Contributions aux fondements de complexité de la cryptographie sur réseaux La cryptographie sur les réseaux est l’une des approches les plus compétitives pour protéger la confidentialité, dans les applications actuelles et l’ère post-quantique. Le problème central qui sert de fondement de complexité de la cryptographie sur réseaux est Learning with Errors (LWE). Il consiste à résoudre un système d’équations bruité, linéaire et surdéterminé. Ce problème est au moins aussi difficile que les problèmes standards portant sur les réseaux, tels que le décodage à distance bornée (BDD pour Bounded Distance Decoding) et le problème du vecteur le plus court unique (uSVP pour unique Shortest Vector Problem). Tous ces problèmes sont conjecturés difficiles à résoudre, même avec un ordinateur quantique de grande échelle. En particulier, le meilleur algorithme connu pour résoudre ces problèmes, BKZ, est très coûteux. Dans cette thèse, nous étudions les relations de difficulté entre BDD et uSVP, la difficulté quantique de LWE et les performances pratiques de l’algorithme BKZ. Tout d’abord, nous donnons une relation de difficulté plus étroite entre BDD et uSVP. Plus précisément, nous améliorons la réduction de BDD à uSVP d’un facteur √2, comparément à celle de Lyubashevsky et Micciancio. Ensuite, Nous apportons un nouvel élément à la conjecture que LWE est quantiquement difficile. Concrètement, nous considérons une version relâchée de la version quantique du problème du coset dièdral et montrons une équivalence computationnelle entre LWE et ce problème. Enfin, nous proposons un nouveau simulateur pour BKZ. Dans ce dernier travail, nous proposons le premier simulateur probabiliste pour BKZ, qui permet de prévoir le comportement pratique de BKZ très précisément.
Contributions aux fondements de complexité de la cryptographie sur réseaux La cryptographie sur les réseaux est l’une des approches les plus compétitives pour protéger la confidentialité, dans les applications actuelles et l’ère post-quantique. Le problème central qui sert de fondement de complexité de la cryptographie sur réseaux est Learning with Errors (LWE). Il consiste à résoudre un système d’équations bruité, linéaire et surdéterminé. Ce problème est au moins aussi difficile que les problèmes standards portant sur les réseaux, tels que le décodage à distance bornée (BDD pour Bounded Distance Decoding) et le problème du vecteur le plus court unique (uSVP pour unique Shortest Vector Problem). Tous ces problèmes sont conjecturés difficiles à résoudre, même avec un ordinateur quantique de grande échelle. En particulier, le meilleur algorithme connu pour résoudre ces problèmes, BKZ, est très coûteux. Dans cette thèse, nous étudions les relations de difficulté entre BDD et uSVP, la difficulté quantique de LWE et les performances pratiques de l’algorithme BKZ. Tout d’abord, nous donnons une relation de difficulté plus étroite entre BDD et uSVP. Plus précisément, nous améliorons la réduction de BDD à uSVP d’un facteur √2, comparément à celle de Lyubashevsky et Micciancio. Ensuite, Nous apportons un nouvel élément à la conjecture que LWE est quantiquement difficile. Concrètement, nous considérons une version relâchée de la version quantique du problème du coset dièdral et montrons une équivalence computationnelle entre LWE et ce problème. Enfin, nous proposons un nouveau simulateur pour BKZ. Dans ce dernier travail, nous proposons le premier simulateur probabiliste pour BKZ, qui permet de prévoir le comportement pratique de BKZ très précisément.
La cryptographie sur les réseaux est l’une des approches les plus compétitives pour protéger la confidentialité, dans les applications actuelles et l’ère post-quantique. Le problème central qui sert de fondement de complexité de la cryptographie sur réseaux est Learning with Errors (LWE). Il consiste à résoudre un système d’équations bruité, linéaire et surdéterminé. Ce problème est au moins aussi difficile que les problèmes standards portant sur les réseaux, tels que le décodage à distance bornée (BDD pour Bounded Distance Decoding) et le problème du vecteur le plus court unique (uSVP pour unique Shortest Vector Problem). Tous ces problèmes sont conjecturés difficiles à résoudre, même avec un ordinateur quantique de grande échelle. En particulier, le meilleur algorithme connu pour résoudre ces problèmes, BKZ, est très coûteux. Dans cette thèse, nous étudions les relations de difficulté entre BDD et uSVP, la difficulté quantique de LWE et les performances pratiques de l’algorithme BKZ. Tout d’abord, nous donnons une relation de difficulté plus étroite entre BDD et uSVP. Plus précisément, nous améliorons la réduction de BDD à uSVP d’un facteur √2, comparément à celle de Lyubashevsky et Micciancio. Ensuite, Nous apportons un nouvel élément à la conjecture que LWE est quantiquement difficile. Concrètement, nous considérons une version relâchée de la version quantique du problème du coset dièdral et montrons une équivalence computationnelle entre LWE et ce problème. Enfin, nous proposons un nouveau simulateur pour BKZ. Dans ce dernier travail, nous proposons le premier simulateur probabiliste pour BKZ, qui permet de prévoir le comportement pratique de BKZ très précisément.
Difficultés de Problèmes de Réseaux Structurés pour la Cryptographie Post-Quantique La sécurité des protocoles cryptographiques repose sur la difficulté présumée de problèmes algorithmiques. Parmi ceux qui ont été identifiés jusque-là, les meilleurs problèmes pouvant servir de fondation à une cryptographie résistante aux ordinateurs quantiques sont issus des réseaux euclidiens. Les réseaux euclidiens sont une structure mathématique définie comme un ensemble de vecteurs de l’espace générés par les combinaisons entières d’un nombre fini de vecteurs réels linéairement indépendants (sa base). Un exemple typique de problème de sécurité relié est le Shortest Vector Problem (SVP). Étant donné une base d’un réseau euclidien en dimension n, trouver un vecteur court non nul. Pour des raisons d’efficacité, ces problèmes sont restreints à des réseaux issus de la théorie des nombres, dit structurés. Les hypothèses de sécurité relatives à ces réseaux particuliers étant différentes de celles des réseaux non structurés, il est nécessaire de les étudier spécifiquement, c’est l’objet de cette thèse. Nous avons étudié le cas des modules NTRU et uSVP en rang 2, prouvant que le problème SVP est équivalent sur ces deux familles de réseaux. Nous montrons également une réduction pire-cas vers cas-moyens pour les réseaux uSVP en rang 2. Ensuite nous avons démontré que résoudre SVP sur un idéal premier de petite norme n’était pas plus facile que de résoudre SVP sur n’importe quel idéal.
Cette thèse de doctorat porte principale ment sur le problème d’apprentissage avec erreurs, appelé Learning With Errors (LWE). Il s’agit d’une composante essentielle de la cryptographie à base de réseaux, qui fait partie des candidats les plus prometteurs pour remplacer les protocoles cryptographiques actuels lorsque des ordinateurs quantiques à grande échelle seront disponibles. Dans cette thèse, nous étudions la difficulté théoriques des variantes algébriquement structurées de LWE qui sont utilisées dans des protocoles efficaces. D’abord, nous prouvons que le problème Module Learning With Errors (M-LWE) ne devient pas significativement plus facile à résoudre, même si le secret sous-jacent est remplacé par un vecteur binaire. Ensuite, nous présentons une réduction classique au problème M-LWE, ce qui renforce notre confiance dans sa valeur pour la cryptographie. De plus, nous définissons une nouvelle hypothèse de difficulté, le problème MP-LWR (Middle-Product Computational Learning With Rounding), qui hérite des avantages de deux variantes existantes de LWE. Enfin, nous étudions des problèmes liés à la matrice partielle de Vandermonde. Il s’agit d’une source récente d’hypothèses de difficulté pour la cryptographie à base de réseaux et son étude rigoureuse est primordiale pour gagner en fiabilité. Finalement, nous montrons que les nouvelles hypothèses de difficulté introduites auparavant servent à la construction de schémas de chiffrement à clé publique efficaces. D’une part, nous concevons un nouveau schéma de chiffrement, dont la sécurité est assurée par la difficulté du problème MP-CLWR. D’autre part, nous modifions un schéma de chiffrement existant pour lui fournir une preuve de sécurité basée sur deux problèmes de Vandermonde partiels explicitement énoncés.
Cryptanalyse classique et quantique pour les réseaux euclidiens et le problème de la somme de sous-ensembles La cryptographie post-quantique est une branche de la cryptographie qui vise à concevoir des systèmes cryptographiques non quantiques (c'est-à-dire classiques), qui sont protégés contre un adversaire possédant un ordinateur quantique. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l'étude de deux problèmes fondamentaux pour la cryptographie post-quantique : le problème du plus court vecteur (SVP) et le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Le SVP demande de trouver le plus court vecteur non nul d'un réseaux euclidien donné. Il sert de jauge pour quantifier la sécurité de la cryptographie reposant sur les réseaux euclidiens, qui est considérée comme prometteuse pour l'ère post-quantique. Les principales approches pour résoudre le SVP sont les algorithmes de tamisage, qui utilisent un temps et un espace exponentiels, et les algorithmes d'énumération, qui utilisent un temps superexponentiel et un espace polynomial. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un compromis temps-mémoire prouvable qui interpole approximativement entre les garanties de ressources des algorithmes de tamisage et celles des algorithmes d'énumération. Nous montrons ensuite l'algorithme quantique prouvable le plus rapide connu qui résout le SVP en temps 2^(0.9535n) et en mémoire classique 2^(0.5n+o(n)) avec seulement un nombre poly(n) de qubits. Nous montrons également le meilleur algorithme prouvable classique connu dont la complexité en mémoire est de 2^(0.5n+o(n)). Quant aux algorithmes d'énumération, on pensait auparavant qu'ils pouvaient bénéficier d'une accélération quadratique quantique grâce à l'algorithme de Grover. Nous montrons que cette accélération quadratique peut effectivement être obtenue pour l'algorithme d'énumération de base et ses variantes d'élagage cylindrique et discret, mais avec des algorithmes quantiques plus sophistiqués tels que la marche quantique sur les arbres. Notre accélération quantique s'applique également à l'élagage extrême où l'on répète le processus d'énumération sur plusieurs bases réduites. Le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires sous-tend également certains schémas cryptographiques visant à la sécurité post-quantique, bien qu'il soit principalement de nature académique. Dans un contexte de cryptanalyse, il sert souvent d'outil car de nombreux problèmes sur lesquels se fonde la cryptographie moderne peuvent être exprimés comme des variantes (vectorielles) du problème de la somme de sous-ensembles. Plus récemment, il a également été démontré qu'il peut être utilisé comme élément de base dans certains algorithmes de décalage caché quantique, qui ont des applications dans la cryptanalyse quantique de schémas symétriques et de schémas reposant sur les isogénies. Dans cette thèse, nous présentons de nouveaux algorithmes classiques et quantiques pour la résolution du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Nous obtenons d'abord l'algorithme classique le plus rapide connu en temps Õ(2^0.283n)). Ensuite, nous améliorons l'état de l'art des algorithmes quantiques pour ce problème dans plusieurs directions. Nous concevons un algorithme avec un temps asymptotique Õ(2^0.236n), avec l'avantage d'utiliser une mémoire classique avec accès aléatoire quantique. Les algorithmes connus précédemment utilisaient des marches quantique, et nécessitaient une mémoire quantique avec accès aléatoire quantique.Nous proposons également des marches quantiques plus rapides pour ce problème en temps Õ(2^0.216n). Ce temps dépend d'une heuristique concernant le temps de mise à jour dans les marches quantiques. Les algorithmes précédents pour ce problème dépendaient eux aussi de cette heuristique. Nous montrons comment surmonter partiellement cette heuristique, et nous obtenons un algorithme quantique de temps Õ(2^0.218n) ne nécessitant que les heuristiques standard du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires.
Difficulté théorique des variantes algébriques du problème learning with errors Cette thèse de doctorat porte principale ment sur le problème d’apprentissage avec erreurs, appelé Learning With Errors (LWE). Il s’agit d’une composante essentielle de la cryptographie à base de réseaux, qui fait partie des candidats les plus prometteurs pour remplacer les protocoles cryptographiques actuels lorsque des ordinateurs quantiques à grande échelle seront disponibles. Dans cette thèse, nous étudions la difficulté théoriques des variantes algébriquement structurées de LWE qui sont utilisées dans des protocoles efficaces. D’abord, nous prouvons que le problème Module Learning With Errors (M-LWE) ne devient pas significativement plus facile à résoudre, même si le secret sous-jacent est remplacé par un vecteur binaire. Ensuite, nous présentons une réduction classique au problème M-LWE, ce qui renforce notre confiance dans sa valeur pour la cryptographie. De plus, nous définissons une nouvelle hypothèse de difficulté, le problème MP-LWR (Middle-Product Computational Learning With Rounding), qui hérite des avantages de deux variantes existantes de LWE. Enfin, nous étudions des problèmes liés à la matrice partielle de Vandermonde. Il s’agit d’une source récente d’hypothèses de difficulté pour la cryptographie à base de réseaux et son étude rigoureuse est primordiale pour gagner en fiabilité. Finalement, nous montrons que les nouvelles hypothèses de difficulté introduites auparavant servent à la construction de schémas de chiffrement à clé publique efficaces. D’une part, nous concevons un nouveau schéma de chiffrement, dont la sécurité est assurée par la difficulté du problème MP-CLWR. D’autre part, nous modifions un schéma de chiffrement existant pour lui fournir une preuve de sécurité basée sur deux problèmes de Vandermonde partiels explicitement énoncés.
La cryptographie post-quantique est une branche de la cryptographie qui vise à concevoir des systèmes cryptographiques non quantiques (c'est-à-dire classiques), qui sont protégés contre un adversaire possédant un ordinateur quantique. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l'étude de deux problèmes fondamentaux pour la cryptographie post-quantique : le problème du plus court vecteur (SVP) et le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Le SVP demande de trouver le plus court vecteur non nul d'un réseaux euclidien donné. Il sert de jauge pour quantifier la sécurité de la cryptographie reposant sur les réseaux euclidiens, qui est considérée comme prometteuse pour l'ère post-quantique. Les principales approches pour résoudre le SVP sont les algorithmes de tamisage, qui utilisent un temps et un espace exponentiels, et les algorithmes d'énumération, qui utilisent un temps superexponentiel et un espace polynomial. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un compromis temps-mémoire prouvable qui interpole approximativement entre les garanties de ressources des algorithmes de tamisage et celles des algorithmes d'énumération. Nous montrons ensuite l'algorithme quantique prouvable le plus rapide connu qui résout le SVP en temps 2^(0.9535n) et en mémoire classique 2^(0.5n+o(n)) avec seulement un nombre poly(n) de qubits. Nous montrons également le meilleur algorithme prouvable classique connu dont la complexité en mémoire est de 2^(0.5n+o(n)). Quant aux algorithmes d'énumération, on pensait auparavant qu'ils pouvaient bénéficier d'une accélération quadratique quantique grâce à l'algorithme de Grover. Nous montrons que cette accélération quadratique peut effectivement être obtenue pour l'algorithme d'énumération de base et ses variantes d'élagage cylindrique et discret, mais avec des algorithmes quantiques plus sophistiqués tels que la marche quantique sur les arbres. Notre accélération quantique s'applique également à l'élagage extrême où l'on répète le processus d'énumération sur plusieurs bases réduites. Le problème de la somme de sous-ensembles aléatoires sous-tend également certains schémas cryptographiques visant à la sécurité post-quantique, bien qu'il soit principalement de nature académique. Dans un contexte de cryptanalyse, il sert souvent d'outil car de nombreux problèmes sur lesquels se fonde la cryptographie moderne peuvent être exprimés comme des variantes (vectorielles) du problème de la somme de sous-ensembles. Plus récemment, il a également été démontré qu'il peut être utilisé comme élément de base dans certains algorithmes de décalage caché quantique, qui ont des applications dans la cryptanalyse quantique de schémas symétriques et de schémas reposant sur les isogénies. Dans cette thèse, nous présentons de nouveaux algorithmes classiques et quantiques pour la résolution du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires. Nous obtenons d'abord l'algorithme classique le plus rapide connu en temps Õ(2^0.283n)). Ensuite, nous améliorons l'état de l'art des algorithmes quantiques pour ce problème dans plusieurs directions. Nous concevons un algorithme avec un temps asymptotique Õ(2^0.236n), avec l'avantage d'utiliser une mémoire classique avec accès aléatoire quantique. Les algorithmes connus précédemment utilisaient des marches quantique, et nécessitaient une mémoire quantique avec accès aléatoire quantique.Nous proposons également des marches quantiques plus rapides pour ce problème en temps Õ(2^0.216n). Ce temps dépend d'une heuristique concernant le temps de mise à jour dans les marches quantiques. Les algorithmes précédents pour ce problème dépendaient eux aussi de cette heuristique. Nous montrons comment surmonter partiellement cette heuristique, et nous obtenons un algorithme quantique de temps Õ(2^0.218n) ne nécessitant que les heuristiques standard du problème de la somme de sous-ensembles aléatoires.