisant à un spin continu le modèle du Totally Asymmetric Simple Exclusion Process. Le deuxième chapitre de cette thèse présente l’ansatz algébrique modifié pour la chaîne XXX périodique. Cet ansatz modifié est proposé pour résoudre le cas de la chaîne ouverte, pour laquelle l’ansatz classique n’est plus efficace. Le produit scalaire des états de Bethe modifiés ainsi obtenus est étudié. Le troisième chapitre concerne la résolution de l’identité, et le problème fonctionnel inverse. Une expression pour les états de spin en terme des états de Bethe est présentée pour le q-TASEP, et une expression de la résolution de l’identité en terme des états de Bethe pour la chaîne de spin XXZ infinie est démontrée, faisant intervenir dans les deux cas la contribution des états liés. Enfin, le quatrième chapitre concerne les représentions en déterminant dans l’ansatz de Bethe. Une expression pour les éléments de matrice de l’opérateur Nombre de Particule pour le gaz de Bose avec interaction delta en terme d’un déterminent est démontrée, et des représentations intégrales pour les déterminants d’Izergin-Korepin et de Slavnov sont investiguées, établissant ainsi un nouveau lien formel direct entre ces deux représentations en déterminant.

DOI: 10.70675/45ef76c4z7d08z432bzb772z12ed5b259a41

Related papers

Fonctions de corrélation des chaînes de spin. Approche de l'ansatz de Bethe algébrique

N Kitanine

Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.

Sep 19, 20070 citations

Fonctions de correlation des modeles integrables quantiques

N Kitanine

Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.

Jan 1, 19990 citations

Application of algebraic Bethe ansatz and beyond

S. Belliard, E. Ragoucy

Dans cette thèse, nous discuterons des systèmes intégrables quantiques et des chaînes de spins. Nous présenterons la notion d'intégrabilité quantique ainsi que des structures mathématiques, les groupes quantiques, reliées à cette dernière. Cela nous permettra d'introduire les chaînes de spins universelles étudiées par le groupe d' Annecy depuis plusieurs années. Ces chaînes universelles ont la particularité d'englober l'ensemble des chaînes de spins préalablement étudiées dans la littérature. La question posée pour cette thèse était d'utiliser l'ansatz de Bethe algébrique pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ces chaînes de spins universelles . Nous discuterons donc cette méthode pour les chaînes de spins périodiques et avec bords. Cette étude mettra en évidence les limites de l'ansatz de Bethe algébrique pour certaines chaînes avec bords et nous présenterons un nouveau cadre mathématique qui permettrait d'obtenir le spectre dans ces cas. Nous discuterons aussi le problème du produit scalaire des vecteurs propres obtenus grâce à l'ansatz de Bethe algébrique.

Jan 1, 20090 citations

Algebraic approach to supersymmetric integrable spin chains

Giovanni Satta

Cette thèse est consacrée à l'étude de la théorie mathématique sous-tendant la construction et la solution d'une classe particulière de systèmes quantiques exactement résolubles : son objectif est d'utiliser les superalgèbres de Lie comme un outil pour construire et résoudre les chaînes de spins intégrales. Nous développons une approche générale et systématique premettant de construire et traiter simultanément une large classe de systèmes intégrables partageant la même supersymétrie, allant du cas bien connu où tous les sites portent la représentation fondamentale (par exemple le modèle t-J) à des situations plus complexes d'intérêt physique comprenant des chaînes de spins alternées, avec impuretés etc. Les deux premiers chapitres sont consacrés à un examen des résultats connus concernant le Yangien du superalgèbre de Lie gl(mIn), nécessaire pour introduire la version graduée de la méthode de diffusion inverse quantique. Nous appliquons notre approche dans le chapitre 3 aux chaînes fermées et dans le chapitre 4 aux chaînes ouvertes. Dans ce chapitre sont étudiées les homologues super-symétriques de l'algèbre de réflexion et du Yangien twisté, qui sont les structures algébriques permettant d'imposer des conditions aux bords qui préservent l'intégralité. Dans le dernier chapitre la méthode de la fusion pour chaînes de spins avec supersymétrie sl(1I2) est traitée en détail. La méthode de solution que nous utilisons, tant dans les cas fermé et ouvert, est la généralisation au cas super-symétrique de l'Ansatz de Bethe analytique, dans laquelle les équations de Bethe paramétrant les nombres quantiques du système sont obtenues comme conditions d'analycité pour les valeurs propres des hamiltoniennes.

Jan 1, 20080 citations

Applications de l'ansatz de Bethe Algébrique et au-delà

S. Belliard

Dans cette thèse, nous discuterons des systèmes intégrables quantiques et des chaînes de spins. Nous présenterons la notion d'intégrabilité quantique ainsi que des structures mathématiques, les groupes quantiques, reliées à cette dernière. Cela nous permettra d'introduire les chaînes de spins " universelles " étudiées par le groupe d'Annecy depuis plusieurs années. Ces chaînes " universelles " ont la particularité d'englober l'ensemble des chaînes de spins préalablement étudiées dans la littérature. La question posée pour cette thèse était d'utiliser l'ansatz de Bethe algébrique pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ces chaînes de spins " universelles ". Nous discuterons donc cette méthode pour les chaînes de spins périodiques et avec bords. Cette étude mettra en évidence les limites de l'ansatz de Bethe algébrique pour certaines chaînes avec bords et nous présenterons un nouveau cadre mathématique qui permettrait d'obtenir le spectre dans ces cas. Nous discuterons aussi le problème du produit scalaire des vecteurs propres obtenus grâce à l'ansatz de Bethe algébrique.

Jan 1, 20090 citations

Méthodes exactes pour le modèle d'exclusion asymétrique

Sylvain Prolhac

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés du modèle d'exclusion asymétrique unidimensionnel, un modèle exactement soluble de particules en interaction présentant un état stationnaire hors d'équilibre. Dans une première partie, nous expliquons les liens que le modèle d'exclusion asymétrique entretient avec d'autres modèles de la physique statistique, en particulier des modèles de croissance, de polymère dirigé en milieu aléatoire, ou encore des modèles de vertex. Après avoir récapitulé quelques résultats connus, nous expliquons comment le modèle d'exclusion peut être étudié en utilisant l'Ansatz de Bethe. La deuxième partie est consacrée au calcul par Ansatz de Bethe des fluctuations du courant dans le modèle d'exclusion partiellement asymétrique avec des conditions aux bords périodiques. Utilisant une formulation fonctionnelle des équations de Bethe, nous obtenons des expressions exactes pour les trois premiers cumulants du courant. À partir de ces expressions exactes et de calculs effectués pour de petits systèmes, nous conjecturons ensuite une expression combinatoire explicite pour tous les cumulants du courant. Dans la troisième partie, nous présentons le modèle d'exclusion à plusieurs classes de particules, qui généralise le modèle étudié dans les deux premières parties. Nous montrons que ses probabilités stationnaire peuvent s'écrire sous la forme de traces de produits de matrices. Nous expliquons ensuite la formulation algébrique de l'Ansatz de Bethe pour ce modèle.

Jan 1, 20091 citation