Indépendance de la renormalisation d'observables à N corps dans une théorie effective des champs sans pions À l’heure actuelle, l’interaction entre nucléons est décrite par une théorie effective des champs chiraux. Dans ce cadre théorique, les contributions aux observables nucléaires sont organisées en suite d’importance décroissante. En particulier, le calcul de la contribution principale nécessite de résoudre exactement l’équation de Schrödinger pour un certain Hamiltonien. Une description alternative de l’interaction nucléaire, dite théorie effective des champs sans pion, considère uniquement des nucléons comme degrés de liberté et mène à la même nécessité d’une résolution exacte de l’équation de Schrödinger. En pratique, de tels calculs sont irréalistes, même numériquement, pour des observables à N corps dès que N >> 10. Par conséquent, des approximations supplémentaires doivent être développées. Dans cette thèse, des approximations non-perturbatives basées sur des fonctions de Green auto-cohérentes (SCGF) ainsi que des approximations basées sur des théories des perturbations à N corps (MBPT) sont considérées dans le cadre de la théorie effective des champs sans pion. Le but de cette thèse est d’étudier l’invariance par le groupe de renormalisation d’observables à N corps calculées avec ces approximations supplémentaires. L’espoir étant de pouvoir ensuite étendre les conclusions tirées au cas de la théorie effective des champs chiraux. Dans le cas des approximations SCGF, l’analyse des résultats numériques produits avec un code à l’état de l’art révèle une instabilité critique amenant à des observables dépendant de la renormalisation. Un correctif est proposé et devra être implémenté avant tout futur calcul SCGF au sein de la théorie effective des champs sans pion. Cette étude révèle l’importance critique des approximations numériques sur l’invariance par le groupe de renormalisation des observables. Dans le cas des approximations perturbatives basées sur MBPT, une étude formelle ouvre la voie pour dériver, de manière systématique, une renormalisation adéquate pour un large ensemble d’approximation à N corps.
Indépendance de la renormalisation d'observables à N corps dans une théorie effective des champs sans pions À l’heure actuelle, l’interaction entre nucléons est décrite par une théorie effective des champs chiraux. Dans ce cadre théorique, les contributions aux observables nucléaires sont organisées en suite d’importance décroissante. En particulier, le calcul de la contribution principale nécessite de résoudre exactement l’équation de Schrödinger pour un certain Hamiltonien. Une description alternative de l’interaction nucléaire, dite théorie effective des champs sans pion, considère uniquement des nucléons comme degrés de liberté et mène à la même nécessité d’une résolution exacte de l’équation de Schrödinger. En pratique, de tels calculs sont irréalistes, même numériquement, pour des observables à N corps dès que N >> 10. Par conséquent, des approximations supplémentaires doivent être développées. Dans cette thèse, des approximations non-perturbatives basées sur des fonctions de Green auto-cohérentes (SCGF) ainsi que des approximations basées sur des théories des perturbations à N corps (MBPT) sont considérées dans le cadre de la théorie effective des champs sans pion. Le but de cette thèse est d’étudier l’invariance par le groupe de renormalisation d’observables à N corps calculées avec ces approximations supplémentaires. L’espoir étant de pouvoir ensuite étendre les conclusions tirées au cas de la théorie effective des champs chiraux. Dans le cas des approximations SCGF, l’analyse des résultats numériques produits avec un code à l’état de l’art révèle une instabilité critique amenant à des observables dépendant de la renormalisation. Un correctif est proposé et devra être implémenté avant tout futur calcul SCGF au sein de la théorie effective des champs sans pion. Cette étude révèle l’importance critique des approximations numériques sur l’invariance par le groupe de renormalisation des observables. Dans le cas des approximations perturbatives basées sur MBPT, une étude formelle ouvre la voie pour dériver, de manière systématique, une renormalisation adéquate pour un large ensemble d’approximation à N corps.
Les comportements critiques des systèmes de mécanique statistique en 2 dimensions ou de mécanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des systèmes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement décrits par les méthodes de la théorie des champs conforme et de l'intégrabilité, dont le développement a été spectaculaire au cours des 40 dernières années. Plusieurs problèmes résistent cependant toujours à une compréhension exacte, parmi lesquels celui de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall Quantique Entier. La raison principale en est que de tels problèmes sont généralement associés à des théories non unitaires, ou théories conformes logarithmiques, dont la classification se révèle être d'une grande difficulté mathématique. Se tournant vers la recherche de modèles discrets (chaînes de spins, modèles sur réseau), dans l'espoir en particulier d'en trouver des représentations en termes de modèles exactement solubles (intégrables), on se heurte à la deuxième difficulté représentée par le fait que les théories associées sont la plupart du temps non compactes, ou en d'autres termes qu'elles donnent lieu à un continuum d'exposants critiques. En effet, le lien entre modèles discrets et théories des champs non compactes est à ce jour loin d'être compris, en particulier il a longtemps été cru que de telles théories ne pouvaient pas émerger comme limites continues de modèles discrets construits à partir d'un ensemble compact de degrés de libertés, par ailleurs les seuls qui donnent a accès à une construction systématique de solutions exactes.Dans cette thèse, on montre que le monde des modèles discrets compacts ayant une limite continue non compacte est en fait beaucoup plus grand que ce que les quelques exemples connus jusqu'ici auraient pu laisser suspecter. Plus précisément, on y présente une solution exacte par ansatz de Bethe d'une famille infinie de modèles (les modèles aₙ², ainsi que quelques résultats sur les modèles bₙ¹), où il est observé que tous ces modèles sont décrits dans un certain régime par des théories conformes non compactes. Parmi ces modèles, certains jouent un rôle important dans la description de phénomènes physiques, parmi lesquels la description de polymères en deux dimensions avec des interactions attractives et des modèles de boucles impliqués dans l'étude de modèles de Potts couplés ou dans une tentative de description de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall par un modèle géométrique compact.On montre que l'existence insoupçonnéede limite continues non compacts pour de tels modèles peut avoir d'importantes conséquences pratiques, par exemple dans l'estimation numérique d'exposants critiques ou dans le résultats de simulations de Monte Carlo. Nos résultats sont appliqués à une meilleure compréhension de la transition theta décrivant l'effondrement des polymères en deux dimensions, et des perspectives pour une potentielle compréhension de la transition entre plateaux en termes de modèles sur réseaux sont présentées.
Approches de type intégrale de chemin pour l'étude de systèmes quantiques à N corps fortement corrélés Le cœur de ce travail de thèse est la formulation de la théorie quantique des champs basée sur les intégrales de chemin et sa capacité à décrire les systèmes quantiques à N corps fortement corrélés de taille finie. Les phénomènes collectifs gouvernant la phénoménologie de tels systèmes peuvent être efficacement décrits par l'implémentation de brisures de symétrie spontanées (SSB) dans le cadre d'approches de type champ moyen. Cependant, la limite thermodynamique n'étant pas pertinente pour des systèmes de taille finie, ces derniers ne peuvent manifester de SSB et les symétries brisées au niveau du champ moyen doivent donc être restaurées. L'efficacité d'approches théoriques à traiter les systèmes quantiques de taille finie peut donc être étudiée à travers leur capacité à restaurer les symétries brisées spontanément. Dans ce travail de thèse, nous prenons pour cadre théorique un modèle O(N) à zéro dimension pour réaliser une telle étude avec diverses méthodes de type intégrale de chemin : théorie des perturbations combinée avec différentes techniques de resommation (Padé-Borel, Meijer-G, conformal mapping), versions modifiées de la théorie des perturbations (transseries déterminées via le formalisme des Lefschetz thimbles, théorie des perturbations optimisée), théorie des perturbations auto-cohérente basée sur des actions effectives (auxiliary field loop expansion (LOAF), formalisme Cornwall-Jackiw-Tomboulis (CJT), action effective 4PPI,...), techniques de type groupe de renormalisation fonctionnel (FRG) (FRG basé sur l'équation de Wetterich, DFT-FRG, 2PI-FRG). Des connexions entre ces différentes méthodes sont aussi mises en exergue. De plus, le formalisme des intégrales de chemin nous offre la possibilité d'introduire des degrés de liberté collectifs de manière exacte à l'aide de transformations de Hubbard-Stratonovich : l'effet de telles transformations sur les méthodes susmentionnées est également étudié en détail.
Théories conformes non compactes en physique statistique Les comportements critiques des systèmes de mécanique statistique en 2 dimensions ou de mécanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des systèmes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement décrits par les méthodes de la théorie des champs conforme et de l'intégrabilité, dont le développement a été spectaculaire au cours des 40 dernières années. Plusieurs problèmes résistent cependant toujours à une compréhension exacte, parmi lesquels celui de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall Quantique Entier. La raison principale en est que de tels problèmes sont généralement associés à des théories non unitaires, ou théories conformes logarithmiques, dont la classification se révèle être d'une grande difficulté mathématique. Se tournant vers la recherche de modèles discrets (chaînes de spins, modèles sur réseau), dans l'espoir en particulier d'en trouver des représentations en termes de modèles exactement solubles (intégrables), on se heurte à la deuxième difficulté représentée par le fait que les théories associées sont la plupart du temps non compactes, ou en d'autres termes qu'elles donnent lieu à un continuum d'exposants critiques. En effet, le lien entre modèles discrets et théories des champs non compactes est à ce jour loin d'être compris, en particulier il a longtemps été cru que de telles théories ne pouvaient pas émerger comme limites continues de modèles discrets construits à partir d'un ensemble compact de degrés de libertés, par ailleurs les seuls qui donnent a accès à une construction systématique de solutions exactes.Dans cette thèse, on montre que le monde des modèles discrets compacts ayant une limite continue non compacte est en fait beaucoup plus grand que ce que les quelques exemples connus jusqu'ici auraient pu laisser suspecter. Plus précisément, on y présente une solution exacte par ansatz de Bethe d'une famille infinie de modèles (les modèles aₙ², ainsi que quelques résultats sur les modèles bₙ¹), où il est observé que tous ces modèles sont décrits dans un certain régime par des théories conformes non compactes. Parmi ces modèles, certains jouent un rôle important dans la description de phénomènes physiques, parmi lesquels la description de polymères en deux dimensions avec des interactions attractives et des modèles de boucles impliqués dans l'étude de modèles de Potts couplés ou dans une tentative de description de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall par un modèle géométrique compact.On montre que l'existence insoupçonnéede limite continues non compacts pour de tels modèles peut avoir d'importantes conséquences pratiques, par exemple dans l'estimation numérique d'exposants critiques ou dans le résultats de simulations de Monte Carlo. Nos résultats sont appliqués à une meilleure compréhension de la transition theta décrivant l'effondrement des polymères en deux dimensions, et des perspectives pour une potentielle compréhension de la transition entre plateaux en termes de modèles sur réseaux sont présentées.
Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par Kenneth Wilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950. Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique. Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs. Ce deuxième tome est consacré au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Après une introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation de Wilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec le groupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Les applications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiques sont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles de spins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduit également les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques, les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit aux effets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitre constitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme, en particulier en deux dimensions.
Fluctuations fortement non uniformes au sein du Groupe de Renormalisation Fonctionnelle Depuis son introduction, le Groupe de Renormalisation est devenu l'outil théorique de prédilection pour comprendre et décrire le comportement collectif caractérisé par une invariance d'échelle émergente à proximité d'une transition de phase continue. Il offre un cadre conceptuel puissant, mais les résultats exacts étant rares, la recherche de schémas d'approximation génériques et efficaces a été très active dès le départ. Une ligne de recherche récente part d'une formulation exacte du Groupe de Renormalisation, sous la forme d'un Groupe de Renormalisation Fonctionnelle (GRF) pour les fonctionnelles génératrices dépendantes d'échelle, et introduit des approximations potentiellement non perturbatives via des ansatzes pour la fonctionnelle génératrice dépendante d'échelle étudiée. La question que nous abordons est de savoir dans quelle mesure de tels schémas d'approximation génériques sont capables de décrire des problèmes spécifiques où le comportement à longue distance implique des configurations fortement non uniformes avec, par exemple, des excitations localisées. Un exemple d'un tel schéma d'approximation au sein du GRF est l'expansion dérivée de l'action moyenne effective (énergie libre de Gibbs moyenne à gros grain ("coarse-grained") dans le langage des systèmes magnétiques) qui consiste à tronquer la forme fonctionnelle de cette dernière en puissances des moments extérieurs ou, de manière équivalente, en gradients des champs. L'approximation par expansion dérivée se concentre sur les propriétés à grande longueur d'onde et, en termes de configurations "coarse-grained" du système, fonctionne comme une expansion autour de configurations uniformes. On peut donc se demander si un tel schéma est capable de saisir la physique associée à des configurations non uniformes contenant, par exemple, des parois de domaine, des ondes de spin ou des défauts localisés comme les créneaux et les anti-créneaux trouvés dans l'analyse des instantons du modèle d'Ising en 1 dimension. Dans ce travail, nous évaluons la capacité de l'expansion dérivée du GRF à décrire quantitativement la physique à longue distance d'un modèle sur toute la gamme des dimensions spatiales sans connaissance a priori des configurations "coarse-grained" pertinentes dans l'espace réel. Pour ce faire, nous examinons d'abord comment les ordres inférieurs de l'expansion dérivée décrivent l'approche de la dimension critique inférieure dlcdlc de la théorie scalaire de type Ising φ4 qui est censée être contrôlée par la prolifération d'excitations localisées (instantons). Nous montrons que la convergence du potentiel effectif du point fixe décrivant le point critique du modèle est non uniforme dans le champ lorsque la dimension dd s'approche de dlcdlc, avec l'émergence d'une couche limite autour du minimum du potentiel. Au niveau d'approximation non trivial le plus bas (connu sous le nom de LPA’), cela nous permet de faire des prédictions analytiques pour la valeur de la dimension critique inférieure dlcdlc et pour le comportement de la température critique à mesure que d→dlc, qui sont tous deux en assez bon accord avec les résultats exacts connus. Nous considérons également pour le même modèle scalaire de type Ising φ4 la phase ordonnée dans la limite où d→dlc. Nous nous concentrons sur la manière dont le potentiel effectif dans le GRF devient convexe à mesure que les fluctuations spatiales appropriées, qui impliquent maintenant des configurations non uniformes avec une paroi de domaine séparant deux phases, sont incluses dans le calcul.
Cette thèse concerne le développement et l’utilisation de nouveaux algorithmes pour l’étude théorique de systèmes quantiques fortement corrélés. Il s’agit de systèmes dans lesquels les interactions, par exemple l’interaction de Coulomb répulsive entre les électrons d’un matériau, induisent des phénomènes physiques remarquables (comme la supraconductivité à haute température critique) qui ne peuvent être décrits dans le cadre d’une théorie standard à un corps. Pour comprendre l’origine de ces phénomènes, il est indispensable de traiter l’ensemble des particules et leurs interactions: on parle du problème à N -corps.Le projet de thèse consiste à continuer le développement, l’analyse et l’application des méthodes numériques dites diagrammatiques à ces systèmes. Si des progrès ont été faits, il reste beaucoup de questions fondamentales ouvertes quant à l’utilisation de méthodes perturbatives pour décrire un système qui est,par nature, dans un régime non-perturbatif. Quelles sont les limites de ces approches? Comment se manifestent les effets des corrélations dans la structure des séries perturbatives?Les développements algorithmiques seront utilisés pour l’étude de modèles de systèmes fortement corrélés, comme le modèle de Hubbard, ce qui permettra d’aborder des questions physiques d’intérêt actuel, en particulier en relation avec la physique des corrélations magnétiques et du pseudo-gap dans les cuprates supraconducteurs ou avec l’existence d’une transition de Mott sans phase ordonnée préemptive telle qu’elle est observée dans des expériences récentes sur des composés organiques.