Non-Hermitian Supersymmetric Factorization of an Effective Two-Particle Hamiltonian in Two Dimensions under a Magnetic Field

Abstract

We study an effective Hamiltonian governing the relative motion of two charged particles confined to a two-dimensional plane under a uniform magnetic field, with interactions described by a generalized central potential that combines harmonic, Coulombic, linear, and inverse-square terms. After formal separation of the center-of-mass coordinates and a unitary transformation to a standard one-dimensional radial Hilbert space, the resulting equation is solved exactly through a non-Hermitian supersymmetric factorization: although the factorization operators are not mutually adjoint, they yield Hermitian partner Hamiltonians that exhibit shape invariance with respect to a weighted inner product, enabling the derivation of closed-form analytical expressions for the energy spectrum and radial wave functions. The constraint relation among potential parameters that emerges from this construction is not a physical law but a mathematical solvability condition–an essential feature of a deliberately idealized model whose purpose is to reveal novel algebraic structures underlying exactly solvable quantum systems. We explicitly discuss the formal nature of the model, the parameter regimes ensuring potential boundedness, and the mathematical framework required for self-adjointness. Мы изучаем эффективный гамильтониан, описывающий относительное движение двух заряженных частиц, ограниченных двумерной плоскостью в однородном магнитном поле, причем взаимодействия описываются обобщенным центральным потенциалом, объединяющим гармонические, кулоновские, линейные и обратноквадратичные члены. После формального разделения координат центра масс и унитарного преобразования в стандартное одномерное радиальное гильбертово пространство полученное уравнение решается точно с помощью неэрмитовой суперсимметричной факторизации: хотя операторы факторизации не являются взаимно сопряженными, они дают эрмитовы гамильтонианы-партнеры, которые демонстрируют инвариантность формы относительно взвешенного скалярного произведения, что позволяет вывести аналитические выражения в замкнутой форме для энергетического спектра и радиальных волновых функций. Связь между потенциальными параметрами, возникающая из этой конструкции, является не физическим законом, а математическим условием разрешимости — существенной особенностью намеренно идеализированной модели, цель которой — выявить новые алгебраические структуры, лежащие в основе точно решаемых квантовых систем. Мы подробно обсуждаем формальную природу модели, режимы параметров, обеспечивающие потенциальную ограниченность, и математическую основу, необходимую для самосопряженности.